Phần

Từ chứng minh trực tiếp đến chứng minh cần đường phụ

Mục tiêu

Sau bài học, em phân biệt được chứng minh hình học "một bước" — dùng thẳng một tính chất có sẵn — và chứng minh cần "đường phụ" — thêm một điểm hoặc đường mới để bắc cầu giữa hai đại lượng chưa liên hệ trực tiếp. Em trình bày được chứng minh hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau bằng cách kéo dài hai cạnh bên tới giao điểm.

Sau bài học, em phân biệt được chứng minh hình học \"một bước\" — dùng thẳng một tính chất có sẵn — và chứng minh cần \"đường phụ\" — thêm một điểm hoặc đường mới để bắc cầu giữa hai đại lượng chưa liên hệ trực tiếp. Em trình bày được chứng minh hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau bằng cách kéo dài hai cạnh bên tới giao điểm.

Kiến thức nền cần có

Em cần nắm định nghĩa hình thang cân (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau), trường hợp bằng nhau cạnh–góc–cạnh của hai tam giác, và tính chất tam giác cân: hai góc đáy bằng nhau thì hai cạnh bên bằng nhau — khóa "Hình thang cân" và "Tam giác cân" mức chuẩn.

So với bài toán chuẩn lớp 8

Bài chuẩn thường CHO SẴN hình thang cân $ABCD$ với hai cạnh bên $AD=BC$ (giả thiết coi như đã biết) và chỉ yêu cầu chứng minh hai đường chéo bằng nhau: $AC=BD$ . Chứng minh này ngắn — xét hai tam giác $ACD$ và $BDC$ bằng nhau theo trường hợp cạnh–góc–cạnh, ba dòng là xong, không cần vẽ thêm bất cứ điều gì. Bài HSG không cho sẵn $AD=BC$ nữa: nó bắt chứng minh chính tính chất đó, chỉ từ định nghĩa gốc — hai góc kề một đáy bằng nhau. Muốn bắc cầu giữa hai đoạn $AD$ và $BC$ vốn không nằm trên cùng một đường thẳng, cách duy nhất là tạo ra một điểm mới nối chúng lại.

Bài chuẩn thường CHO SẴN hình thang cân $ABCD$ với hai cạnh bên $AD=BC$ (giả thiết coi như đã biết) và chỉ yêu cầu chứng minh hai đường chéo bằng nhau: $AC=BD$. Chứng minh này ngắn — xét hai tam giác $ACD$ và $BDC$ bằng nhau theo trường hợp cạnh–góc–cạnh, ba dòng là xong, không cần vẽ thêm bất cứ điều gì. Bài HSG không cho sẵn $AD=BC$ nữa: nó bắt chứng minh chính tính chất đó, chỉ từ định nghĩa gốc — hai góc kề một đáy bằng nhau. Muốn bắc cầu giữa hai đoạn $AD$ và $BC$ vốn không nằm trên cùng một đường thẳng, cách duy nhất là tạo ra một điểm mới nối chúng lại.

Bài toán khởi động

Cho hình thang cân $ABCD$ , đáy nhỏ $AB$ , đáy lớn $CD$ ( $AB<CD$ ), tức góc $D$ bằng góc $C$ . Chứng minh $AD=BC$ . Không có định lý nào cho ngay kết luận này từ mỗi tam giác riêng lẻ $A,D$ hay $B,C$ — phải tự dựng thêm một điểm để hai đoạn cùng xuất hiện trong một tam giác duy nhất.

Cho hình thang cân $ABCD$, đáy nhỏ $AB$, đáy lớn $CD$ ($AB<CD$), tức góc $D$ bằng góc $C$. Chứng minh $AD=BC$. Không có định lý nào cho ngay kết luận này từ mỗi tam giác riêng lẻ $A,D$ hay $B,C$ — phải tự dựng thêm một điểm để hai đoạn cùng xuất hiện trong một tam giác duy nhất.

