Bài học

Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chia được một đơn thức cho một đơn thức khi phép chia thực hiện được, và chia được một đa thức cho một đơn thức bằng cách chia từng hạng tử rồi cộng kết quả lại.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở Chương 2 của khoá này em đã nhân đơn thức với đa thức bằng công thức nhân hai luỹ thừa cùng cơ số $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Chẳng hạn $2x^2 \cdot 3x^3 = 6x^5$ . Bài học hôm nay đảo ngược đúng thao tác đó: biết tích $6x^5$ và một thừa số $2x^2$ , đi tìm thừa số còn lại $3x^3$ bằng phép chia $6x^5 : 2x^2$ . Em cũng cần nhớ quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số đã học ở lớp 6: $x^m : x^n = x^{m-n}$ , áp dụng khi $m \ge n$ và $x \ne 0$ .

Ở Chương 2 của khoá này em đã nhân đơn thức với đa thức bằng công thức nhân hai luỹ thừa cùng cơ số $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Chẳng hạn $2x^2 \cdot 3x^3 = 6x^5$. Bài học hôm nay đảo ngược đúng thao tác đó: biết tích $6x^5$ và một thừa số $2x^2$, đi tìm thừa số còn lại $3x^3$ bằng phép chia $6x^5 : 2x^2$. Em cũng cần nhớ quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số đã học ở lớp 6: $x^m : x^n = x^{m-n}$, áp dụng khi $m \ge n$ và $x \ne 0$.

Khởi động

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $15x^4y^3$ (mét vuông, $x, y > 0$ ) và một cạnh dài $3x^2y$ mét. Cạnh còn lại của mảnh vườn dài bao nhiêu? Trả lời được câu hỏi này chính là biết chia một đơn thức cho một đơn thức — nội dung đầu tiên của bài học.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $15x^4y^3$ (mét vuông, $x, y > 0$) và một cạnh dài $3x^2y$ mét. Cạnh còn lại của mảnh vườn dài bao nhiêu? Trả lời được câu hỏi này chính là biết chia một đơn thức cho một đơn thức — nội dung đầu tiên của bài học.

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ , khi phép chia thực hiện được, ta chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$ , rồi với mỗi biến chung, lấy số mũ của biến đó trong $A$ trừ đi số mũ của nó trong $B$ theo đúng công thức $x^m : x^n = x^{m-n}$ vừa nhắc ở trên. Vì sao lại trừ số mũ? Vì $x^m : x^n$ chính là rút gọn phân số $\dfrac{x \cdot x \cdots x}{x \cdot x \cdots x}$ với $m$ thừa số $x$ ở tử và $n$ thừa số $x$ ở mẫu — mỗi cặp $x$ ở tử và mẫu triệt tiêu nhau, còn lại đúng $m-n$ thừa số $x$ ở tử. Phép chia đơn thức chỉ cho ra một đơn thức khi mọi biến có mặt trong đơn thức chia $B$ cũng có mặt trong đơn thức bị chia $A$ , với số mũ không nhỏ hơn số mũ tương ứng ở $B$ . Thiếu điều kiện đó, số mũ sau khi trừ sẽ âm, và kết quả không còn là một đơn thức.

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$, khi phép chia thực hiện được, ta chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$, rồi với mỗi biến chung, lấy số mũ của biến đó trong $A$ trừ đi số mũ của nó trong $B$ theo đúng công thức $x^m : x^n = x^{m-n}$ vừa nhắc ở trên. Vì sao lại trừ số mũ? Vì $x^m : x^n$ chính là rút gọn phân số $\dfrac{x \cdot x \cdots x}{x \cdot x \cdots x}$ với $m$ thừa số $x$ ở tử và $n$ thừa số $x$ ở mẫu — mỗi cặp $x$ ở tử và mẫu triệt tiêu nhau, còn lại đúng $m-n$ thừa số $x$ ở tử. Phép chia đơn thức chỉ cho ra một đơn thức khi mọi biến có mặt trong đơn thức chia $B$ cũng có mặt trong đơn thức bị chia $A$, với số mũ không nhỏ hơn số mũ tương ứng ở $B$. Thiếu điều kiện đó, số mũ sau khi trừ sẽ âm, và kết quả không còn là một đơn thức.

