Bài học

Ẩn phụ đa thức t = x² + ax + b

Em sẽ làm được gì?

Nhận diện phương trình bậc bốn được viết dưới dạng tích của hai tam thức bậc hai có cùng cấu trúc, rồi đặt ẩn phụ $t = x^2+ax+b$ để đưa về một phương trình bậc hai theo $t$ — và biết kiểm tra điều kiện $t$ nào thực sự cho nghiệm $x$ thực.

Nhận diện phương trình bậc bốn được viết dưới dạng **tích của hai tam thức bậc hai có cùng cấu trúc**, rồi đặt ẩn phụ $t = x^2+ax+b$ để đưa về một phương trình bậc hai theo $t$ — và biết kiểm tra điều kiện $t$ nào thực sự cho nghiệm $x$ thực.

Cần nhớ trước

Kiến thức cần có: giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm/Δ, phân tích đa thức thành nhân tử, và cách giải phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0$ bằng $t=x^2$ (đã học ở chương trình chuẩn Lớp 9). Bài này mở rộng ý tưởng "đặt $t=x^2$ " sang một dạng ẩn phụ tổng quát hơn: $t = x^2+ax+b$ .

**Kiến thức cần có:** giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm/Δ, phân tích đa thức thành nhân tử, và cách giải phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0$ bằng $t=x^2$ (đã học ở chương trình chuẩn Lớp 9). Bài này **mở rộng** ý tưởng "đặt $t=x^2$" sang một dạng ẩn phụ tổng quát hơn: $t = x^2+ax+b$.

Thử giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3$ bằng cách khai triển trực tiếp: em sẽ ra một phương trình bậc bốn với hệ số cồng kềnh, gần như không thể giải bằng tay. Nhưng nếu quan sát kỹ bốn nhân tử, ta thấy $1+4 = 2+3 = 5$ — đây không phải trùng hợp, mà là chìa khóa để đưa cả phương trình bậc bốn này về một phương trình bậc hai quen thuộc.

Thử giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3$ bằng cách khai triển trực tiếp: em sẽ ra một phương trình bậc bốn với hệ số cồng kềnh, gần như không thể giải bằng tay. Nhưng nếu quan sát kỹ bốn nhân tử, ta thấy $1+4 = 2+3 = 5$ — đây không phải trùng hợp, mà là **chìa khóa** để đưa cả phương trình bậc bốn này về một phương trình bậc hai quen thuộc.

Vì sao ghép cặp (1,4) và (2,3) mà không ghép cặp khác?

Chuẩn Lớp 9 đã dạy em giải phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0$ bằng cách đặt $t=x^2$ — đó là trường hợp riêng khi bốn nhân tử đã "tự động" ghép thành hai cặp đối nhau. Với $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3$ , bốn nhân tử không đối xứng quanh 0, nhưng nếu ghép (x+1)(x+4) và (x+2)(x+3), ta được:

$(x+1)(x+4) = x^2+5x+4, \qquad (x+2)(x+3) = x^2+5x+6$

Hai tam thức này có cùng phần $x^2+5x$ , chỉ khác nhau ở hằng số tự do ( $4$ và $6$ ). Đặt $t=x^2+5x+4$ thì tam thức còn lại là $t+2$ , và phương trình trở thành $t(t+2)=3$ — một phương trình bậc hai theo $t$ . Bí quyết ghép cặp: chọn hai nhân tử có tổng các hằng số cộng thêm bằng nhau (ở đây $1+4=2+3=5$ ), vì khi khai triển, hệ số của $x$ trong mỗi tam thức chính là tổng đó — ghép đúng cặp thì hai tam thức mới luôn cùng phần $x^2+5x$ , đây là điều kiện bắt buộc để ẩn phụ $t$ xuất hiện gọn.