Ý tưởng chính

Vì $AB<CD$ , kéo dài hai cạnh bên $AD$ và $BC$ theo chiều từ đáy lớn lên đáy nhỏ, chúng sẽ gặp nhau tại một điểm $O$ nằm ngoài hình thang, phía trên $AB$ . Khi đó tam giác $OCD$ trở thành một tam giác cân dễ xử lý — vì góc đáy của nó chính là góc $D$ , góc $C$ đã cho bằng nhau — và $AD$ , $BC$ chỉ còn là "phần dư" của $OD$ , $OC$ sau khi trừ đi $OA$ , $OB$ . Nhận ra rằng kéo dài hai cạnh bên sẽ tạo ra một tam giác cân bao trùm cả hình thang là phản xạ chính cần luyện ở dạng đường phụ này. Đây cũng là ví dụ đầu tiên của một nguyên tắc sẽ lặp lại suốt khóa học: khi hai đoạn thẳng cần so sánh nằm tách biệt nhau trên hình vẽ, hãy tìm một điểm phụ khiến cả hai cùng xuất hiện trong một hình quen thuộc — ở đây là một cặp tam giác cân, chứ không phải cố chứng minh trực tiếp từ hai tam giác rời rạc.

Vì $AB<CD$, kéo dài hai cạnh bên $AD$ và $BC$ theo chiều từ đáy lớn lên đáy nhỏ, chúng sẽ gặp nhau tại một điểm $O$ nằm ngoài hình thang, phía trên $AB$. Khi đó tam giác $OCD$ trở thành một tam giác cân dễ xử lý — vì góc đáy của nó chính là góc $D$, góc $C$ đã cho bằng nhau — và $AD$, $BC$ chỉ còn là \"phần dư\" của $OD$, $OC$ sau khi trừ đi $OA$, $OB$. Nhận ra rằng kéo dài hai cạnh bên sẽ tạo ra một tam giác cân bao trùm cả hình thang là phản xạ chính cần luyện ở dạng đường phụ này. Đây cũng là ví dụ đầu tiên của một nguyên tắc sẽ lặp lại suốt khóa học: khi hai đoạn thẳng cần so sánh nằm tách biệt nhau trên hình vẽ, hãy tìm một điểm phụ khiến cả hai cùng xuất hiện trong một hình quen thuộc — ở đây là một cặp tam giác cân, chứ không phải cố chứng minh trực tiếp từ hai tam giác rời rạc.

Lời giải có hình

Chứng minh AD = BC bằng cách kéo dài hai cạnh bên tới O

Bước 1

Đề cho: hình thang cân ABCD, AB // CD, AB là đáy nhỏ (AB < CD).

Toạ độ hóa đúng cấu hình đã chứng minh:

O

là giao điểm của hai đường thẳng chứa

AD

và

BC

, với

OD=OC

và

OA=OB

.Toạ độ hóa đúng cấu hình đã chứng minh: $O$ là giao điểm của hai đường thẳng chứa $AD$ và $BC$, với $OD=OC$ và $OA=OB$.

Ví dụ

Áp dụng: tính cạnh bên còn lại của một hình thang cân

1
Kết quả "hai cạnh bên hình thang cân bằng nhau" vừa chứng minh xong ở trên; bài này chỉ dùng nó như một định lý có sẵn để suy ra một cạnh chưa biết — mức độ ngang bài chuẩn. Ta luyện áp dụng trước khi quay lại bài toán đường chéo, vốn mới là chỗ thể hiện rõ sự tương phản một-bước so với cần-đường-phụ.
2
Cho hình thang cân $MNPQ$ (đáy nhỏ $MN$ , đáy lớn $PQ$ ) có cạnh bên $MQ=10\text{ cm}$ . Tính cạnh bên $NP$ .
Cho hình thang cân $MNPQ$ (đáy nhỏ $MN$, đáy lớn $PQ$) có cạnh bên $MQ=10\text{ cm}$. Tính cạnh bên $NP$.
3
Vì $MNPQ$ là hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: $NP=MQ=10\text{ cm}$ .
Vì $MNPQ$ là hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: $NP=MQ=10\text{ cm}$.
4
Vậy $NP=10\text{ cm}$ — không cần đo đạc hay dựng thêm gì, vì tính chất đã được chứng minh tổng quát cho MỌI hình thang cân ở worked-figure trên.
Vậy $NP=10\text{ cm}$ — không cần đo đạc hay dựng thêm gì, vì tính chất đã được chứng minh tổng quát cho MỌI hình thang cân ở worked-figure trên.

