Bài học

Hệ thức giữa đường cao và hai hình chiếu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng hệ thức $h^2=b'\cdot c'$ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai hình chiếu, dùng nó để tính đường cao hoặc một hình chiếu còn thiếu, và biết thêm hai hệ thức mở rộng thường gặp trong đề bài.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em hai hệ thức $b^2=a\cdot b'$ và $c^2=a\cdot c'$ , liên hệ MỖI cạnh góc vuông với hình chiếu của chính nó. Bài này hỏi tiếp: bản thân đường cao $AH$ có liên hệ trực tiếp nào với hai hình chiếu $b',c'$ hay không, mà không cần vòng qua cạnh góc vuông? Em cũng cần nhớ công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông, và cách diện tích đó cũng tính được bằng nửa tích cạnh huyền với đường cao tương ứng.

Bài trước cho em hai hệ thức $b^2=a\cdot b'$ và $c^2=a\cdot c'$, liên hệ MỖI cạnh góc vuông với hình chiếu của chính nó. Bài này hỏi tiếp: bản thân đường cao $AH$ có liên hệ trực tiếp nào với hai hình chiếu $b',c'$ hay không, mà không cần vòng qua cạnh góc vuông? Em cũng cần nhớ công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông, và cách diện tích đó cũng tính được bằng nửa tích cạnh huyền với đường cao tương ứng.

Khởi động

Với tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB=6$ cm, $AC=8$ cm ở bài trước, ta đã tính được $BH=3,6$ cm và $CH=6,4$ cm. Nhân hai số đó: $3,6\times6,4=23,04$ . Lấy căn bậc hai: $\sqrt{23,04}=4,8$ . Con số 4,8 này trông quen — đó chính là độ dài đường cao $AH$ mà em có thể tính bằng cách khác (diện tích). Có phải luôn đúng rằng đường cao bằng căn bậc hai của tích hai hình chiếu?

Với tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm ở bài trước, ta đã tính được $BH=3,6$ cm và $CH=6,4$ cm. Nhân hai số đó: $3,6\times6,4=23,04$. Lấy căn bậc hai: $\sqrt{23,04}=4,8$. Con số 4,8 này trông quen — đó chính là độ dài đường cao $AH$ mà em có thể tính bằng cách khác (diện tích). Có phải luôn đúng rằng đường cao bằng căn bậc hai của tích hai hình chiếu?

Kiến thức trọng tâm

Với tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ứng với cạnh huyền, ta luôn có:

Với tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ứng với cạnh huyền, ta luôn có:

$h^2=b'\cdot c'$

$$h^2=b'\cdot c'$$

trong đó $h=AH$ . Hệ thức này suy từ hai tam giác vuông nhỏ $AHB$ và $CHA$ : cả hai đều vuông tại $H$ , và góc $ABH$ bằng góc $CAH$ (cùng phụ với góc $ACB$ ), nên $\triangle AHB \backsim \triangle CHA$ . Từ đó $\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}$ , suy ra $AH^2=BH\cdot CH$ , tức $h^2=c'\cdot b'$ — đúng như công thức trên.

trong đó $h=AH$. Hệ thức này suy từ hai tam giác vuông nhỏ $AHB$ và $CHA$: cả hai đều vuông tại $H$, và góc $ABH$ bằng góc $CAH$ (cùng phụ với góc $ACB$), nên $\triangle AHB \backsim \triangle CHA$. Từ đó $\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}$, suy ra $AH^2=BH\cdot CH$, tức $h^2=c'\cdot b'$ — đúng như công thức trên.

Bài học có thêm hai hệ thức mở rộng đáng nhớ, cả hai đều dùng để KIỂM TRA chéo kết quả: $b\cdot c=a\cdot h$ (suy từ diện tích tam giác tính hai cách — nửa tích hai cạnh góc vuông, hoặc nửa tích cạnh huyền với đường cao), và $\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$ . Em không cần chứng minh lại hai hệ thức mở rộng này mỗi lần dùng, nhưng nên nhớ để giải nhanh khi đề chỉ cho hai cạnh góc vuông và hỏi thẳng đường cao, không cần tính cạnh huyền trước.

Bài học có thêm hai hệ thức mở rộng đáng nhớ, cả hai đều dùng để KIỂM TRA chéo kết quả: $b\cdot c=a\cdot h$ (suy từ diện tích tam giác tính hai cách — nửa tích hai cạnh góc vuông, hoặc nửa tích cạnh huyền với đường cao), và $\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$. Em không cần chứng minh lại hai hệ thức mở rộng này mỗi lần dùng, nhưng nên nhớ để giải nhanh khi đề chỉ cho hai cạnh góc vuông và hỏi thẳng đường cao, không cần tính cạnh huyền trước.

Lời giải có hình

Đường cao AH ứng với cạnh huyền chia tam giác vuông thành hai tam giác đồng dạng

Bước 1

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH tại H, với BH = c′, CH = b′.

kế thừa hình vẽ bài trước

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính đường cao từ hai hình chiếu đã biết

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 3,6 cm, CH = 6,4 cm (số liệu bài trước). Tính AH.
2
$h^2=b'\cdot c'=3,6\times6,4=23,04$ , suy ra $AH=4,8$ cm.
$h^2=b'\cdot c'=3,6\times6,4=23,04$, suy ra $AH=4,8$ cm.
3
$AB\cdot AC=6\times8=48$ và $BC\cdot AH=10\times4,8=48$ — hai cách tính diện tích khớp nhau.
$AB\cdot AC=6\times8=48$ và $BC\cdot AH=10\times4,8=48$ — hai cách tính diện tích khớp nhau.
4
Vậy AH = 4,8 cm.

