Bài học

Tính chất cơ bản và tìm thành phần chưa biết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng được tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để viết các tỉ lệ thức tương đương, và tìm được một số hạng chưa biết khi ba số hạng còn lại đã cho.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em định nghĩa tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ( $b \neq 0$ , $d \neq 0$ ) cùng tên gọi ngoại tỉ, trung tỉ, và cách kiểm tra bằng rút gọn. Cách đó đúng nhưng chậm khi số hạng lớn hoặc khi một số hạng còn chưa biết. Bài này đưa ra một công cụ nhanh hơn hẳn, dựa trên chính bốn số hạng đó.

Bài trước đã cho em định nghĩa tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$) cùng tên gọi ngoại tỉ, trung tỉ, và cách kiểm tra bằng rút gọn. Cách đó đúng nhưng chậm khi số hạng lớn hoặc khi một số hạng còn chưa biết. Bài này đưa ra một công cụ nhanh hơn hẳn, dựa trên chính bốn số hạng đó.

Khởi động

Ở bài trước, muốn kiểm tra $\frac{3}{x} = \frac{12}{20}$ có phải tỉ lệ thức hay không, em sẽ phải thử từng giá trị $x$ rồi rút gọn — rất mất công. Có cách nào tìm thẳng ra $x$ mà không cần đoán không?

Kiến thức trọng tâm

Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ( $b \neq 0$ , $d \neq 0$ ) thì $a \cdot d = b \cdot c$ — tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ. Ngược lại, nếu $a \cdot d = b \cdot c$ (với $b \neq 0$ , $d \neq 0$ ) thì lập được tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Hai chiều này dùng cho hai việc khác nhau: chiều thuận để kiểm tra nhanh không cần rút gọn, chiều ngược để tìm một số hạng chưa biết.

Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$) thì $a \cdot d = b \cdot c$ — tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ. Ngược lại, nếu $a \cdot d = b \cdot c$ (với $b \neq 0$, $d \neq 0$) thì lập được tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Hai chiều này dùng cho hai việc khác nhau: chiều thuận để kiểm tra nhanh không cần rút gọn, chiều ngược để tìm một số hạng chưa biết.

Từ một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$ , ta viết lại được bốn tỉ lệ thức tương đương bằng cách hoán vị các số hạng: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (dạng gốc); hoán vị hai trung tỉ cho nhau được $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; hoán vị hai ngoại tỉ cho nhau được $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ; hoán vị cả hai cặp được $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ . Cả bốn tỉ lệ thức này đều xuất phát từ đúng một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$ , nên chỉ cần kiểm tra đẳng thức tích một lần là đủ cho cả bốn.

Từ một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$, ta viết lại được bốn tỉ lệ thức tương đương bằng cách hoán vị các số hạng: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (dạng gốc); hoán vị hai trung tỉ cho nhau được $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$; hoán vị hai ngoại tỉ cho nhau được $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$; hoán vị cả hai cặp được $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$. Cả bốn tỉ lệ thức này đều xuất phát từ đúng một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$, nên chỉ cần kiểm tra đẳng thức tích một lần là đủ cho cả bốn.

Ứng dụng quan trọng nhất của chiều ngược là tìm một số hạng chưa biết: viết đẳng thức tích của tỉ lệ thức đã cho, thay số đã biết vào, rồi giải phương trình để tìm số hạng còn lại — luôn đối chiếu kết quả với điều kiện mẫu khác 0 trước khi kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Viết bốn tỉ lệ thức tương đương từ một đẳng thức tích

1
Từ đẳng thức $2 \times 15 = 5 \times 6$ , viết bốn tỉ lệ thức tương đương.
Từ đẳng thức $2 \times 15 = 5 \times 6$, viết bốn tỉ lệ thức tương đương.
2
Đặt $a=2, d=15, b=5, c=6$ thì $a \cdot d = 2 \times 15 = 30$ và $b \cdot c = 5 \times 6 = 30$ , hai tích bằng nhau.
Đặt $a=2, d=15, b=5, c=6$ thì $a \cdot d = 2 \times 15 = 30$ và $b \cdot c = 5 \times 6 = 30$, hai tích bằng nhau.
3
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ tức $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ .
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ tức $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$.
4
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ tức $\frac{2}{6} = \frac{5}{15}$ (cả hai vế đều rút gọn về $\frac{1}{3}$ ).
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ tức $\frac{2}{6} = \frac{5}{15}$ (cả hai vế đều rút gọn về $\frac{1}{3}$).
5
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ tức $\frac{15}{5} = \frac{6}{2}$ (cả hai vế đều bằng 3).
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ tức $\frac{15}{5} = \frac{6}{2}$ (cả hai vế đều bằng 3).
6
$\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ tức $\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ (cả hai vế đều bằng 2,5).
$\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ tức $\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ (cả hai vế đều bằng 2,5).
7
Vậy từ $2 \times 15 = 5 \times 6$ có bốn tỉ lệ thức tương đương: $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$ , $\frac{2}{6}=\frac{5}{15}$ , $\frac{15}{5}=\frac{6}{2}$ , $\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$ .
Vậy từ $2 \times 15 = 5 \times 6$ có bốn tỉ lệ thức tương đương: $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, $\frac{2}{6}=\frac{5}{15}$, $\frac{15}{5}=\frac{6}{2}$, $\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$.

