Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em hệ thống hoá được toàn bộ công thức diện tích, thể tích của hình trụ, hình nón, hình nón cụt, hình cầu trong một bảng so sánh, và chọn đúng công thức cần dùng chỉ từ dữ kiện đề bài mô tả, không cần đề nêu sẵn tên hình.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — nó ôn lại bốn bộ công thức đã học: hình trụ ( $S_{xq}=2\pi rh$ , $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$ , $V=\pi r^2h$ ), hình nón ( $S_{xq}=\pi rl$ , $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$ , $V=\dfrac13\pi r^2h$ với $l^2=r^2+h^2$ ), hình nón cụt ( $V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$ ), hình cầu ( $S=4\pi R^2$ , $V=\dfrac43\pi R^3$ ). Nếu một công thức nào trong số này còn mơ hồ, quay lại đúng bài đã học trước khi làm tiếp bài ôn tập — ôn tập chỉ có tác dụng khi nền tảng phía dưới đã vững.

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — nó ôn lại bốn bộ công thức đã học: hình trụ ($S_{xq}=2\pi rh$, $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$, $V=\pi r^2h$), hình nón ($S_{xq}=\pi rl$, $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$, $V=\dfrac13\pi r^2h$ với $l^2=r^2+h^2$), hình nón cụt ($V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$), hình cầu ($S=4\pi R^2$, $V=\dfrac43\pi R^3$). Nếu một công thức nào trong số này còn mơ hồ, quay lại đúng bài đã học trước khi làm tiếp bài ôn tập — ôn tập chỉ có tác dụng khi nền tảng phía dưới đã vững.

Khởi động

Nếu một hình trụ, một hình nón, và một hình cầu có cùng bán kính đáy, và chiều cao hình trụ, hình nón bằng đúng bán kính đó — ba hình này có thể tích chênh lệch nhau như thế nào? Câu trả lời hoá ra là một tỉ lệ rất gọn, đáng nhớ suốt đời — em sẽ tự tính ra ngay trong ví dụ đầu tiên.

Kiến thức trọng tâm

Ba đại lượng dễ nhầm lẫn nhất xuyên suốt chương là: MẤY đáy (hình trụ hai đáy, hình nón một đáy, hình nón cụt hai đáy khác bán kính, hình cầu không có khái niệm đáy); bán kính hay đường kính (luôn đổi $R=d/2$ trước khi thay số); và hệ số $\dfrac13$ chỉ xuất hiện ở công thức thể tích có ĐỈNH NHỌN (hình nón), không xuất hiện ở hình trụ hay hình cầu. Khi đọc một đề bài mới, bước đầu tiên luôn là: hình đó có mấy đáy, đáy có bằng nhau không, mặt bên có nhọn dần về một điểm không — ba câu hỏi đó xác định ngay công thức cần dùng.

Một điểm đáng ghi nhớ: khi hình trụ, hình nón, hình cầu có cùng bán kính $r$ , và chiều cao hình trụ, hình nón cũng bằng $r$ , tỉ lệ thể tích ba hình luôn là 1 : 3 : 4 (nón : trụ : cầu) — một hằng số không phụ thuộc bán kính cụ thể là bao nhiêu, vì cả ba thể tích đều tỉ lệ với $r^3$ theo đúng cùng một hệ số nhân.

Một điểm đáng ghi nhớ: khi hình trụ, hình nón, hình cầu có cùng bán kính $r$, và chiều cao hình trụ, hình nón cũng bằng $r$, tỉ lệ thể tích ba hình luôn là 1 : 3 : 4 (nón : trụ : cầu) — một hằng số không phụ thuộc bán kính cụ thể là bao nhiêu, vì cả ba thể tích đều tỉ lệ với $r^3$ theo đúng cùng một hệ số nhân.

Khi làm một đề ôn tập trộn cả bốn hình, cách tiếp cận hiệu quả nhất không phải là học thuộc một danh sách công thức rời rạc, mà là nhớ MỘT quy trình chung rồi điền đúng công thức của từng hình vào quy trình đó: đọc đề, xác định hình gì (dựa vào số đáy và hình dạng mặt bên), liệt kê những đại lượng đề đã cho, dùng Pythagore (nếu là nón hoặc nón cụt) để tìm đại lượng còn thiếu, rồi mới thay vào công thức diện tích hoặc thể tích tương ứng. Quy trình này không đổi dù đề hỏi hình nào — chỉ có công thức ở bước cuối là khác nhau. Nắm được điều đó, một đề ôn tập trộn bốn hình không còn là bốn bộ kiến thức rời rạc phải nhớ riêng lẻ, mà là MỘT kỹ năng đọc-hình được luyện lại bốn lần với bốn công thức khác nhau.

