Bài học

Hình nón cụt

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em gọi đúng tên các yếu tố của hình nón cụt (hai đáy, chiều cao, đường sinh), giải thích được vì sao công thức thể tích hình nón cụt chính là hiệu thể tích của hai hình nón, và tính được $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ của hình nón cụt.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại trực tiếp ba công thức hình nón vừa học: $S_{xq}=\pi rl$ , $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$ , $V=\dfrac13\pi r^2h$ , cùng định lí Pythagore để tìm đường sinh khi cần. Em cũng cần nhớ tính chất hai tam giác đồng dạng (từ chương Hệ thức lượng): khi cắt một hình nón bằng mặt phẳng song song với đáy, phần đỉnh còn lại vẫn là một hình nón, đồng dạng với hình nón ban đầu.

Bài này dùng lại trực tiếp ba công thức hình nón vừa học: $S_{xq}=\pi rl$, $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$, $V=\dfrac13\pi r^2h$, cùng định lí Pythagore để tìm đường sinh khi cần. Em cũng cần nhớ tính chất hai tam giác đồng dạng (từ chương Hệ thức lượng): khi cắt một hình nón bằng mặt phẳng song song với đáy, phần đỉnh còn lại vẫn là một hình nón, đồng dạng với hình nón ban đầu.

Khởi động

Nhiều xô, chậu, thùng đựng nước trong đời sống không có hai đáy bằng nhau — miệng thùng thường rộng hơn đáy thùng để dễ đổ nước ra, hoặc ngược lại. Hình đó không còn là hình nón (chỉ một đáy) hay hình trụ (hai đáy bằng nhau) — nó nằm ở giữa hai hình đó. Làm sao tính thể tích một hình như vậy, khi đã biết công thức hình nón nguyên vẹn?

Kiến thức trọng tâm

Hình nón cụt là phần hình nón còn lại sau khi cắt bỏ phần chóp nhỏ phía trên bằng một mặt phẳng song song với đáy. Nó có hai đáy tròn song song, bán kính $r_1$ (đáy nhỏ) và $r_2$ (đáy lớn, $r_2>r_1$ ), chiều cao $h$ (khoảng cách giữa hai đáy) và đường sinh $l$ — đoạn nối hai đường tròn đáy trên mặt xung quanh, thoả $l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$ (Pythagore, với cạnh góc vuông thứ hai là hiệu hai bán kính chứ không phải bản thân $h$ ).

Hình nón cụt là phần hình nón còn lại sau khi cắt bỏ phần chóp nhỏ phía trên bằng một mặt phẳng song song với đáy. Nó có hai đáy tròn song song, bán kính $r_1$ (đáy nhỏ) và $r_2$ (đáy lớn, $r_2>r_1$), chiều cao $h$ (khoảng cách giữa hai đáy) và đường sinh $l$ — đoạn nối hai đường tròn đáy trên mặt xung quanh, thoả $l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$ (Pythagore, với cạnh góc vuông thứ hai là hiệu hai bán kính chứ không phải bản thân $h$).

Vì hình nón cụt là hình nón lớn trừ đi hình nón nhỏ ở đỉnh, công thức của nó cộng gộp lại từ công thức hình nón: $S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$ , $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2$ (hai đáy, không phải một như hình nón), và $V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$ . Công thức thể tích trông phức tạp, nhưng bản chất chỉ là lấy thể tích hình nón lớn (nếu kéo dài đỉnh nón cụt thành một hình nón đầy đủ) trừ đi thể tích hình nón nhỏ bị cắt — em sẽ thấy hai cách tính cho cùng một kết quả ở ví dụ dưới đây.

Vì hình nón cụt là hình nón lớn trừ đi hình nón nhỏ ở đỉnh, công thức của nó cộng gộp lại từ công thức hình nón: $S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$, $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2$ (hai đáy, không phải một như hình nón), và $V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$. Công thức thể tích trông phức tạp, nhưng bản chất chỉ là lấy thể tích hình nón lớn (nếu kéo dài đỉnh nón cụt thành một hình nón đầy đủ) trừ đi thể tích hình nón nhỏ bị cắt — em sẽ thấy hai cách tính cho cùng một kết quả ở ví dụ dưới đây.