**Chuẩn Lớp 9** đã dạy em giải phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0$ bằng cách đặt $t=x^2$ — đó là trường hợp riêng khi bốn nhân tử đã "tự động" ghép thành hai cặp đối nhau. Với $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3$, bốn nhân tử không đối xứng quanh 0, nhưng nếu ghép **(x+1)(x+4)** và **(x+2)(x+3)**, ta được: $$(x+1)(x+4) = x^2+5x+4, \qquad (x+2)(x+3) = x^2+5x+6$$ Hai tam thức này có **cùng phần $x^2+5x$**, chỉ khác nhau ở hằng số tự do ($4$ và $6$). Đặt $t=x^2+5x+4$ thì tam thức còn lại là $t+2$, và phương trình trở thành $t(t+2)=3$ — một phương trình bậc hai theo $t$. **Bí quyết ghép cặp**: chọn hai nhân tử có tổng các hằng số cộng thêm bằng nhau (ở đây $1+4=2+3=5$), vì khi khai triển, hệ số của $x$ trong mỗi tam thức chính là tổng đó — ghép đúng cặp thì hai tam thức mới **luôn cùng phần $x^2+5x$**, đây là điều kiện bắt buộc để ẩn phụ $t$ xuất hiện gọn.

Vì t = (x+2)²-2 ≥ -2 với mọi x thực, chỉ những giá trị t ≥ -2 mới ứng với nghiệm x thực.

Giải bằng ẩn phụ — quy trình đầy đủ

Với $t=x^2+5x+4$ , phương trình $t(t+2)=3 \iff t^2+2t-3=0$ có hai nghiệm $t=1$ và $t=-3$ (theo Vi-ét: tổng $-2$ , tích $-3$ ). Đến đây không được dừng lại — mỗi giá trị $t$ phải được thay ngược vào $x^2+5x+4=t$ và giải tiếp phương trình bậc hai theo $x$ , đồng thời kiểm tra $\Delta$ để loại các giá trị $t$ không cho nghiệm $x$ thực. Đây chính là khác biệt giữa một bài giải PT trùng phương chuẩn Lớp 9 (chỉ một tầng ẩn phụ, thường cả hai $t$ đều hợp lệ) và bài HSG (phải biện luận Δ ở tầng thứ hai).

Với $t=x^2+5x+4$, phương trình $t(t+2)=3 \iff t^2+2t-3=0$ có hai nghiệm $t=1$ và $t=-3$ (theo Vi-ét: tổng $-2$, tích $-3$). Đến đây **không được dừng lại** — mỗi giá trị $t$ phải được thay ngược vào $x^2+5x+4=t$ và giải tiếp phương trình bậc hai theo $x$, đồng thời kiểm tra $\Delta$ để loại các giá trị $t$ không cho nghiệm $x$ thực. Đây chính là khác biệt giữa một bài giải PT trùng phương chuẩn Lớp 9 (chỉ một tầng ẩn phụ, thường cả hai $t$ đều hợp lệ) và bài HSG (phải biện luận Δ ở tầng thứ hai).

Ví dụ

Ví dụ 1 — Ghép cặp theo tổng bằng nhau

1
Giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3$ .
Giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3$.
2
Vì $1+4=2+3=5$ , ghép $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ . Đặt $t=x^2+5x+4$ , phương trình trở thành $t(t+2)=3$ .
Vì $1+4=2+3=5$, ghép $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+4$, phương trình trở thành $t(t+2)=3$.
3
$t^2+2t-3=0 \iff (t-1)(t+3)=0 \iff t=1$ hoặc $t=-3$ .
$t^2+2t-3=0 \iff (t-1)(t+3)=0 \iff t=1$ hoặc $t=-3$.
4
$x^2+5x+4=1 \iff x^2+5x+3=0$ . $\Delta = 25-12=13>0$ , cho hai nghiệm thực $x = \dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$ .
$x^2+5x+4=1 \iff x^2+5x+3=0$. $\Delta = 25-12=13>0$, cho hai nghiệm thực $x = \dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$.
5
$x^2+5x+4=-3 \iff x^2+5x+7=0$ . $\Delta = 25-28=-3<0$ — vô nghiệm, nhánh này bị loại hoàn toàn.
$x^2+5x+4=-3 \iff x^2+5x+7=0$. $\Delta = 25-28=-3<0$ — **vô nghiệm**, nhánh này bị loại hoàn toàn.
6
Phương trình có đúng hai nghiệm thực $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$ .
Phương trình có đúng hai nghiệm thực $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$.
7
Ta có $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ — hai tam thức cùng phần $x^2+5x$ vì $1+4=2+3$ . Đặt $t=x^2+5x+4$ , phương trình trở thành $t(t+2)=3 \iff t^2+2t-3=0 \iff (t-1)(t+3)=0$ , suy ra $t=1$ (1) hoặc $t=-3$ (2). Xét (1): $x^2+5x+3=0$ có $\Delta=13>0$ nên tồn tại $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2$ . Xét (2): $x^2+5x+7=0$ có $\Delta=-3<0$ , theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, nhánh này vô nghiệm và bị loại. Vậy phương trình có tập nghiệm $\left\{\dfrac{-5-\sqrt{13}}2;\ \dfrac{-5+\sqrt{13}}2\right\}$ .
Ta có $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ — hai tam thức cùng phần $x^2+5x$ vì $1+4=2+3$. Đặt $t=x^2+5x+4$, phương trình trở thành $t(t+2)=3 \iff t^2+2t-3=0 \iff (t-1)(t+3)=0$, suy ra $t=1$ (1) hoặc $t=-3$ (2). Xét (1): $x^2+5x+3=0$ có $\Delta=13>0$ nên tồn tại $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2$. Xét (2): $x^2+5x+7=0$ có $\Delta=-3<0$, theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, nhánh này vô nghiệm và bị loại. Vậy phương trình có tập nghiệm $\left\{\dfrac{-5-\sqrt{13}}2;\ \dfrac{-5+\sqrt{13}}2\right\}$.
8
Nếu đổi vế phải từ $3$ thành $-1$ : $t(t+2)=-1 \iff (t+1)^2=0$ , cho nghiệm KÉP $t=-1$ — chỉ còn một nhánh duy nhất để giải ( $x^2+5x+5=0$ , $\Delta=5>0$ ), thay vì phải xét hai nhánh như đề gốc.
Nếu đổi vế phải từ $3$ thành $-1$: $t(t+2)=-1 \iff (t+1)^2=0$, cho nghiệm KÉP $t=-1$ — chỉ còn một nhánh duy nhất để giải ($x^2+5x+5=0$, $\Delta=5>0$), thay vì phải xét hai nhánh như đề gốc.