Ví dụ

Chia đơn thức cho đơn thức

1
Tính $15x^4y^3 : 3x^2y$ .
Tính $15x^4y^3 : 3x^2y$.
2
Ta có $15 : 3 = 5$ .
Ta có $15 : 3 = 5$.
3
Với $x$ : $4 - 2 = 2$ . Với $y$ : $3 - 1 = 2$ (vì $y = y^1$ ).
Với $x$: $4 - 2 = 2$. Với $y$: $3 - 1 = 2$ (vì $y = y^1$).
4
Suy ra $15x^4y^3 : 3x^2y = 5x^2y^2$ . Vậy cạnh còn lại của mảnh vườn ở phần khởi động dài $5x^2y^2$ mét.
Suy ra $15x^4y^3 : 3x^2y = 5x^2y^2$. Vậy cạnh còn lại của mảnh vườn ở phần khởi động dài $5x^2y^2$ mét.

Quy trình chia đơn thức / đa thức cho đơn thức

Chia đa thức cho đơn thức

Khi chia một đa thức $A$ cho một đơn thức $B$ mà mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$ , ta chia lần lượt từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả lại. Quy tắc này chính là chiều ngược của tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: vì $B(C+D) = BC + BD$ , nên $(BC+BD) : B = C + D$ . Nói cách khác, phép nhân đơn thức với đa thức ở Chương 2 "phân phối" đơn thức vào từng hạng tử, còn phép chia đa thức cho đơn thức chỉ là làm ngược lại đúng thao tác đó, hạng tử nào cũng phải chia riêng, không được gộp chung.

Khi chia một đa thức $A$ cho một đơn thức $B$ mà mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$, ta chia lần lượt từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả lại. Quy tắc này chính là chiều ngược của tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: vì $B(C+D) = BC + BD$, nên $(BC+BD) : B = C + D$. Nói cách khác, phép nhân đơn thức với đa thức ở Chương 2 "phân phối" đơn thức vào từng hạng tử, còn phép chia đa thức cho đơn thức chỉ là làm ngược lại đúng thao tác đó, hạng tử nào cũng phải chia riêng, không được gộp chung.

Ví dụ

Chia đa thức cho đơn thức

1
Tính $(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy) : 3xy$ .
Tính $(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy) : 3xy$.
2
$6x^3y : 3xy = 2x^2$ ; $-9x^2y^2 : 3xy = -3xy$ ; $3xy : 3xy = 1$ .
$6x^3y : 3xy = 2x^2$; $-9x^2y^2 : 3xy = -3xy$; $3xy : 3xy = 1$.
3
Cộng ba kết quả: $(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy) : 3xy = 2x^2 - 3xy + 1$ .
Cộng ba kết quả: $(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy) : 3xy = 2x^2 - 3xy + 1$.
4
Nhân ngược lại: $3xy(2x^2 - 3xy + 1) = 6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy$ , đúng bằng đa thức ban đầu.
Nhân ngược lại: $3xy(2x^2 - 3xy + 1) = 6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy$, đúng bằng đa thức ban đầu.

Ví dụ

Bài toán diện tích hình chữ nhật (dạng thi)

1
Một hình chữ nhật có diện tích $S = 12x^3y^2 - 8x^2y^3$ (với $x, y > 0$ ) và cạnh $AB = 4x^2y$ . Tính cạnh $BC$ , rồi tính giá trị của $BC$ khi $x = 2, y = 1$ .
Một hình chữ nhật có diện tích $S = 12x^3y^2 - 8x^2y^3$ (với $x, y > 0$) và cạnh $AB = 4x^2y$. Tính cạnh $BC$, rồi tính giá trị của $BC$ khi $x = 2, y = 1$.
2
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai cạnh kề nhau, nên $BC = S : AB = (12x^3y^2 - 8x^2y^3) : 4x^2y$ .
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai cạnh kề nhau, nên $BC = S : AB = (12x^3y^2 - 8x^2y^3) : 4x^2y$.
3
$12x^3y^2 : 4x^2y = 3xy$ ; $-8x^2y^3 : 4x^2y = -2y^2$ .
$12x^3y^2 : 4x^2y = 3xy$; $-8x^2y^3 : 4x^2y = -2y^2$.
4
$BC = 3xy - 2y^2$ .
$BC = 3xy - 2y^2$.
5
Với $x = 2, y = 1$ : $BC = 3 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 6 - 2 = 4$ . Vậy $BC = 3xy - 2y^2$ , và khi $x=2, y=1$ thì $BC = 4$ (đơn vị độ dài).
Với $x = 2, y = 1$: $BC = 3 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 6 - 2 = 4$. Vậy $BC = 3xy - 2y^2$, và khi $x=2, y=1$ thì $BC = 4$ (đơn vị độ dài).