Ví dụ

Quay lại bài chuẩn: chứng minh AC = BD khi đã có AD = BC

1
Khác với bài AD=BC vừa xong — phải kéo dài hai cạnh bên tới một điểm phụ — bài chứng minh hai đường chéo bằng nhau có sẵn ngay một cặp cạnh bằng nhau (AD=BC, vừa chứng minh) để đưa thẳng vào một cặp tam giác chứa cả hai đường chéo, không cần dựng thêm bất cứ điểm nào.
2
Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$ : $AD=BC$ (đã chứng minh ở trên), góc $ADC$ = góc $BCD$ (giả thiết, hình thang cân), $DC$ chung.
Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$: $AD=BC$ (đã chứng minh ở trên), góc $ADC$ = góc $BCD$ (giả thiết, hình thang cân), $DC$ chung.
3
$\triangle ACD=\triangle BDC$ (cạnh–góc–cạnh), suy ra $AC=BD$ .
$\triangle ACD=\triangle BDC$ (cạnh–góc–cạnh), suy ra $AC=BD$.
4
Vậy $AC=BD$ . Bài toán "đường chéo bằng nhau" khi đã có sẵn $AD=BC$ là chứng minh MỘT BƯỚC (một cặp tam giác, một trường hợp bằng nhau); còn bài toán "cạnh bên bằng nhau" từ định nghĩa gốc là chứng minh CẦN ĐƯỜNG PHỤ (phải tạo điểm $O$ trước khi có tam giác để xét) — đây chính là ranh giới chuẩn–HSG của chủ đề hình thang cân. Một đề thi có thể cho sẵn $AD=BC$ (bài chuẩn) hoặc bắt chứng minh nó từ đầu (bài HSG) — cùng một hình vẽ, nhưng độ khó phụ thuộc hoàn toàn vào việc giả thiết đã cho sẵn cây cầu nối hay chưa.
Vậy $AC=BD$. Bài toán \"đường chéo bằng nhau\" khi đã có sẵn $AD=BC$ là chứng minh MỘT BƯỚC (một cặp tam giác, một trường hợp bằng nhau); còn bài toán \"cạnh bên bằng nhau\" từ định nghĩa gốc là chứng minh CẦN ĐƯỜNG PHỤ (phải tạo điểm $O$ trước khi có tam giác để xét) — đây chính là ranh giới chuẩn–HSG của chủ đề hình thang cân. Một đề thi có thể cho sẵn $AD=BC$ (bài chuẩn) hoặc bắt chứng minh nó từ đầu (bài HSG) — cùng một hình vẽ, nhưng độ khó phụ thuộc hoàn toàn vào việc giả thiết đã cho sẵn cây cầu nối hay chưa.

Bẫy thường gặp

(1) Kéo dài hai cạnh bên nhầm hướng: phải kéo dài từ đáy lớn về phía đáy nhỏ (vì $AB<CD$ ), kéo dài ngược lại sẽ không cắt nhau ở phía tạo được tam giác cân bao trùm. (2) Quên chứng minh tam giác $OCD$ cân TRƯỚC khi suy ra $OA=OB$ — hai bước cân này phụ thuộc lẫn nhau qua các góc đồng vị, bỏ qua thứ tự làm lời giải thiếu chặt chẽ. (3) Ở bài đường chéo, chọn nhầm cặp tam giác — phải là $ACD$ và $BDC$ (chứa đúng hai đường chéo), không phải $ACD$ và $ABD$ .

(1) Kéo dài hai cạnh bên nhầm hướng: phải kéo dài từ đáy lớn về phía đáy nhỏ (vì $AB<CD$), kéo dài ngược lại sẽ không cắt nhau ở phía tạo được tam giác cân bao trùm. (2) Quên chứng minh tam giác $OCD$ cân TRƯỚC khi suy ra $OA=OB$ — hai bước cân này phụ thuộc lẫn nhau qua các góc đồng vị, bỏ qua thứ tự làm lời giải thiếu chặt chẽ. (3) Ở bài đường chéo, chọn nhầm cặp tam giác — phải là $ACD$ và $BDC$ (chứa đúng hai đường chéo), không phải $ACD$ và $ABD$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Ghi nhớ

Khi hai đoạn thẳng cần so sánh không nằm trong cùng một tam giác, hãy nghĩ đến việc kéo dài các cạnh liên quan cho tới khi chúng gặp nhau tại một điểm phụ — điểm đó thường sinh ra một tam giác cân hoặc đồng dạng làm cầu nối.

Kéo dài cạnh là cách dựng đường phụ đầu tiên em gặp. Bài học tiếp theo giới thiệu cách thứ hai — vẽ thêm một đường chéo — để biến một tứ giác với các cạnh bằng nhau thành hai tam giác bằng nhau, từ đó viết một chứng minh chặt chẽ đúng chuẩn.