Bẫy thường gặp

Bẫy thường gặp: ghép sai cặp, ví dụ ghép $(x+1)(x+2)$ và $(x+3)(x+4)$ . Khi đó $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ và $(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$ có hai hệ số $x$ khác nhau ( $3x$ và $7x$ ) nên không thể đặt chung một ẩn phụ $t$ . Luôn kiểm tra tổng các hằng số cộng thêm bằng nhau trước khi ghép.

Bẫy thường gặp: ghép **sai cặp**, ví dụ ghép $(x+1)(x+2)$ và $(x+3)(x+4)$. Khi đó $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ và $(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$ có **hai hệ số $x$ khác nhau** ($3x$ và $7x$) nên không thể đặt chung một ẩn phụ $t$. Luôn kiểm tra tổng các hằng số cộng thêm bằng nhau trước khi ghép.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Đổi cách ghép khi bốn số không liên tiếp cùng chiều

1
Giải phương trình $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) = 20$ .
Giải phương trình $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) = 20$.
2
Bốn hằng số $1,3,5,7$ đối xứng quanh $4$ : $1+7=3+5=8$ . Ghép $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$ và $(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$ . Đặt $t=x^2-8x+7$ , phương trình còn lại là $t+8$ , nên $t(t+8)=20$ .
Bốn hằng số $1,3,5,7$ đối xứng quanh $4$: $1+7=3+5=8$. Ghép $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$ và $(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$. Đặt $t=x^2-8x+7$, phương trình còn lại là $t+8$, nên $t(t+8)=20$.
3
$t^2+8t-20=0 \iff (t-2)(t+10)=0 \iff t=2$ hoặc $t=-10$ .
$t^2+8t-20=0 \iff (t-2)(t+10)=0 \iff t=2$ hoặc $t=-10$.
4
$x^2-8x+7=2 \iff x^2-8x+5=0$ , $\Delta=64-20=44>0$ , $x=4\pm\sqrt{11}$ (hai nghiệm thực).
$x^2-8x+7=2 \iff x^2-8x+5=0$, $\Delta=64-20=44>0$, $x=4\pm\sqrt{11}$ (hai nghiệm thực).
5
$x^2-8x+7=-10 \iff x^2-8x+17=0$ , $\Delta=64-68=-4<0$ — vô nghiệm, loại.
$x^2-8x+7=-10 \iff x^2-8x+17=0$, $\Delta=64-68=-4<0$ — vô nghiệm, loại.
6
Nghiệm của phương trình là $x=4\pm\sqrt{11}$ .
Nghiệm của phương trình là $x=4\pm\sqrt{11}$.
7
Ta có $1+7=3+5=8$ nên ghép $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$ và $(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$ . Đặt $t=x^2-8x+7$ , phương trình trở thành $t(t+8)=20 \iff t^2+8t-20=0 \iff (t-2)(t+10)=0$ , suy ra $t=2$ (1) hoặc $t=-10$ (2). Với (1): $x^2-8x+5=0$ có $\Delta=44>0$ nên $x=4\pm\sqrt{11}$ . Với (2): $x^2-8x+17=0$ có $\Delta=-4<0$ , vô nghiệm — loại. Vậy phương trình có tập nghiệm $\{4-\sqrt{11};4+\sqrt{11}\}$ .
