Bài học

Từ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đến đẳng thức Sophie Germain

Mục tiêu

Sau bài học này, em phân biệt được bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở mức đề kiểm tra/thi vào lớp 10 (dùng thẳng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ) và bài toán HSG cùng chủ đề, khi bảy hằng đẳng thức chuẩn không áp dụng trực tiếp được nữa. Em cũng tự tay dựng và dùng được đẳng thức Sophie Germain $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ .

Kiến thức nền cần có

Em cần thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương của một tổng/hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng/hiệu, tổng/hiệu hai lập phương) và thành thạo đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử — nội dung khóa "Phân tích đa thức thành nhân tử" mức chuẩn. Bài học này không nhắc lại các phép biến đổi đó, chỉ dùng chúng làm mốc so sánh.

Em cần thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương của một tổng/hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng/hiệu, tổng/hiệu hai lập phương) và thành thạo đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử — nội dung khóa \"Phân tích đa thức thành nhân tử\" mức chuẩn. Bài học này không nhắc lại các phép biến đổi đó, chỉ dùng chúng làm mốc so sánh.

So với bài toán chuẩn lớp 8

Đề kiểm tra hoặc đề thi vào lớp 10 phần phân tích đa thức thường cho một biểu thức khớp thẳng với một trong bảy hằng đẳng thức, hoặc cần thêm đúng một bước đặt nhân tử chung hay nhóm hạng tử trước khi khớp được. Đó là bài toán chuẩn: nhận diện dạng, áp công thức, xong. Bài toán HSG vẫn hỏi "phân tích thành nhân tử", nhưng chọn một đa thức mà cả bảy hằng đẳng thức chuẩn đều bó tay — học sinh phải tự tạo ra một đẳng thức mới, thường bằng cách thêm rồi bớt cùng một hạng tử.

Đề kiểm tra hoặc đề thi vào lớp 10 phần phân tích đa thức thường cho một biểu thức khớp thẳng với một trong bảy hằng đẳng thức, hoặc cần thêm đúng một bước đặt nhân tử chung hay nhóm hạng tử trước khi khớp được. Đó là bài toán chuẩn: nhận diện dạng, áp công thức, xong. Bài toán HSG vẫn hỏi \"phân tích thành nhân tử\", nhưng chọn một đa thức mà cả bảy hằng đẳng thức chuẩn đều bó tay — học sinh phải tự tạo ra một đẳng thức mới, thường bằng cách thêm rồi bớt cùng một hạng tử.

Bài toán khởi động

Thử phân tích $x^4+4$ thành nhân tử. Đây không phải hiệu hai bình phương vì là một tổng, không phải lập phương của ai cả, và đặt nhân tử chung cũng vô nghĩa vì $x^4$ và $4$ không có ước chung nào ngoài $1$ . Cả bảy hằng đẳng thức chuẩn đều không khớp trực tiếp. Đây chính là dấu hiệu của một bài HSG thật sự: cấu trúc quen mắt — lũy thừa bậc bốn cộng một hằng số — nhưng không giải được bằng công cụ có sẵn trong sách giáo khoa.

Thử phân tích $x^4+4$ thành nhân tử. Đây không phải hiệu hai bình phương vì là một tổng, không phải lập phương của ai cả, và đặt nhân tử chung cũng vô nghĩa vì $x^4$ và $4$ không có ước chung nào ngoài $1$. Cả bảy hằng đẳng thức chuẩn đều không khớp trực tiếp. Đây chính là dấu hiệu của một bài HSG thật sự: cấu trúc quen mắt — lũy thừa bậc bốn cộng một hằng số — nhưng không giải được bằng công cụ có sẵn trong sách giáo khoa.

Mở rộng dành cho HSG — đẳng thức Sophie Germain

Ta sẽ dùng một đẳng thức không nằm trong bảy hằng đẳng thức chuẩn của lớp 8: với mọi $a,b$ , $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ — gọi là đẳng thức Sophie Germain, theo tên nhà toán học Pháp đã dùng nó trong nghiên cứu về định lý Fermat. Ta không chấp nhận suông; dưới đây tự tay dựng ra đẳng thức này bằng đúng kỹ thuật thêm-bớt-hạng-tử, để thấy nó không phải phép màu mà là một bước biến đổi có logic.

Ta sẽ dùng một đẳng thức không nằm trong bảy hằng đẳng thức chuẩn của lớp 8: với mọi $a,b$, $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ — gọi là đẳng thức Sophie Germain, theo tên nhà toán học Pháp đã dùng nó trong nghiên cứu về định lý Fermat. Ta không chấp nhận suông; dưới đây tự tay dựng ra đẳng thức này bằng đúng kỹ thuật thêm-bớt-hạng-tử, để thấy nó không phải phép màu mà là một bước biến đổi có logic.

