Bài học

Ôn tập tổng hợp — Chia đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được phép chia đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các bài toán tổng hợp, đúng phong cách đề kiểm tra giữa kì và cuối kì lớp 8.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không thêm kiến thức mới — nó ghép lại đúng những gì sáu bài trước đã dạy: chia đơn thức/đa thức cho đơn thức, chia đa thức một biến có dư, và bảy hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương. Mỗi ví dụ dưới đây cố ý dùng lại đúng những con số đã xuất hiện ở các bài trước, để em thấy rõ chúng khớp với nhau như thế nào khi đứng chung trong một bài toán.

Khởi động

Một đề kiểm tra hiếm khi hỏi riêng lẻ từng công thức — nó thường trộn nhiều công cụ vào một bài. Kỹ năng quan trọng nhất lúc này không phải nhớ thêm gì mới, mà là nhận ra ngay bài toán trước mắt cần dùng công cụ nào trong bảy hằng đẳng thức đã học, hay đơn giản chỉ cần thuật toán chia đa thức của hai bài đầu khoá.

Nhận diện hằng đẳng thức nào cần dùng

Trước một biểu thức lạ, đừng vội nhân hay chia thủ công. Đối chiếu hình dạng của nó với bảy dạng đã học — có đúng hai bình phương cộng lại một tích đôi hay không, có phải hiệu hai luỹ thừa bậc hai hay bậc ba hay không — rồi mới xác định $A, B$ và thay vào. Nếu biểu thức không khớp thẳng với dạng nào, thử tách nhân tử chung trước, hoặc kiểm tra xem có phải kết quả của một phép chia đa thức đã gặp ở đầu khoá hay không — ba ví dụ dưới đây đi qua đúng ba tình huống đó.

Quy trình nhận diện hằng đẳng thức — tổng ôn

Ba ví dụ dưới đây lần lượt đi qua ba tình huống một đề kiểm tra hay đặt ra: rút gọn một biểu thức rồi thay số, nhận ra một phép chia thực chất là một hằng đẳng thức, và dựng biểu thức từ một tình huống thực tế trước khi tính.

Ví dụ

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

1
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức $(x+2)^2-(x-2)(x+2)$ tại $x=5$ .
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức $(x+2)^2-(x-2)(x+2)$ tại $x=5$.
2
$(x+2)^2=x^2+4x+4$ (bình phương của một tổng); $(x-2)(x+2)=x^2-4$ (hiệu hai bình phương).
$(x+2)^2=x^2+4x+4$ (bình phương của một tổng); $(x-2)(x+2)=x^2-4$ (hiệu hai bình phương).
3
$(x^2+4x+4)-(x^2-4)=4x+8$ .
$(x^2+4x+4)-(x^2-4)=4x+8$.
4
Với $x=5$ : $4\cdot5+8=28$ .
Với $x=5$: $4\cdot5+8=28$.
5
Vậy biểu thức rút gọn là $4x+8$ , và giá trị tại $x=5$ là $28$ .
Vậy biểu thức rút gọn là $4x+8$, và giá trị tại $x=5$ là $28$.

Ví dụ

Nối phép chia đa thức với hằng đẳng thức

1
Tính $(x^3+6x^2+12x+8):(x+2)$ .
Tính $(x^3+6x^2+12x+8):(x+2)$.
2
Tử số $x^3+6x^2+12x+8$ chính là khai triển của $(x+2)^3$ đã gặp ở bài lập phương của một tổng.
Tử số $x^3+6x^2+12x+8$ chính là khai triển của $(x+2)^3$ đã gặp ở bài lập phương của một tổng.
3
$(x+2)^3:(x+2)=(x+2)^2=x^2+4x+4$ .
$(x+2)^3:(x+2)=(x+2)^2=x^2+4x+4$.
4
Chia đa thức theo thuật toán: $x^3:x=x^2$ , nhân trừ còn $2x^2+12x+8$ ; $2x^2:x=2x$ , nhân trừ còn $4x+8$ ; $4x:x=4$ , nhân trừ còn $0$ . Thương $x^2+4x+4$ , dư $0$ — khớp với kết quả nhận dạng nhanh.
Chia đa thức theo thuật toán: $x^3:x=x^2$, nhân trừ còn $2x^2+12x+8$; $2x^2:x=2x$, nhân trừ còn $4x+8$; $4x:x=4$, nhân trừ còn $0$. Thương $x^2+4x+4$, dư $0$ — khớp với kết quả nhận dạng nhanh.

Ví dụ

Bài toán diện tích phối hợp hai công cụ (dạng thi)

1
Một hình vuông cạnh $(x+3)$ cm bị cắt bớt một hình vuông nhỏ cạnh $(x-1)$ cm ở một góc. Viết biểu thức diện tích phần còn lại dưới dạng tích.
Một hình vuông cạnh $(x+3)$ cm bị cắt bớt một hình vuông nhỏ cạnh $(x-1)$ cm ở một góc. Viết biểu thức diện tích phần còn lại dưới dạng tích.
2
Diện tích phần còn lại bằng diện tích hình vuông lớn trừ diện tích hình vuông nhỏ: $S=(x+3)^2-(x-1)^2$ .
Diện tích phần còn lại bằng diện tích hình vuông lớn trừ diện tích hình vuông nhỏ: $S=(x+3)^2-(x-1)^2$.
3
Đây đúng dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2$ với $A=x+3, B=x-1$ .
Đây đúng dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2$ với $A=x+3, B=x-1$.
4
$S=[(x+3)-(x-1)]\cdot[(x+3)+(x-1)]=4\cdot(2x+2)$ .
$S=[(x+3)-(x-1)]\cdot[(x+3)+(x-1)]=4\cdot(2x+2)$.
5
$S=8x+8=8(x+1)$ (cm $^2$ ). Đưa về tích $A^2-B^2$ trước khi rút gọn nhanh hơn hẳn khai triển từng bình phương rồi trừ.
$S=8x+8=8(x+1)$ (cm$^2$). Đưa về tích $A^2-B^2$ trước khi rút gọn nhanh hơn hẳn khai triển từng bình phương rồi trừ.

