Phần

Đề hỗn hợp — tham số mở khóa điều kiện nguyên và bất đẳng thức

Mục tiêu

Sau bài học này, em giải được một bài toán HSG Toán 8 thật sự NHIỀU PHẦN, trong đó giá trị tham số tìm được ở phần (a) trở thành dữ liệu bắt buộc phải mang theo khi làm phần (b), và các nghiệm tìm được ở phần (b) lại được dùng lại để chứng minh một bất đẳng thức ở phần (c) — đúng cấu trúc \u201cmột phần mở khóa phần sau\u201d thường gặp trong đề thi HSG.

Kiến thức nền cần có

Em cần thành thạo cả hai kỹ năng vừa luyện ở bài trước: hoàn thành bình phương để tìm GTNN của một tam thức (khóa \u201cĐại số nâng cao\u201d), và kỹ thuật thêm — bớt hằng số để đưa phương trình hai ẩn về dạng tích (khóa \u201cPhương trình và Bài toán Số nguyên\u201d).

So với bài toán chuẩn lớp 8

Đề chuẩn cho các câu (a), (b), (c) ĐỘC LẬP với nhau: câu (a) tìm một tham số, câu (b) tính giá trị biểu thức khi tham số nhận một số cụ thể cho trước ngay trong đề — không cần dùng lại kết quả câu (a). Đề HSG khóa các câu lại với nhau: câu (b) bắt buộc phải dùng đúng giá trị tham số vừa tìm được ở câu (a), và câu (c) dùng lại chính các nghiệm đó để chứng minh thêm một tính chất. Bỏ qua liên kết này là lỗi khiến bài làm mất điểm dù từng phép tính riêng lẻ không sai.

Bài toán mở đầu

Cho biểu thức $A=x^2-2x+m$ với $m$ là số nguyên dương.\n\na) Tìm $m$ nhỏ nhất sao cho giá trị nhỏ nhất của $A$ (theo $x$ ) bằng $5$ .\n\nb) Với $m$ tìm được ở câu a), tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $xy-x-my=4$ .\n\nc) Với MỌI nghiệm $(x,y)$ tìm được ở câu b), chứng minh $x^2+y^2>\dfrac{(x+y)^2}{2}$ .

Cho biểu thức $A=x^2-2x+m$ với $m$ là số nguyên dương.\n\na) Tìm $m$ nhỏ nhất sao cho giá trị nhỏ nhất của $A$ (theo $x$) bằng $5$.\n\nb) Với $m$ tìm được ở câu a), tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $xy-x-my=4$.\n\nc) Với MỌI nghiệm $(x,y)$ tìm được ở câu b), chứng minh $x^2+y^2>\dfrac{(x+y)^2}{2}$.

Ý tưởng chính: giá trị $m$ ở câu (a) không phải là đáp số cuối cùng — nó là HẰNG SỐ đầu vào cho phương trình ở câu (b). Câu (b) là một bài Số nguyên bình thường một khi đã biết $m$ . Câu (c) không cần tính toán gì thêm từ đầu, mà dùng đúng các nghiệm $(x,y)$ vừa tìm để minh họa một bất đẳng thức đại số tổng quát $2(a^2+b^2)>(a+b)^2$ khi $a\ne b$ — và các nghiệm ở câu (b) đều thỏa $x\ne y$ , nên bất đẳng thức chặt, không có dấu bằng.

**Ý tưởng chính:** giá trị $m$ ở câu (a) không phải là đáp số cuối cùng — nó là HẰNG SỐ đầu vào cho phương trình ở câu (b). Câu (b) là một bài Số nguyên bình thường một khi đã biết $m$. Câu (c) không cần tính toán gì thêm từ đầu, mà dùng đúng các nghiệm $(x,y)$ vừa tìm để minh họa một bất đẳng thức đại số tổng quát $2(a^2+b^2)>(a+b)^2$ khi $a\ne b$ — và các nghiệm ở câu (b) đều thỏa $x\ne y$, nên bất đẳng thức chặt, không có dấu bằng.