Ví dụ

Chia đơn thức có hệ số âm và ba biến

1
Tính $(-18x^5y^3z) : 6x^2yz$ .
Tính $(-18x^5y^3z) : 6x^2yz$.
2
$-18 : 6 = -3$ .
$-18 : 6 = -3$.
3
Với $x$ : $5-2=3$ . Với $y$ : $3-1=2$ . Với $z$ : $1-1=0$ , tức $z^0=1$ — biến $z$ biến mất khỏi kết quả.
Với $x$: $5-2=3$. Với $y$: $3-1=2$. Với $z$: $1-1=0$, tức $z^0=1$ — biến $z$ biến mất khỏi kết quả.
4
$(-18x^5y^3z) : 6x^2yz = -3x^3y^2$ .
$(-18x^5y^3z) : 6x^2yz = -3x^3y^2$.

Bẫy thường gặp

Nhiều bạn trừ số mũ theo thứ tự ngược, viết $x^2 : x^4 = x^2$ thay vì lấy số mũ ở đơn thức bị chia trừ đi số mũ ở đơn thức chia. Bẫy thứ hai: không phải phép chia đơn thức nào cũng thực hiện được. Xét $6x^2y : 3xy^2$ — hệ số chia được ( $6:3=2$ ), số mũ của $x$ trừ được ( $2-1=1$ ), nhưng số mũ của $y$ lại là $1-2=-1$ , một số mũ âm không tồn tại trong đơn thức, nên phép chia này không cho ra một đơn thức. Bẫy thứ ba, dễ bỏ sót nhất: khi số mũ của một biến bằng nhau ở cả tử và mẫu, biến đó biến mất hoàn toàn khỏi kết quả (vì $x^0=1$ ) chứ không phải giữ nguyên — như $z$ trong ví dụ trên.

Nhiều bạn trừ số mũ theo thứ tự ngược, viết $x^2 : x^4 = x^2$ thay vì lấy số mũ ở đơn thức bị chia trừ đi số mũ ở đơn thức chia. Bẫy thứ hai: không phải phép chia đơn thức nào cũng thực hiện được. Xét $6x^2y : 3xy^2$ — hệ số chia được ($6:3=2$), số mũ của $x$ trừ được ($2-1=1$), nhưng số mũ của $y$ lại là $1-2=-1$, một số mũ âm không tồn tại trong đơn thức, nên phép chia này không cho ra một đơn thức. Bẫy thứ ba, dễ bỏ sót nhất: khi số mũ của một biến bằng nhau ở cả tử và mẫu, biến đó biến mất hoàn toàn khỏi kết quả (vì $x^0=1$) chứ không phải giữ nguyên — như $z$ trong ví dụ trên.

Chia đơn thức cho đơn thức: chia hệ số, trừ số mũ từng biến cùng tên. Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử rồi cộng lại. Luôn kiểm tra kết quả bằng cách nhân ngược lại — nếu nhân thương với số chia không ra đúng biểu thức ban đầu, chắc chắn có một hạng tử đã chia sai.

Bài học sau xử lý phép chia phức tạp hơn: chia một đa thức một biến cho một đa thức khác, không còn là đơn thức nữa, dùng đúng thuật toán chia có dư mà em từng dùng để chia hai số tự nhiên ở tiểu học. Hai kỹ năng của bài hôm nay — chia hệ số, trừ số mũ, và kiểm tra bằng phép nhân ngược — vẫn sẽ xuất hiện trong bài đó, chỉ ghép thêm một vòng lặp mới.