Ý tưởng chính

Thêm và bớt cùng một hạng tử $4x^2$ để $x^4+4$ xuất hiện dưới dạng bình phương của một tổng, rồi lộ ra một hiệu hai bình phương: $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$ . Vế đầu $(x^2+2)^2$ chính là hằng đẳng thức số 1, chỉ khác là áp dụng cho biểu thức $x^2$ chứ không phải một biến đơn. Nhận ra tổng $x^4+4$ "gần giống" bình phương của $(x^2+2)$ — chỉ lệch đúng $4x^2$ — là phản xạ học sinh giỏi cần luyện: nhìn một tổng hai lũy thừa và tự hỏi "thiếu hạng tử nào để nó thành một bình phương đủ".

Thêm và bớt cùng một hạng tử $4x^2$ để $x^4+4$ xuất hiện dưới dạng bình phương của một tổng, rồi lộ ra một hiệu hai bình phương: $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$. Vế đầu $(x^2+2)^2$ chính là hằng đẳng thức số 1, chỉ khác là áp dụng cho biểu thức $x^2$ chứ không phải một biến đơn. Nhận ra tổng $x^4+4$ \"gần giống\" bình phương của $(x^2+2)$ — chỉ lệch đúng $4x^2$ — là phản xạ học sinh giỏi cần luyện: nhìn một tổng hai lũy thừa và tự hỏi \"thiếu hạng tử nào để nó thành một bình phương đủ\".

Ví dụ

Phân tích x⁴+4 bằng kỹ thuật thêm-bớt hạng tử

1
$x^4+4$ là một TỔNG hai lũy thừa chẵn, không khớp hiệu hai bình phương (hằng đẳng thức số 3 cần dấu trừ), không có ước chung để đặt nhân tử. Ý tưởng mấu chốt là thêm và bớt $4x^2$ để lộ ra một bình phương đủ ở phần đầu, biến bài toán "không giải được bằng công cụ chuẩn" thành một bài hiệu hai bình phương quen thuộc — điều tự nhiên vì $(x^2)^2+4=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 2+4$ chỉ còn thiếu đúng $4x^2$ nữa là đủ bình phương một tổng.
$x^4+4$ là một TỔNG hai lũy thừa chẵn, không khớp hiệu hai bình phương (hằng đẳng thức số 3 cần dấu trừ), không có ước chung để đặt nhân tử. Ý tưởng mấu chốt là thêm và bớt $4x^2$ để lộ ra một bình phương đủ ở phần đầu, biến bài toán \"không giải được bằng công cụ chuẩn\" thành một bài hiệu hai bình phương quen thuộc — điều tự nhiên vì $(x^2)^2+4=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 2+4$ chỉ còn thiếu đúng $4x^2$ nữa là đủ bình phương một tổng.
2
$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2$ .
$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2$.
3
$x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2$ (bình phương của một tổng, hằng đẳng thức số 1).
$x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2$ (bình phương của một tổng, hằng đẳng thức số 1).
4
$x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2$ .
$x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2$.
5
$(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ .
$(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.
6
Nhân lại: $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=(x^2+2)^2-(2x)^2=x^4+4x^2+4-4x^2=x^4+4$ . Khớp với đề. Vậy $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ .
Nhân lại: $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=(x^2+2)^2-(2x)^2=x^4+4x^2+4-4x^2=x^4+4$. Khớp với đề. Vậy $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.
7
Tổng quát, $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ — đúng với mọi $a,b$ bằng cùng kỹ thuật thêm-bớt $4a^2b^2$ . Biến thể gần: $x^4+64=x^4+4\cdot 2^4$ , áp dụng với $a=x,b=2$ được $x^4+64=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)$ .
Tổng quát, $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ — đúng với mọi $a,b$ bằng cùng kỹ thuật thêm-bớt $4a^2b^2$. Biến thể gần: $x^4+64=x^4+4\cdot 2^4$, áp dụng với $a=x,b=2$ được $x^4+64=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)$.

Quy trình dùng lại y hệt cho mọi đa thức dạng

a^4+4b^4

.Quy trình dùng lại y hệt cho mọi đa thức dạng $a^4+4b^4$.