Nếu $r_1=r_2$ , công thức thể tích hình nón cụt trở về đúng công thức hình trụ (dễ kiểm chứng bằng cách thay $r_1=r_2=r$ vào công thức trên: $V=\dfrac13\pi h(r^2+r^2+r^2)=\dfrac13\pi h\cdot3r^2=\pi r^2h$ ) — một cách tự kiểm tra công thức mình vừa nhớ có đúng không: cho hai bán kính bằng nhau, kết quả phải khớp với hình trụ đã học. Ngược lại, nếu $r_1\to0$ (đáy nhỏ co lại thành một điểm), công thức cũng trở về đúng công thức hình nón — hình nón cụt thực chất là "chiếc cầu nối" giữa hai hình đã học, không phải một hình hoàn toàn tách biệt.

Nếu $r_1=r_2$, công thức thể tích hình nón cụt trở về đúng công thức hình trụ (dễ kiểm chứng bằng cách thay $r_1=r_2=r$ vào công thức trên: $V=\dfrac13\pi h(r^2+r^2+r^2)=\dfrac13\pi h\cdot3r^2=\pi r^2h$) — một cách tự kiểm tra công thức mình vừa nhớ có đúng không: cho hai bán kính bằng nhau, kết quả phải khớp với hình trụ đã học. Ngược lại, nếu $r_1\to0$ (đáy nhỏ co lại thành một điểm), công thức cũng trở về đúng công thức hình nón — hình nón cụt thực chất là "chiếc cầu nối" giữa hai hình đã học, không phải một hình hoàn toàn tách biệt.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính Sxq, Stp, V của một hình nón cụt, và kiểm tra bằng hiệu hai hình nón

1
Một hình nón cụt có bán kính hai đáy $r_1=6$ cm, $r_2=10$ cm, chiều cao $h=3$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ .
Một hình nón cụt có bán kính hai đáy $r_1=6$ cm, $r_2=10$ cm, chiều cao $h=3$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$.
2
$l=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{3^2+(10-6)^2}=\sqrt{25}=5$ cm.
$l=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{3^2+(10-6)^2}=\sqrt{25}=5$ cm.
3
$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l=\pi\cdot16\cdot5=80\pi\approx251,20$ cm². $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2=80\pi+36\pi+100\pi=216\pi\approx678,24$ cm².
$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l=\pi\cdot16\cdot5=80\pi\approx251,20$ cm². $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2=80\pi+36\pi+100\pi=216\pi\approx678,24$ cm².
4
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=\dfrac13\pi\cdot3\cdot196=196\pi\approx615,44$ cm³.
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=\dfrac13\pi\cdot3\cdot196=196\pi\approx615,44$ cm³.
5
Kéo dài hai cạnh bên tới khi gặp nhau tại đỉnh, ta được một hình nón lớn đáy $r_2$ và một hình nón nhỏ đáy $r_1$ bị cắt đi. Theo tam giác đồng dạng, chiều cao phần nón nhỏ là $x=\dfrac{r_1h}{r_2-r_1}=4,5$ cm, chiều cao nón lớn $H=x+h=7,5$ cm. Hiệu hai thể tích: $V=\dfrac13\pi r_2^2H-\dfrac13\pi r_1^2x\approx785,00-169,56\approx615,44$ cm³ — khớp với kết quả 615,44 cm³ tính trực tiếp ở trên, đúng như bản chất công thức hình nón cụt.
Kéo dài hai cạnh bên tới khi gặp nhau tại đỉnh, ta được một hình nón lớn đáy $r_2$ và một hình nón nhỏ đáy $r_1$ bị cắt đi. Theo tam giác đồng dạng, chiều cao phần nón nhỏ là $x=\dfrac{r_1h}{r_2-r_1}=4,5$ cm, chiều cao nón lớn $H=x+h=7,5$ cm. Hiệu hai thể tích: $V=\dfrac13\pi r_2^2H-\dfrac13\pi r_1^2x\approx785,00-169,56\approx615,44$ cm³ — khớp với kết quả 615,44 cm³ tính trực tiếp ở trên, đúng như bản chất công thức hình nón cụt.
6
Vậy $S_{xq}\approx251,20$ cm², $S_{tp}\approx678,24$ cm², $V\approx615,44$ cm³.
Vậy $S_{xq}\approx251,20$ cm², $S_{tp}\approx678,24$ cm², $V\approx615,44$ cm³.