Với

r=h=R=3

cm:

V_{nón}\approx28,26

V_{trụ}\approx84,78

V_{cầu}\approx113,04

(đơn vị cm³) — đúng tỉ lệ

1:3:4

.Với $r=h=R=3$ cm: $V_{nón}\approx28,26$, $V_{trụ}\approx84,78$, $V_{cầu}\approx113,04$ (đơn vị cm³) — đúng tỉ lệ $1:3:4$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm chứng tỉ lệ thể tích 1 : 3 : 4 giữa nón, trụ, cầu

1
Cho một hình nón, một hình trụ cùng bán kính đáy và chiều cao 3 cm, và một hình cầu bán kính 3 cm. So sánh thể tích ba hình.
2
$V_{nón}=\dfrac13\pi\cdot3^2\cdot3\approx28,26$ cm³; $V_{trụ}=\pi\cdot3^2\cdot3\approx84,78$ cm³; $V_{cầu}=\dfrac43\pi\cdot3^3\approx113,04$ cm³.
$V_{nón}=\dfrac13\pi\cdot3^2\cdot3\approx28,26$ cm³; $V_{trụ}=\pi\cdot3^2\cdot3\approx84,78$ cm³; $V_{cầu}=\dfrac43\pi\cdot3^3\approx113,04$ cm³.
3
$V_{trụ}:V_{nón}=84,78:28,26=3:1$ ; $V_{cầu}:V_{nón}=113,04:28,26=4:1$ .
$V_{trụ}:V_{nón}=84,78:28,26=3:1$; $V_{cầu}:V_{nón}=113,04:28,26=4:1$.
4
Vậy ba thể tích theo đúng tỉ lệ 1 : 3 : 4 (nón : trụ : cầu) — kết quả này đúng với MỌI bán kính bằng nhau, không riêng gì 3 cm, vì cả ba công thức đều là hằng số nhân với $r^3$ .
Vậy ba thể tích theo đúng tỉ lệ 1 : 3 : 4 (nón : trụ : cầu) — kết quả này đúng với MỌI bán kính bằng nhau, không riêng gì 3 cm, vì cả ba công thức đều là hằng số nhân với $r^3$.

Ví dụ

Bài toán ngược: cho diện tích xung quanh, tìm thể tích hình nón

1
Một hình nón có diện tích xung quanh 65π cm² và bán kính đáy 5 cm. Tính thể tích hình nón đó.
2
Từ $S_{xq}=\pi rl$ suy ra $l=\dfrac{S_{xq}}{\pi r}=\dfrac{65\pi}{\pi\cdot5}=13$ cm.
Từ $S_{xq}=\pi rl$ suy ra $l=\dfrac{S_{xq}}{\pi r}=\dfrac{65\pi}{\pi\cdot5}=13$ cm.
3
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{143}=12$ cm.
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{143}=12$ cm.
4
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot25\cdot12=99\pi\approx314,00$ cm³.
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot25\cdot12=99\pi\approx314,00$ cm³.
5
Vậy thể tích hình nón đó khoảng 314,00 cm³ — bài này không cho trực tiếp $h$ hay $l$ , mà phải suy ngược từ $S_{xq}$ đã cho, đúng kiểu bài hay gặp ở phần vận dụng của đề tuyển sinh.
Vậy thể tích hình nón đó khoảng 314,00 cm³ — bài này không cho trực tiếp $h$ hay $l$, mà phải suy ngược từ $S_{xq}$ đã cho, đúng kiểu bài hay gặp ở phần vận dụng của đề tuyển sinh.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi ba hình xuất hiện lẫn lộn trong cùng một chương ôn tập, lỗi phổ biến nhất là ÁP NHẦM CÔNG THỨC — ví dụ đề bài cho hình nón nhưng lại dùng $V=\pi r^2h$ (quên hệ số $\dfrac13$ ) vì vừa làm quen bài hình trụ trước đó. Cách tự kiểm tra nhanh: trước khi thay số, luôn tự hỏi "hình này có đỉnh nhọn không, có mấy đáy" — trả lời đúng hai câu đó là chọn đúng công thức.

Khi ba hình xuất hiện lẫn lộn trong cùng một chương ôn tập, lỗi phổ biến nhất là ÁP NHẦM CÔNG THỨC — ví dụ đề bài cho hình nón nhưng lại dùng $V=\pi r^2h$ (quên hệ số $\dfrac13$) vì vừa làm quen bài hình trụ trước đó. Cách tự kiểm tra nhanh: trước khi thay số, luôn tự hỏi "hình này có đỉnh nhọn không, có mấy đáy" — trả lời đúng hai câu đó là chọn đúng công thức.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bốn công thức của chương, gói gọn trong một bảng: hình trụ (2 đáy bằng nhau, không hệ số 1/3), hình nón (1 đáy, có hệ số 1/3, có Pythagore $l^2=r^2+h^2$ ), hình nón cụt (2 đáy khác nhau, có hệ số 1/3, có Pythagore với $r_2-r_1$ ), hình cầu (không đáy, có hệ số 4/3, không cần Pythagore). Khi cùng bán kính và chiều cao, tỉ lệ thể tích nón : trụ : cầu luôn là 1 : 3 : 4.

Bốn công thức của chương, gói gọn trong một bảng: hình trụ (2 đáy bằng nhau, không hệ số 1/3), hình nón (1 đáy, có hệ số 1/3, có Pythagore $l^2=r^2+h^2$), hình nón cụt (2 đáy khác nhau, có hệ số 1/3, có Pythagore với $r_2-r_1$), hình cầu (không đáy, có hệ số 4/3, không cần Pythagore). Khi cùng bán kính và chiều cao, tỉ lệ thể tích nón : trụ : cầu luôn là 1 : 3 : 4.

Ôn xong công thức, bài cuối cùng của khoá học đưa em vào dạng bài tổng hợp thật sự của đề tuyển sinh vào lớp 10 — một bài toán thực tế nhiều câu hỏi nhỏ, kết hợp thể tích, diện tích, và cả yếu tố so sánh chi phí giữa các phương án thiết kế.