Ta có $1+7=3+5=8$ nên ghép $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$ và $(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$. Đặt $t=x^2-8x+7$, phương trình trở thành $t(t+8)=20 \iff t^2+8t-20=0 \iff (t-2)(t+10)=0$, suy ra $t=2$ (1) hoặc $t=-10$ (2). Với (1): $x^2-8x+5=0$ có $\Delta=44>0$ nên $x=4\pm\sqrt{11}$. Với (2): $x^2-8x+17=0$ có $\Delta=-4<0$, vô nghiệm — loại. Vậy phương trình có tập nghiệm $\{4-\sqrt{11};4+\sqrt{11}\}$.
8
Nếu đổi hằng số cuối từ $7$ thành $9$ (giữ $1,3,5$ ): tổng các cặp không còn bằng nhau ở cách ghép cũ ( $1+9=10\ne3+5=8$ ), nên phải ghép lại theo cặp có tổng bằng nhau thực sự — ở đây là $(x-1)(x-9)$ và $(x-3)(x-5)$ (vì $1+9=3+5=10$ ) — cho thấy cách ghép phụ thuộc hoàn toàn vào bốn hằng số cụ thể của đề, không phải một công thức cố định.
Nếu đổi hằng số cuối từ $7$ thành $9$ (giữ $1,3,5$): tổng các cặp không còn bằng nhau ở cách ghép cũ ($1+9=10\ne3+5=8$), nên phải ghép lại theo cặp có tổng bằng nhau thực sự — ở đây là $(x-1)(x-9)$ và $(x-3)(x-5)$ (vì $1+9=3+5=10$) — cho thấy cách ghép phụ thuộc hoàn toàn vào bốn hằng số cụ thể của đề, không phải một công thức cố định.

Mở rộng dành cho HSG — biện luận số nghiệm theo tham số

Mở rộng dành cho HSG

Mở rộng dành cho HSG: kỹ thuật đếm số nghiệm $x$ theo miền giá trị của $t$ không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 9 (chuẩn chỉ yêu cầu giải PT cụ thể, không yêu cầu biện luận tham số qua hai tầng ẩn phụ). Tiền đề: nắm vững cách xét dấu $\Delta$ theo tham số $m$ (đã gặp ở phần Vi-ét/PT bậc hai nâng cao).

**Mở rộng dành cho HSG:** kỹ thuật đếm số nghiệm $x$ theo miền giá trị của $t$ không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 9 (chuẩn chỉ yêu cầu giải PT cụ thể, không yêu cầu biện luận tham số qua hai tầng ẩn phụ). Tiền đề: nắm vững cách xét dấu $\Delta$ theo tham số $m$ (đã gặp ở phần Vi-ét/PT bậc hai nâng cao).

Ý tưởng cốt lõi: nếu $t=x^2+ax+b=\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(b-\dfrac{a^2}{4}\right)$ , thì $t$ có một giá trị nhỏ nhất $t_{\min}$ và với mỗi $t>t_{\min}$ luôn có đúng hai giá trị $x$ , còn $t=t_{\min}$ chỉ cho đúng một giá trị $x$ (nghiệm kép), và $t<t_{\min}$ thì không có $x$ thực nào. Nắm được quy tắc đếm này, ta có thể trả lời câu hỏi "có bao nhiêu nghiệm $x$ " mà không cần giải hết từng phương trình bậc hai theo $x$ .

Ý tưởng cốt lõi: nếu $t=x^2+ax+b=\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(b-\dfrac{a^2}{4}\right)$, thì $t$ có một **giá trị nhỏ nhất** $t_{\min}$ và với mỗi $t>t_{\min}$ luôn có **đúng hai** giá trị $x$, còn $t=t_{\min}$ chỉ cho **đúng một** giá trị $x$ (nghiệm kép), và $t<t_{\min}$ thì **không có** $x$ thực nào. Nắm được quy tắc đếm này, ta có thể trả lời câu hỏi "có bao nhiêu nghiệm $x$" mà không cần giải hết từng phương trình bậc hai theo $x$.