Ví dụ

Tìm hình chiếu còn lại khi biết đường cao và một hình chiếu

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 8 cm, BH = 4 cm. Tính CH, BC, AB, AC.
2
$h^2=b'\cdot c' \Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{64}{4}=16$ cm.
$h^2=b'\cdot c' \Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{64}{4}=16$ cm.
3
$BC=BH+CH=4+16=20$ cm. (1)
$BC=BH+CH=4+16=20$ cm. (1)
4
Từ (1): $AB^2=BC\cdot BH=20\times4=80\Rightarrow AB=4\sqrt5$ cm; $AC^2=BC\cdot CH=20\times16=320\Rightarrow AC=8\sqrt5$ cm.
Từ (1): $AB^2=BC\cdot BH=20\times4=80\Rightarrow AB=4\sqrt5$ cm; $AC^2=BC\cdot CH=20\times16=320\Rightarrow AC=8\sqrt5$ cm.
5
$AB^2+AC^2=80+320=400=BC^2=20^2$ — đúng.
$AB^2+AC^2=80+320=400=BC^2=20^2$ — đúng.
6
Vậy CH = 16 cm, BC = 20 cm, AB = $4\sqrt5$ cm, AC = $8\sqrt5$ cm.
Vậy CH = 16 cm, BC = 20 cm, AB = $4\sqrt5$ cm, AC = $8\sqrt5$ cm.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — kết hợp diện tích và hệ thức đường cao

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6 cm, diện tích tam giác ABC bằng 39 cm². Tính hai hình chiếu BH, CH.
2
$S=\dfrac12\cdot BC\cdot AH \Rightarrow 39=\dfrac12\cdot BC\times6=3\cdot BC$ , suy ra $BC=13$ cm. (1)
$S=\dfrac12\cdot BC\cdot AH \Rightarrow 39=\dfrac12\cdot BC\times6=3\cdot BC$, suy ra $BC=13$ cm. (1)
3
Từ (1): $b'+c'=BC=13$ . (2) Và $h^2=b'\cdot c' \Rightarrow b'\cdot c'=36$ . (3)
Từ (1): $b'+c'=BC=13$. (2) Và $h^2=b'\cdot c' \Rightarrow b'\cdot c'=36$. (3)
4
Từ (2), (3): $b', c'$ là nghiệm của $t^2-13t+36=0$ . Ta có $\Delta=169-144=25$ , $\sqrt\Delta=5$ , nên $t=\dfrac{13\pm5}{2}$ , tức $t=9$ hoặc $t=4$ .
Từ (2), (3): $b', c'$ là nghiệm của $t^2-13t+36=0$. Ta có $\Delta=169-144=25$, $\sqrt\Delta=5$, nên $t=\dfrac{13\pm5}{2}$, tức $t=9$ hoặc $t=4$.
5
Vậy hai hình chiếu là 9 cm và 4 cm (đỉnh nào ứng với hình chiếu nào phụ thuộc vào cách đặt tên B, C cụ thể của đề).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhớ nhầm $h^2=b'\cdot c'$ thành $h=b'+c'$ (cộng thay vì nhân rồi khai căn), hoặc quên khai căn sau khi nhân hai hình chiếu. Một lỗi khác: dùng nhầm hệ thức mở rộng $b\cdot c=a\cdot h$ khi đề chỉ cho $b', c'$ chứ không cho hai cạnh góc vuông — hãy luôn kiểm tra đề đã cho đúng những đại lượng nào trước khi chọn hệ thức, đừng áp dụng theo phản xạ.

Một cách nhớ hình ảnh cho hệ thức $h^2=b'\cdot c'$ : đường cao AH đóng vai trò TRUNG BÌNH NHÂN giữa hai hình chiếu, giống hệt cách mỗi cạnh góc vuông đóng vai trò trung bình nhân giữa cạnh huyền và hình chiếu của chính nó ở bài trước — cả hai hệ thức đều mang chung một dáng vẻ đại số: "đại lượng ở giữa, bình phương lên, bằng tích hai đại lượng hai bên". Nhớ theo dáng vẻ chung này dễ hơn nhớ từng công thức rời rạc.

Một cách nhớ hình ảnh cho hệ thức $h^2=b'\cdot c'$: đường cao AH đóng vai trò TRUNG BÌNH NHÂN giữa hai hình chiếu, giống hệt cách mỗi cạnh góc vuông đóng vai trò trung bình nhân giữa cạnh huyền và hình chiếu của chính nó ở bài trước — cả hai hệ thức đều mang chung một dáng vẻ đại số: \"đại lượng ở giữa, bình phương lên, bằng tích hai đại lượng hai bên\". Nhớ theo dáng vẻ chung này dễ hơn nhớ từng công thức rời rạc.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$h^2=b'\cdot c'$ (đường cao là trung bình nhân của hai hình chiếu). Hai hệ thức mở rộng để kiểm tra chéo: $b\cdot c=a\cdot h$ và $\dfrac1{h^2}=\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$ .

$h^2=b'\cdot c'$ (đường cao là trung bình nhân của hai hình chiếu). Hai hệ thức mở rộng để kiểm tra chéo: $b\cdot c=a\cdot h$ và $\dfrac1{h^2}=\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$.

Bốn hệ thức về cạnh và đường cao đã đủ để giải mọi bài toán "đo đạc gián tiếp" trong một tam giác vuông đơn — nhưng phần lớn ứng dụng thực tế (thang dựa tường, cột đèn, hai đường vuông góc) chỉ cần MỘT công cụ quen thuộc hơn: định lý Pythagore. Bài sau quay lại đúng công cụ đó, lần này dưới góc nhìn ứng dụng vào tình huống thực tế.