Ví dụ

Áp dụng: n⁴+4 là hợp số với mọi số nguyên n>1

1
Đề không hỏi "phân tích thành nhân tử" nữa mà hỏi một tính chất số học (hợp số hay nguyên tố) — phải tự nhận ra rằng phân tích thành nhân tử vừa học chính là chìa khóa, rồi kiểm soát xem hai nhân tử đó có thực sự đều lớn hơn 1 hay không. Đây là bước chuyển từ "biết công thức" sang "dùng công thức để suy luận", chỗ nhiều học sinh dừng lại quá sớm.
Đề không hỏi \"phân tích thành nhân tử\" nữa mà hỏi một tính chất số học (hợp số hay nguyên tố) — phải tự nhận ra rằng phân tích thành nhân tử vừa học chính là chìa khóa, rồi kiểm soát xem hai nhân tử đó có thực sự đều lớn hơn 1 hay không. Đây là bước chuyển từ \"biết công thức\" sang \"dùng công thức để suy luận\", chỗ nhiều học sinh dừng lại quá sớm.
2
Với $a=n,b=1$ : $n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$ .
Với $a=n,b=1$: $n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$.
3
Với $n\ge 2$ : $n^2-2n+2=(n-1)^2+1\ge 1^2+1=2>1$ . (1)
Với $n\ge 2$: $n^2-2n+2=(n-1)^2+1\ge 1^2+1=2>1$. (1)
4
$n^2+2n+2>n^2-2n+2\ge 2$ với $n\ge2$ (vì $4n>0$ ), nên $n^2+2n+2>1$ . (2)
$n^2+2n+2>n^2-2n+2\ge 2$ với $n\ge2$ (vì $4n>0$), nên $n^2+2n+2>1$. (2)
5
Kết hợp (1) và (2): với $n>1$ , $n^4+4$ là tích của hai số nguyên đều lớn hơn 1, nên là hợp số. Vậy $n^4+4$ là hợp số với mọi số nguyên $n>1$ .
Kết hợp (1) và (2): với $n>1$, $n^4+4$ là tích của hai số nguyên đều lớn hơn 1, nên là hợp số. Vậy $n^4+4$ là hợp số với mọi số nguyên $n>1$.
6
Điều kiện $n>1$ không thừa: tại $n=1$ , nhân tử $n^2-2n+2=1$ nên $n^4+4=1\cdot5=5$ vẫn là số nguyên tố — đúng ranh giới của bài toán, không phải phản ví dụ. Biến thể gần: cùng lý luận cho $4n^4+1=(2n^2-2n+1)(2n^2+2n+1)$ chứng minh được hợp số với $n>1$ (Chương 5 sẽ dùng lại đúng biến thể này).
Điều kiện $n>1$ không thừa: tại $n=1$, nhân tử $n^2-2n+2=1$ nên $n^4+4=1\cdot5=5$ vẫn là số nguyên tố — đúng ranh giới của bài toán, không phải phản ví dụ. Biến thể gần: cùng lý luận cho $4n^4+1=(2n^2-2n+1)(2n^2+2n+1)$ chứng minh được hợp số với $n>1$ (Chương 5 sẽ dùng lại đúng biến thể này).

Bẫy thường gặp

(1) Quên hệ số $4$ khi thêm-bớt: phải thêm đúng $4x^2$ để khớp hằng đẳng thức số 1, thêm $2x^2$ hay $x^2$ sẽ không ra một bình phương đủ. (2) Nhầm dấu khi tách hiệu hai bình phương — $(x^2+2)^2-(2x)^2$ chứ không phải $(x^2-2)^2$ . (3) Với bài chứng minh hợp số, quên xét biên $n=1$ : kết luận vội "luôn là hợp số với mọi $n$ " là sai vì $n=1$ cho ra số nguyên tố $5$ .

(1) Quên hệ số $4$ khi thêm-bớt: phải thêm đúng $4x^2$ để khớp hằng đẳng thức số 1, thêm $2x^2$ hay $x^2$ sẽ không ra một bình phương đủ. (2) Nhầm dấu khi tách hiệu hai bình phương — $(x^2+2)^2-(2x)^2$ chứ không phải $(x^2-2)^2$. (3) Với bài chứng minh hợp số, quên xét biên $n=1$: kết luận vội \"luôn là hợp số với mọi $n$\" là sai vì $n=1$ cho ra số nguyên tố $5$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Ghi nhớ

Khi một tổng hai lũy thừa chẵn không khớp bảy hằng đẳng thức chuẩn, hãy thử thêm-bớt đúng hạng tử để lộ ra một bình phương đủ, rồi đưa về hiệu hai bình phương. Đẳng thức Sophie Germain $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ là trường hợp riêng nổi tiếng nhất của kỹ thuật này.

Kỹ thuật thêm-bớt hạng tử vừa học áp dụng cho đại số. Bài học tiếp theo chuyển sang hình học để thấy ranh giới chuẩn – HSG xuất hiện y hệt: một chứng minh chuẩn chỉ cần một bước, còn phiên bản HSG cần thêm một đường phụ.