Ví dụ

Lời giải đầy đủ ba phần liên kết

1
Ta có $A=x^2-2x+m=(x-1)^2+(m-1)$ . Vì $(x-1)^2\ge0$ với mọi $x$ , nên $A\ge m-1$ , dấu bằng khi $x=1$ . Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ (theo $x$ ) là $m-1$ . (1)
Ta có $A=x^2-2x+m=(x-1)^2+(m-1)$. Vì $(x-1)^2\ge0$ với mọi $x$, nên $A\ge m-1$, dấu bằng khi $x=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ (theo $x$) là $m-1$. (1)
2
Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $5$ , kết hợp (1): $m-1=5\iff m=6$ . Vì đề chỉ có đúng một giá trị $m$ thỏa mãn (không phải một miền), $m=6$ vừa là nghiệm vừa là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $5$, kết hợp (1): $m-1=5\iff m=6$. Vì đề chỉ có đúng một giá trị $m$ thỏa mãn (không phải một miền), $m=6$ vừa là nghiệm vừa là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
3
Với $m=6$ , phương trình câu b) là $xy-x-6y=4$ . Vì $(x-6)(y-1)=xy-x-6y+6$ , cộng $6$ vào hai vế: $x(y-1)-6(y-1)=4+6=10$ , tức $(x-6)(y-1)=10$ . (2)
Với $m=6$, phương trình câu b) là $xy-x-6y=4$. Vì $(x-6)(y-1)=xy-x-6y+6$, cộng $6$ vào hai vế: $x(y-1)-6(y-1)=4+6=10$, tức $(x-6)(y-1)=10$. (2)
4
Vì $x,y$ nguyên dương nên $y-1\ge0$ ; xét $y-1\ge1$ (loại $y=1$ vì khi đó vế trái (2) bằng $0\ne10$ ). Các cặp ước dương của $10$ : $1\times10,\ 2\times5,\ 5\times2,\ 10\times1$ . Xét cặp ước âm: nếu $y-1<0$ thì $y\le0$ , không thỏa $y$ nguyên dương — loại toàn bộ nhánh âm.
Vì $x,y$ nguyên dương nên $y-1\ge0$; xét $y-1\ge1$ (loại $y=1$ vì khi đó vế trái (2) bằng $0\ne10$). Các cặp ước dương của $10$: $1\times10,\ 2\times5,\ 5\times2,\ 10\times1$. Xét cặp ước âm: nếu $y-1<0$ thì $y\le0$, không thỏa $y$ nguyên dương — loại toàn bộ nhánh âm.
5
Cộng $6$ vào mỗi ước thứ nhất để ra $x$ , cộng $1$ vào ước thứ hai để ra $y$ : $(x,y)\in\{(7{,}11);(8{,}6);(11{,}3);(16{,}2)\}$ . Thử lại $(8{,}6)$ : $8\times6-8-6\times6=48-8-36=4$ (đúng).
Cộng $6$ vào mỗi ước thứ nhất để ra $x$, cộng $1$ vào ước thứ hai để ra $y$: $(x,y)\in\{(7,11);(8,6);(11,3);(16,2)\}$. Thử lại $(8,6)$: $8\times6-8-6\times6=48-8-36=4$ (đúng).
6
Với hai số thực $a,b$ bất kỳ, xét hiệu $2(a^2+b^2)-(a+b)^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge0$ , dấu bằng khi $a=b$ . (3) Áp dụng (3) cho từng nghiệm $(x,y)$ ở câu b): cả bốn cặp $(7{,}11),(8{,}6),(11{,}3),(16{,}2)$ đều có $x\ne y$ , nên $(x-y)^2>0$ , suy ra $2(x^2+y^2)>(x+y)^2$ , tức $x^2+y^2>\dfrac{(x+y)^2}{2}$ với MỌI nghiệm tìm được. Vậy: $m=6$ ở câu a), bốn nghiệm nguyên dương ở câu b), và bất đẳng thức chặt ở câu c) — ba kết quả liên kết chặt với nhau, không phải ba bài tách rời.
Với hai số thực $a,b$ bất kỳ, xét hiệu $2(a^2+b^2)-(a+b)^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge0$, dấu bằng khi $a=b$. (3) Áp dụng (3) cho từng nghiệm $(x,y)$ ở câu b): cả bốn cặp $(7,11),(8,6),(11,3),(16,2)$ đều có $x\ne y$, nên $(x-y)^2>0$, suy ra $2(x^2+y^2)>(x+y)^2$, tức $x^2+y^2>\dfrac{(x+y)^2}{2}$ với MỌI nghiệm tìm được. Vậy: $m=6$ ở câu a), bốn nghiệm nguyên dương ở câu b), và bất đẳng thức chặt ở câu c) — ba kết quả liên kết chặt với nhau, không phải ba bài tách rời.