Ví dụ

Tìm x từ một biểu thức rút gọn (dạng thi)

1
Tìm $x$ , biết $(x+3)^2-(x-3)(x+3)=42$ .
Tìm $x$, biết $(x+3)^2-(x-3)(x+3)=42$.
2
Theo ví dụ đầu bài học, dạng $(x+a)^2-(x-a)(x+a)$ luôn rút gọn được. Ở đây: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ ; $(x-3)(x+3)=x^2-9$ ; hiệu là $(x^2+6x+9)-(x^2-9)=6x+18$ .
Theo ví dụ đầu bài học, dạng $(x+a)^2-(x-a)(x+a)$ luôn rút gọn được. Ở đây: $(x+3)^2=x^2+6x+9$; $(x-3)(x+3)=x^2-9$; hiệu là $(x^2+6x+9)-(x^2-9)=6x+18$.
3
$6x+18=42 \Rightarrow 6x=24 \Rightarrow x=4$ .
$6x+18=42 \Rightarrow 6x=24 \Rightarrow x=4$.
4
Vậy $x=4$ . Rút gọn bằng hằng đẳng thức trước khi giải phương trình tránh phải khai triển và thu gọn một biểu thức cồng kềnh.
Vậy $x=4$. Rút gọn bằng hằng đẳng thức trước khi giải phương trình tránh phải khai triển và thu gọn một biểu thức cồng kềnh.

Ví dụ

Phân tích trọn vẹn một đa thức nhiều hạng tử (dạng thi)

1
Phân tích $x^3-x^2-4x+4$ thành nhân tử.
Phân tích $x^3-x^2-4x+4$ thành nhân tử.
2
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau: $(x^3-x^2)-(4x-4)$ .
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau: $(x^3-x^2)-(4x-4)$.
3
$x^2(x-1)-4(x-1)$ .
$x^2(x-1)-4(x-1)$.
4
Cả hai số hạng đều chứa $(x-1)$ : $(x-1)(x^2-4)$ .
Cả hai số hạng đều chứa $(x-1)$: $(x-1)(x^2-4)$.
5
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ , nên $x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x-2)(x+2)$ .
$x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên $x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x-2)(x+2)$.
6
Bài toán tổng hợp thường không dừng ở một hằng đẳng thức — ở đây phải nhóm hạng tử trước, rồi mới nhận ra hiệu hai bình phương ẩn bên trong.

Bẫy thường gặp

Khi bài toán phối hợp nhiều công cụ, sai lầm phổ biến nhất không nằm ở từng bước riêng lẻ mà ở việc áp dụng nhầm hằng đẳng thức — chẳng hạn dùng hiệu hai bình phương cho một biểu thức thật ra là bình phương của một hiệu, hoặc quên đổi dấu ở nhân tử bậc hai của tổng/hiệu hai lập phương. Một bẫy khác là dừng lại quá sớm: sau khi nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung, luôn kiểm tra xem nhân tử còn lại có tiếp tục phân tích được bằng một hằng đẳng thức khác hay không, như $x^2-4$ trong ví dụ trên. Luôn đối chiếu đúng dạng trước khi thay $A, B$ , và kiểm tra lại bằng cách nhân ngược nếu còn nghi ngờ.

Khi bài toán phối hợp nhiều công cụ, sai lầm phổ biến nhất không nằm ở từng bước riêng lẻ mà ở việc áp dụng nhầm hằng đẳng thức — chẳng hạn dùng hiệu hai bình phương cho một biểu thức thật ra là bình phương của một hiệu, hoặc quên đổi dấu ở nhân tử bậc hai của tổng/hiệu hai lập phương. Một bẫy khác là dừng lại quá sớm: sau khi nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung, luôn kiểm tra xem nhân tử còn lại có tiếp tục phân tích được bằng một hằng đẳng thức khác hay không, như $x^2-4$ trong ví dụ trên. Luôn đối chiếu đúng dạng trước khi thay $A, B$, và kiểm tra lại bằng cách nhân ngược nếu còn nghi ngờ.

Một bài tổng hợp không đòi công thức mới — nó đòi đúng thao tác nhận dạng: đối chiếu hình dạng biểu thức với bảy hằng đẳng thức và thuật toán chia đa thức đã học, rồi chọn đúng công cụ trước khi tính. Khi một cách nhận dạng không lộ ra ngay, thử nhóm hạng tử hoặc đặt nhân tử chung trước — dạng quen thuộc thường ẩn bên trong sau một bước biến đổi nhỏ.

Khoá học tiếp theo dùng đúng bộ công cụ phân tích nhân tử này — đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, và bảy hằng đẳng thức vừa học — để xây dựng một bộ kỹ năng phân tích đa thức hoàn chỉnh, áp dụng cho những đa thức phức tạp hơn mà một hằng đẳng thức đơn lẻ không đủ để giải quyết.