Ví dụ

Tìm số hạng chưa biết

1
Tìm $x$ biết $\frac{3}{x} = \frac{12}{20}$ .
Tìm $x$ biết $\frac{3}{x} = \frac{12}{20}$.
2
ĐK: $x \neq 0$ (để $\frac{3}{x}$ có nghĩa) và $20 \neq 0$ (hiển nhiên đúng).
ĐK: $x \neq 0$ (để $\frac{3}{x}$ có nghĩa) và $20 \neq 0$ (hiển nhiên đúng).
3
$\frac{3}{x} = \frac{12}{20}$ suy ra $3 \times 20 = x \times 12$ , tức $60 = 12x$ .
$\frac{3}{x} = \frac{12}{20}$ suy ra $3 \times 20 = x \times 12$, tức $60 = 12x$.
4
$x = 60 \div 12 = 5$ .
$x = 60 \div 12 = 5$.
5
$x = 5 \neq 0$ , thỏa mãn điều kiện (TMĐK).
$x = 5 \neq 0$, thỏa mãn điều kiện (TMĐK).
6
Vậy $x = 5$ .
Vậy $x = 5$.

Ví dụ

Tìm số hạng chưa biết khi mẫu số chứa ẩn

1
Tìm $x$ biết $\frac{6}{x-1} = \frac{9}{15}$ .
Tìm $x$ biết $\frac{6}{x-1} = \frac{9}{15}$.
2
ĐK: $x - 1 \neq 0$ , tức $x \neq 1$ (để $\frac{6}{x-1}$ có nghĩa); $15 \neq 0$ hiển nhiên đúng.
ĐK: $x - 1 \neq 0$, tức $x \neq 1$ (để $\frac{6}{x-1}$ có nghĩa); $15 \neq 0$ hiển nhiên đúng.
3
$6 \times 15 = 9 \times (x-1)$ , tức $90 = 9x - 9$ .
$6 \times 15 = 9 \times (x-1)$, tức $90 = 9x - 9$.
4
$9x = 90 + 9 = 99$ , suy ra $x = 11$ .
$9x = 90 + 9 = 99$, suy ra $x = 11$.
5
$x = 11 \neq 1$ , thỏa mãn điều kiện (TMĐK).
$x = 11 \neq 1$, thỏa mãn điều kiện (TMĐK).
6
Vậy $x = 11$ . Nếu phép giải cho ra $x = 1$ thì phải loại, vì khi đó mẫu $x-1=0$ làm $\frac{6}{x-1}$ vô nghĩa.
Vậy $x = 11$. Nếu phép giải cho ra $x = 1$ thì phải loại, vì khi đó mẫu $x-1=0$ làm $\frac{6}{x-1}$ vô nghĩa.

Ví dụ

Tìm lượng vải cần dùng theo tỉ lệ (dạng thi)

1
Một xưởng may biết cứ 5 mét vải thì may được 8 chiếc áo cùng cỡ. Hỏi cần bao nhiêu mét vải để may 40 chiếc áo cùng cỡ đó, nếu tỉ lệ vải trên số áo không đổi?
2
Gọi $x$ (mét) là số vải cần cho 40 áo. Vì tỉ lệ vải trên áo không đổi: $\frac{5}{8} = \frac{x}{40}$ , với ĐK $8 \neq 0$ , $40 \neq 0$ (hiển nhiên đúng).
Gọi $x$ (mét) là số vải cần cho 40 áo. Vì tỉ lệ vải trên áo không đổi: $\frac{5}{8} = \frac{x}{40}$, với ĐK $8 \neq 0$, $40 \neq 0$ (hiển nhiên đúng).
3
$5 \times 40 = 8 \times x$ , tức $200 = 8x$ .
$5 \times 40 = 8 \times x$, tức $200 = 8x$.
4
$x = 200 \div 8 = 25$ .
$x = 200 \div 8 = 25$.
5
Vậy cần 25 mét vải để may 40 chiếc áo cùng cỡ.

Hai thanh 2/5 và 6/15 tô đậm cùng một tỉ lệ — đúng bốn tỉ lệ thức tương đương ở ví dụ 1 đều xuất phát từ một đẳng thức tích duy nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên đối chiếu điều kiện sau khi giải xong phương trình — cứ có một con số là chốt luôn đáp số, dù con số đó làm mẫu bằng 0. Một lỗi khác là nhân sai cặp số: tích ngoại tỉ phải là hai số hạng ở HAI ĐẦU ( $a$ và $d$ ), tích trung tỉ là hai số hạng Ở GIỮA ( $b$ và $c$ ) — nhầm cặp sẽ ra một phương trình hoàn toàn khác.

Sai lầm phổ biến nhất là quên đối chiếu điều kiện sau khi giải xong phương trình — cứ có một con số là chốt luôn đáp số, dù con số đó làm mẫu bằng 0. Một lỗi khác là nhân sai cặp số: tích ngoại tỉ phải là hai số hạng ở HAI ĐẦU ($a$ và $d$), tích trung tỉ là hai số hạng Ở GIỮA ($b$ và $c$) — nhầm cặp sẽ ra một phương trình hoàn toàn khác.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tính chất cơ bản: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ( $b, d \neq 0$ ) $\iff$ $a \cdot d = b \cdot c$ . Từ một đẳng thức tích, hoán vị ngoại tỉ và trung tỉ cho ra bốn tỉ lệ thức tương đương. Khi tìm số hạng chưa biết, luôn nêu điều kiện mẫu khác 0 trước và đối chiếu lại sau khi giải.

Tính chất cơ bản: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($b, d \neq 0$) $\iff$ $a \cdot d = b \cdot c$. Từ một đẳng thức tích, hoán vị ngoại tỉ và trung tỉ cho ra bốn tỉ lệ thức tương đương. Khi tìm số hạng chưa biết, luôn nêu điều kiện mẫu khác 0 trước và đối chiếu lại sau khi giải.

Bài học tiếp theo mở rộng ý tưởng này từ hai tỉ số sang cả một dãy nhiều tỉ số cùng bằng nhau — công cụ chính để giải những bài toán chia một tổng theo tỉ lệ.