Đỉnh parabol chính là lời giải hình học của câu a): hoành độ đỉnh x=1 cho giá trị nhỏ nhất 5.

Ví dụ

Biến thể: đổi giá trị nhỏ nhất mục tiêu từ 5 thành 8

1
Với biểu thức $A=x^2-2x+m$ như trên, tìm $m$ nguyên dương nhỏ nhất để GTNN của $A$ bằng $8$ ; sau đó tìm nghiệm nguyên dương $(x,y)$ của $xy-x-my=4$ với $m$ vừa tìm.
Với biểu thức $A=x^2-2x+m$ như trên, tìm $m$ nguyên dương nhỏ nhất để GTNN của $A$ bằng $8$; sau đó tìm nghiệm nguyên dương $(x,y)$ của $xy-x-my=4$ với $m$ vừa tìm.
2
Theo (1) ở lời giải chính, GTNN của $A$ là $m-1$ . Đặt $m-1=8\Rightarrow m=9$ .
Theo (1) ở lời giải chính, GTNN của $A$ là $m-1$. Đặt $m-1=8\Rightarrow m=9$.
3
Phương trình trở thành $xy-x-9y=4$ . Tương tự bước b) ở trên, cộng $9$ vào hai vế: $(x-9)(y-1)=4+9=13$ — số nguyên tố. Các cặp ước dương: $1\times13,\ 13\times1$ , cho $(x,y)=(10{,}14)$ và $(22{,}2)$ .
Phương trình trở thành $xy-x-9y=4$. Tương tự bước b) ở trên, cộng $9$ vào hai vế: $(x-9)(y-1)=4+9=13$ — số nguyên tố. Các cặp ước dương: $1\times13,\ 13\times1$, cho $(x,y)=(10,14)$ và $(22,2)$.
4
Chỉ cần đổi MỘT con số mục tiêu ở câu a), toàn bộ chuỗi tính toán ở câu b) thay đổi theo — đúng bản chất của một bài toán liên kết: không thể giải câu sau mà bỏ qua kết quả câu trước.

Bẫy thường gặp

(1) Nhầm $m-1$ (GTNN theo tọa độ đỉnh) với $m$ khi thay vào phương trình câu b) — luôn dùng đúng giá trị $m$ vừa giải ra, không phải giá trị nhỏ nhất của $A$ . (2) Quên xét dấu của $y-1$ khi liệt kê ước, dẫn tới bỏ sót điều kiện $y\ge2$ (không phải $y\ge1$ ). (3) Ở câu c), áp dụng bất đẳng thức $(a-b)^2\ge0$ mà quên chỉ ra $x\ne y$ ở TỪNG nghiệm cụ thể — nếu một nghiệm có $x=y$ thì dấu bằng xảy ra, bất đẳng thức không còn chặt.

(1) Nhầm $m-1$ (GTNN theo tọa độ đỉnh) với $m$ khi thay vào phương trình câu b) — luôn dùng đúng giá trị $m$ vừa giải ra, không phải giá trị nhỏ nhất của $A$. (2) Quên xét dấu của $y-1$ khi liệt kê ước, dẫn tới bỏ sót điều kiện $y\ge2$ (không phải $y\ge1$). (3) Ở câu c), áp dụng bất đẳng thức $(a-b)^2\ge0$ mà quên chỉ ra $x\ne y$ ở TỪNG nghiệm cụ thể — nếu một nghiệm có $x=y$ thì dấu bằng xảy ra, bất đẳng thức không còn chặt.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Một bài toán nhiều phần cần được đọc như MỘT chuỗi dữ liệu chồng lên nhau, không phải các bài tách rời: (a) cho một hằng số/điều kiện, (b) dùng ĐÚNG hằng số đó để giải một bài mới, (c) dùng lại chính các nghiệm vừa tìm để chứng minh thêm. Luôn kiểm tra lại bằng cách thay số vào đề gốc.

Chương tiếp theo giữ nguyên tinh thần \u201cmột bước mở khóa bước sau\u201d nhưng chuyển sang hình học: một hình thang sẽ mở khóa một cặp tam giác đồng dạng, và cặp tam giác đó lại mở khóa một hệ thức về diện tích.