Bài học

Hệ quả định lí Thalès và đường trung bình

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng được hệ quả của định lí Thalès để tính trực tiếp đoạn DE khi biết tỉ số AD/AB, và nhận ra cùng lúc một trường hợp đặc biệt rất hay gặp: khi D, E là trung điểm hai cạnh, DE trở thành đường trung bình của tam giác; em cũng tính được đường trung bình của hình thang.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã có $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ khi DE // BC. Bài này thêm đúng một vế nữa vào chuỗi tỉ lệ đó: DE/BC. Em cũng cần nhớ khái niệm trung điểm của một đoạn thẳng đã học từ lớp 6, và khái niệm hình thang (một cặp cạnh đối song song) vừa học ở chương tứ giác.

Khởi động

Nếu D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC trong tam giác ABC, đoạn thẳng MN nối hai trung điểm đó có song song với BC không, và dài bao nhiêu so với BC? Đây là câu hỏi cụ thể mà bài học này trả lời chính xác, không phải phỏng đoán bằng mắt.

Kiến thức trọng tâm

Hệ quả của định lí Thalès: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho, tức là $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ .

Vì sao vế DE/BC cũng bằng tỉ số đó? Ta vẽ thêm một đường phụ: qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại F. Khi đó tứ giác DBFE có DB // EF (vì EF // AB chứa DB) và BF // DE (vì DE // BC chứa BF), nên DBFE là hình bình hành, suy ra DE = BF. Mặt khác, áp dụng định lí Thalès một lần nữa cho tam giác CAB với đường EF // AB, ta có $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA}$ , từ đó tính ra BF (và do đó DE) đúng bằng $\frac{AD}{AB} \times BC$ . Chi tiết đại số này không bắt buộc phải trình bày lại mỗi lần dùng — điều quan trọng là ghi nhớ và áp dụng đúng công thức $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ .

Vì sao vế DE/BC cũng bằng tỉ số đó? Ta vẽ thêm một đường phụ: qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại F. Khi đó tứ giác DBFE có DB // EF (vì EF // AB chứa DB) và BF // DE (vì DE // BC chứa BF), nên DBFE là hình bình hành, suy ra DE = BF. Mặt khác, áp dụng định lí Thalès một lần nữa cho tam giác CAB với đường EF // AB, ta có $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA}$, từ đó tính ra BF (và do đó DE) đúng bằng $\frac{AD}{AB} \times BC$. Chi tiết đại số này không bắt buộc phải trình bày lại mỗi lần dùng — điều quan trọng là ghi nhớ và áp dụng đúng công thức $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$.

Đường trung bình của tam giác

Trường hợp riêng khi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC — tức AD/AB = 1/2 — đoạn DE khi đó được gọi là đường trung bình của tam giác ABC. Áp dụng ngay hệ quả trên với tỉ số 1/2: DE // BC và DE = BC/2. Đây là một tính chất dùng rất thường xuyên vì nó cho phép tính nửa cạnh mà không cần đo trực tiếp.

Lời giải có hình

Đường trung bình của tam giác

Bước 1

Cho tam giác ABC.

Ví dụ

Tính DE từ tỉ số AD/AB đã biết (hệ quả tổng quát)

1
Cho tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC, DE // BC. Biết AD/AB = 2/5, BC = 15 cm. Tính DE.
2
Vì DE // BC nên theo hệ quả định lí Thalès, $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$ .
Vì DE // BC nên theo hệ quả định lí Thalès, $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$.
3
$DE = \frac{2}{5} \times 15 = 6$ (cm).
$DE = \frac{2}{5} \times 15 = 6$ (cm).
4
Vậy DE = 6 cm.

Đường trung bình của hình thang

Hình thang ABCD (AB // CD) cũng có một đường trung bình MN, với M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC; đường trung bình này song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy: $MN = \frac{AB + CD}{2}$ . Ta thấy ngay tính chất này từ đường trung bình của tam giác: vẽ đường chéo AC, chia hình thang thành hai tam giác ABC và ACD; áp dụng đường trung bình của tam giác cho từng tam giác qua trung điểm của AC, rồi cộng hai kết quả lại đúng bằng nửa tổng AB + CD.

Hình thang ABCD (AB // CD) cũng có một đường trung bình MN, với M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC; đường trung bình này song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy: $MN = \frac{AB + CD}{2}$. Ta thấy ngay tính chất này từ đường trung bình của tam giác: vẽ đường chéo AC, chia hình thang thành hai tam giác ABC và ACD; áp dụng đường trung bình của tam giác cho từng tam giác qua trung điểm của AC, rồi cộng hai kết quả lại đúng bằng nửa tổng AB + CD.

Ví dụ

Tính đường trung bình của hình thang

1
Hình thang ABCD có AB // CD, AB = 8 cm, CD = 14 cm. Tính đường trung bình MN.
2
$MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{8 + 14}{2}$ .
$MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{8 + 14}{2}$.
3
$MN = \frac{22}{2} = 11$ (cm).
$MN = \frac{22}{2} = 11$ (cm).
4
Vậy đường trung bình của hình thang MN = 11 cm.

Ví dụ

Bài toán ngược: tìm một đáy khi biết đường trung bình

1
Một khung cửa sổ hình thang có đường trung bình MN = 90 cm, đáy trên (đáy nhỏ) AB = 70 cm. Tính đáy dưới CD.
2
Từ $MN = \frac{AB + CD}{2}$ , ta có $90 = \frac{70 + CD}{2}$ , suy ra $70 + CD = 180$ .
Từ $MN = \frac{AB + CD}{2}$, ta có $90 = \frac{70 + CD}{2}$, suy ra $70 + CD = 180$.
3
$CD = 180 - 70 = 110$ (cm).
$CD = 180 - 70 = 110$ (cm).
4
Vậy đáy dưới của khung cửa sổ là CD = 110 cm — dài hơn đáy trên đúng 40 cm, hợp lí với hình dạng loe ra của một khung cửa sổ hình thang.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Đường trung bình chỉ dùng đúng cặp cạnh bên

Với hình thang, đường trung bình phải nối trung điểm hai cạnh BÊN (AD và BC), không phải nối trung điểm của hai đáy hay của hai đường chéo. Nối sai cặp cạnh cho ra một đoạn không có tính chất song song hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hệ quả định lí Thalès: DE // BC thì AD/AB = AE/AC = DE/BC — cả ba tỉ số đều bằng nhau, không chỉ hai tỉ số đầu như bài trước. Khi tỉ số đó bằng 1/2 (D, E là trung điểm), DE gọi là đường trung bình của tam giác. Hình thang cũng có đường trung bình riêng, nối trung điểm hai cạnh bên, bằng nửa tổng hai đáy.

Bài sau chuyển từ "một đường thẳng cắt một tam giác" sang "hai tam giác nguyên vẹn" — khi nào hai tam giác được gọi là đồng dạng, và ba trường hợp giúp nhận biết điều đó mà không cần đo hết mọi cạnh, mọi góc.