Ví dụ

Ví dụ 3 (HSG) — Tìm tham số để phương trình có đúng 2 nghiệm

1
Tìm $m$ để phương trình $(x^2+4x+2)^2 - (x^2+4x+2) = m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
Tìm $m$ để phương trình $(x^2+4x+2)^2 - (x^2+4x+2) = m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
2
Khai triển vế trái theo $x$ sẽ ra một phương trình bậc bốn với tham số $m$ — không thể xét dấu $x$ trực tiếp. Ta cần làm việc trên biến trung gian $t$ .
Khai triển vế trái theo $x$ sẽ ra một phương trình bậc bốn với tham số $m$ — không thể xét dấu $x$ trực tiếp. Ta cần làm việc trên biến trung gian $t$.
3
Đặt $t=x^2+4x+2=(x+2)^2-2 \ge -2$ với mọi $x$ thực; dấu bằng khi $x=-2$ . Với mỗi $t>-2$ có đúng hai giá trị $x$ (vì $\Delta = 8+4t > 0$ ); với $t=-2$ có đúng một giá trị $x=-2$ ; với $t<-2$ không có $x$ thực.
Đặt $t=x^2+4x+2=(x+2)^2-2 \ge -2$ với mọi $x$ thực; dấu bằng khi $x=-2$. Với mỗi $t>-2$ có đúng **hai** giá trị $x$ (vì $\Delta = 8+4t > 0$); với $t=-2$ có đúng **một** giá trị $x=-2$; với $t<-2$ không có $x$ thực.
4
$t^2-t-m=0$ , có hai nghiệm $t_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4m}}{2}$ khi $m\ge -\dfrac14$ .
$t^2-t-m=0$, có hai nghiệm $t_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4m}}{2}$ khi $m\ge -\dfrac14$.
5
Xét $f(t)=t^2-t-m$ . Vì hệ số $t^2$ dương, $f(-2)<0$ nghĩa là $t=-2$ nằm giữa hai nghiệm $t_1<-2<t_2$ : khi đó $t_1$ cho $0$ nghiệm $x$ , còn $t_2>-2$ cho đúng $2$ nghiệm $x$ — tổng cộng đúng 2 nghiệm $x$ , đúng như đề yêu cầu. $f(-2)=4+2-m=6-m$ , nên điều kiện là $6-m<0 \iff m>6$ .
Xét $f(t)=t^2-t-m$. Vì hệ số $t^2$ dương, $f(-2)<0$ nghĩa là $t=-2$ nằm **giữa** hai nghiệm $t_1<-2<t_2$: khi đó $t_1$ cho $0$ nghiệm $x$, còn $t_2>-2$ cho đúng $2$ nghiệm $x$ — tổng cộng đúng **2 nghiệm $x$**, đúng như đề yêu cầu. $f(-2)=4+2-m=6-m$, nên điều kiện là $6-m<0 \iff m>6$.
6
Nếu $m=6$ : $f(-2)=0$ nên $t=-2$ là một nghiệm, nghiệm còn lại (theo Vi-ét, tổng hai nghiệm bằng $1$ ) là $t=3$ . Khi đó $t=-2$ cho $1$ nghiệm $x$ , $t=3>-2$ cho $2$ nghiệm $x$ , tổng $=3$ nghiệm — không thỏa "đúng 2 nghiệm", nên $m=6$ bị loại, bất đẳng thức phải ngặt.
Nếu $m=6$: $f(-2)=0$ nên $t=-2$ là một nghiệm, nghiệm còn lại (theo Vi-ét, tổng hai nghiệm bằng $1$) là $t=3$. Khi đó $t=-2$ cho $1$ nghiệm $x$, $t=3>-2$ cho $2$ nghiệm $x$, tổng $=3$ nghiệm — **không thỏa** "đúng 2 nghiệm", nên $m=6$ bị loại, bất đẳng thức phải **ngặt**.
7
$m>6$ .
$m>6$.
8
