Bài học

Tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi và tỉ số diện tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được cạnh còn thiếu của một trong hai tam giác đồng dạng khi biết tỉ số k, tính được tỉ số chu vi (bằng k) và phân biệt rạch ròi với tỉ số diện tích (bằng k²) — đây là hai đại lượng học sinh dễ nhầm lẫn nhất trong chủ đề đồng dạng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã có định nghĩa: tam giác A'B'C' đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số k nghĩa là mỗi cạnh của A'B'C' gấp k lần cạnh tương ứng của ABC. Em cũng cần nhớ công thức chu vi (tổng ba cạnh) và diện tích tam giác (nửa tích đáy với chiều cao tương ứng) đã học.

Khởi động

Nếu phóng to một khung ảnh tam giác sao cho mỗi cạnh dài gấp đôi cạnh cũ, khung ảnh mới cần bao nhiêu mét viền quanh so với khung cũ — gấp đôi hay khác? Còn tấm kính lắp bên trong khung, diện tích cần cắt gấp mấy lần so với tấm kính cũ? Hai câu trả lời có giống nhau không?

Kiến thức trọng tâm

Nếu tam giác A'B'C' ∽ tam giác ABC theo tỉ số k, thì $A'B' = k \cdot AB$ , $B'C' = k \cdot BC$ , $A'C' = k \cdot AC$ — mỗi cạnh riêng lẻ đều gấp k lần. Từ đó, chu vi tam giác A'B'C' bằng tổng ba cạnh đã gấp k: $P' = A'B' + B'C' + A'C' = k(AB + BC + AC) = k \cdot P$ . Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng cũng đúng bằng k — tổng của các đại lượng cùng gấp k lần thì cũng gấp k lần, một quy luật cộng tính đơn giản.

Nếu tam giác A'B'C' ∽ tam giác ABC theo tỉ số k, thì $A'B' = k \cdot AB$, $B'C' = k \cdot BC$, $A'C' = k \cdot AC$ — mỗi cạnh riêng lẻ đều gấp k lần. Từ đó, chu vi tam giác A'B'C' bằng tổng ba cạnh đã gấp k: $P' = A'B' + B'C' + A'C' = k(AB + BC + AC) = k \cdot P$. Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng cũng đúng bằng k — tổng của các đại lượng cùng gấp k lần thì cũng gấp k lần, một quy luật cộng tính đơn giản.

Diện tích thì khác hẳn. Diện tích tam giác được tính bằng $\frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}$ . Trong hai tam giác đồng dạng, đường cao tương ứng cũng là một cặp "cạnh" theo nghĩa hình học — nó cũng gấp k lần (vì toàn bộ hình dạng được phóng to đều theo mọi hướng với cùng hệ số k). Vậy diện tích mới bằng $\frac{1}{2} \times (k \cdot \text{đáy}) \times (k \cdot \text{chiều cao}) = k^2 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\right) = k^2 \times S$ . Diện tích là tích của HAI kích thước dài, mỗi kích thước góp một thừa số k, nên tổng cộng góp $k \times k = k^2$ — không phải k.

Diện tích thì khác hẳn. Diện tích tam giác được tính bằng $\frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}$. Trong hai tam giác đồng dạng, đường cao tương ứng cũng là một cặp "cạnh" theo nghĩa hình học — nó cũng gấp k lần (vì toàn bộ hình dạng được phóng to đều theo mọi hướng với cùng hệ số k). Vậy diện tích mới bằng $\frac{1}{2} \times (k \cdot \text{đáy}) \times (k \cdot \text{chiều cao}) = k^2 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\right) = k^2 \times S$. Diện tích là tích của HAI kích thước dài, mỗi kích thước góp một thừa số k, nên tổng cộng góp $k \times k = k^2$ — không phải k.

Lời giải có hình

Tỉ số đồng dạng k: cạnh gấp k lần, diện tích gấp k² lần

Bước 1

Cho tam giác ABC.