Ví dụ

Thể tích đất chứa trong một chậu hoa hình nón cụt (dạng thi)

1
Một chậu hoa hình nón cụt có bán kính hai đáy 15 cm và 25 cm, chiều cao 30 cm. Tính thể tích đất chậu chứa được khi đổ đầy, theo đơn vị lít.
2
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=\dfrac13\pi\cdot30\cdot1225=12250\pi\approx38.465$ cm³.
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=\dfrac13\pi\cdot30\cdot1225=12250\pi\approx38.465$ cm³.
3
Vì $1$ lít $=1\,000$ cm³, ta có $V\approx38.465:1\,000=38,465$ lít.
Vì $1$ lít $=1\,000$ cm³, ta có $V\approx38.465:1\,000=38,465$ lít.
4
Vậy chậu chứa được khoảng 38,5 lít đất khi đổ đầy.

Ví dụ

Đường sinh và diện tích xung quanh một thùng đựng nước (dạng thi)

1
Một thùng đựng nước hình nón cụt có đường kính hai đáy lần lượt là 40 cm và 60 cm, chiều cao 15 cm. Tính đường sinh và diện tích xung quanh dùng làm vỏ thùng.
2
Bán kính hai đáy: $r_1=20$ cm, $r_2=30$ cm.
Bán kính hai đáy: $r_1=20$ cm, $r_2=30$ cm.
3
$l=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{15^2+10^2}=\sqrt{325}\approx18,03$ cm (không phải một số nguyên — kết quả này hoàn toàn hợp lý, cứ giữ nguyên số thập phân để tính bước sau, chỉ làm tròn ở đáp số cuối cùng).
$l=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{15^2+10^2}=\sqrt{325}\approx18,03$ cm (không phải một số nguyên — kết quả này hoàn toàn hợp lý, cứ giữ nguyên số thập phân để tính bước sau, chỉ làm tròn ở đáp số cuối cùng).
4
$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l\approx3,14\cdot50\cdot18,03\approx2.830,4$ cm² ( $\approx0,283$ m²).
$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l\approx3,14\cdot50\cdot18,03\approx2.830,4$ cm² ($\approx0,283$ m²).
5
Vậy đường sinh khoảng 18,03 cm, cần khoảng 2.830,4 cm² vật liệu để làm vỏ thùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất: dùng nhầm $(r_2-r_1)$ hoặc $h$ làm cạnh góc vuông duy nhất khi tính đường sinh, quên rằng $l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$ cần CẢ HAI đại lượng. Lỗi thứ hai: khi đề đã cho sẵn đường sinh, một số bạn vẫn tính lại bằng Pythagore thay vì dùng luôn giá trị đề cho — nếu kết quả hai cách lệch nhau, khả năng cao là đã đọc nhầm đại lượng nào là $h$ , đại lượng nào là $l$ .

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình nón cụt: hai bán kính đáy $r_1<r_2$ , chiều cao $h$ , đường sinh $l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$ ; $S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$ , $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2$ , $V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$ . Có thể kiểm tra lại thể tích bằng cách lấy hình nón lớn trừ hình nón nhỏ nếu còn nghi ngờ kết quả.

Hình nón cụt: hai bán kính đáy $r_1<r_2$, chiều cao $h$, đường sinh $l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$; $S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$, $S_{tp}=S_{xq}+\pi r_1^2+\pi r_2^2$, $V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$. Có thể kiểm tra lại thể tích bằng cách lấy hình nón lớn trừ hình nón nhỏ nếu còn nghi ngờ kết quả.

Đến đây em đã có đủ công cụ cho hai hình tròn xoay có mặt bên phẳng khi trải ra: hình trụ và họ hình nón. Bài tiếp theo chuyển sang một hình hoàn toàn khác — hình cầu, nơi không còn khái niệm "trải phẳng mặt xung quanh" nữa, và công thức diện tích, thể tích phải ghi nhớ trực tiếp.