Đây là lí do vì sao đề kiểm tra hay ra riêng câu hỏi về tỉ số diện tích: học sinh quen tay nhân k cho mọi đại lượng (đúng với cạnh và chu vi) rồi áp dụng luôn cho diện tích — trong khi diện tích phải nhân $k^2$ . Luôn tự hỏi: đại lượng đang tính là một độ dài (nhân k) hay một diện tích (nhân $k^2$ )?

Đây là lí do vì sao đề kiểm tra hay ra riêng câu hỏi về tỉ số diện tích: học sinh quen tay nhân k cho mọi đại lượng (đúng với cạnh và chu vi) rồi áp dụng luôn cho diện tích — trong khi diện tích phải nhân $k^2$. Luôn tự hỏi: đại lượng đang tính là một độ dài (nhân k) hay một diện tích (nhân $k^2$)?

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính cạnh còn thiếu từ tỉ số đồng dạng

1
Tam giác A'B'C' ∽ tam giác ABC theo tỉ số k = 3/4. Cạnh AB (tam giác lớn) dài 12 cm. Tính cạnh A'B' tương ứng.
2
Theo định nghĩa, $A'B' = k \times AB$ .
Theo định nghĩa, $A'B' = k \times AB$.
3
$A'B' = \frac{3}{4} \times 12 = 9$ (cm).
$A'B' = \frac{3}{4} \times 12 = 9$ (cm).
4
Vậy A'B' = 9 cm.

Ví dụ

Tính chu vi từ tỉ số đồng dạng

1
Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k = 2/3 (tam giác nhỏ so với tam giác lớn). Chu vi tam giác lớn là 36 cm. Tính chu vi tam giác nhỏ.
2
Tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng: $\frac{P_{nhỏ}}{P_{lớn}} = k = \frac{2}{3}$ .
Tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng: $\frac{P_{nhỏ}}{P_{lớn}} = k = \frac{2}{3}$.
3
$P_{nhỏ} = \frac{2}{3} \times 36 = 24$ (cm).
$P_{nhỏ} = \frac{2}{3} \times 36 = 24$ (cm).
4
Vậy chu vi tam giác nhỏ là 24 cm.

Ví dụ

Tính diện tích từ tỉ số đồng dạng — điểm hay nhầm

1
Tam giác lớn đồng dạng với tam giác nhỏ theo tỉ số k = 3/2 (tam giác lớn so với tam giác nhỏ). Diện tích tam giác nhỏ là 20 cm². Tính diện tích tam giác lớn.
2
Nhiều bạn tính $S_{lớn} = 20 \times \frac{3}{2} = 30$ (cm²) — đây là SAI, vì đã áp dụng công thức của chu vi (nhân k) cho diện tích.
Nhiều bạn tính $S_{lớn} = 20 \times \frac{3}{2} = 30$ (cm²) — đây là SAI, vì đã áp dụng công thức của chu vi (nhân k) cho diện tích.
3
Diện tích tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG tỉ số đồng dạng: $\frac{S_{lớn}}{S_{nhỏ}} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ .
Diện tích tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG tỉ số đồng dạng: $\frac{S_{lớn}}{S_{nhỏ}} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
4
$S_{lớn} = 20 \times \frac{9}{4} = 45$ (cm²).
$S_{lớn} = 20 \times \frac{9}{4} = 45$ (cm²).
5
Vậy diện tích tam giác lớn đúng là 45 cm², không phải 30 cm².

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Chu vi nhân k, diện tích nhân k²

Đây là lỗi phổ biến nhất của chủ đề đồng dạng: nhân k cho MỌI đại lượng, kể cả diện tích. Hãy luôn kiểm tra đơn vị của đại lượng đang tính — độ dài hoặc chu vi (đơn vị cm, m) thì nhân k; diện tích (đơn vị cm², m²) thì nhân $k^2$ .

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tam giác A'B'C' đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số k: mỗi cạnh và tỉ số chu vi đều gấp đúng k lần; diện tích gấp $k^2$ lần, vì diện tích là tích của hai kích thước dài, mỗi kích thước đóng góp một thừa số k.

Bài sau dùng chính g.g và tỉ số đồng dạng vừa học để giải một bài toán rất thực tế: đo chiều cao hoặc khoảng cách mà không thể đo trực tiếp.