Đặt $t=x^2+4x+2=(x+2)^2-2$ , do đó điều kiện của ẩn phụ là $t\ge-2$ (dấu bằng khi $x=-2$ ), và với mỗi $t>-2$ phương trình $x^2+4x+2=t$ có đúng hai nghiệm $x$ phân biệt vì $\Delta=8+4t>0$ . Phương trình theo $t$ là $t^2-t-m=0$ (1). Xét $f(t)=t^2-t-m$ : vì hệ số $t^2$ dương, $f(-2)<0$ nghĩa là $t=-2$ nằm giữa hai nghiệm của (1), tức $t_1<-2<t_2$ ; khi đó $t_1$ cho $0$ nghiệm $x$ còn $t_2$ cho đúng $2$ nghiệm $x$ , tổng cộng đúng $2$ nghiệm — khớp yêu cầu đề bài. Ta có $f(-2)=6-m<0 \iff m>6$ . Mặt khác, tại $m=6$ thì $f(-2)=0$ nên $t=-2$ chính là một nghiệm của (1); theo Vi-ét nghiệm còn lại là $t=3>-2$ , khi đó $t=-2$ cho $1$ nghiệm và $t=3$ cho $2$ nghiệm, tổng $3\ne2$ — biên $m=6$ không thỏa nên bất đẳng thức phải ngặt. Vậy $m>6$ .
Đặt $t=x^2+4x+2=(x+2)^2-2$, do đó điều kiện của ẩn phụ là $t\ge-2$ (dấu bằng khi $x=-2$), và với mỗi $t>-2$ phương trình $x^2+4x+2=t$ có đúng hai nghiệm $x$ phân biệt vì $\Delta=8+4t>0$. Phương trình theo $t$ là $t^2-t-m=0$ (1). Xét $f(t)=t^2-t-m$: vì hệ số $t^2$ dương, $f(-2)<0$ nghĩa là $t=-2$ nằm giữa hai nghiệm của (1), tức $t_1<-2<t_2$; khi đó $t_1$ cho $0$ nghiệm $x$ còn $t_2$ cho đúng $2$ nghiệm $x$, tổng cộng đúng $2$ nghiệm — khớp yêu cầu đề bài. Ta có $f(-2)=6-m<0 \iff m>6$. Mặt khác, tại $m=6$ thì $f(-2)=0$ nên $t=-2$ chính là một nghiệm của (1); theo Vi-ét nghiệm còn lại là $t=3>-2$, khi đó $t=-2$ cho $1$ nghiệm và $t=3$ cho $2$ nghiệm, tổng $3\ne2$ — biên $m=6$ không thỏa nên bất đẳng thức phải ngặt. Vậy $m>6$.
9
Nếu đổi câu hỏi thành "tìm $m$ để phương trình có đúng $0$ nghiệm $x$ ": cần cả hai nghiệm $t_1,t_2$ của (1) đều nhỏ hơn $-2$ — một điều kiện chặt hơn hẳn (đỉnh của $f$ cũng phải nằm bên trái $-2$ ), cho thấy "đúng $k$ nghiệm" với $k$ khác nhau đòi hỏi phân tích lại vị trí của $-2$ so với CẢ HAI nghiệm, không chỉ so với một trong hai.
Nếu đổi câu hỏi thành "tìm $m$ để phương trình có đúng $0$ nghiệm $x$": cần cả hai nghiệm $t_1,t_2$ của (1) đều nhỏ hơn $-2$ — một điều kiện chặt hơn hẳn (đỉnh của $f$ cũng phải nằm bên trái $-2$), cho thấy "đúng $k$ nghiệm" với $k$ khác nhau đòi hỏi phân tích lại vị trí của $-2$ so với CẢ HAI nghiệm, không chỉ so với một trong hai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tổng kết

Sai lầm cần tránh

Sai lầm phổ biến: giải xong phương trình bậc hai theo $t$ rồi dừng lại, quên thay ngược vào $x^2+ax+b=t$ và kiểm tra $\Delta$ ở tầng thứ hai — dẫn đến báo nghiệm ảo (nghiệm không tồn tại) hoặc bỏ sót điều kiện. Luôn xử lý đủ hai tầng: tầng $t$ và tầng $x$ .

**Sai lầm phổ biến:** giải xong phương trình bậc hai theo $t$ rồi dừng lại, quên thay ngược vào $x^2+ax+b=t$ và kiểm tra $\Delta$ ở tầng thứ hai — dẫn đến báo nghiệm ảo (nghiệm không tồn tại) hoặc bỏ sót điều kiện. Luôn xử lý đủ **hai tầng**: tầng $t$ và tầng $x$.

Ghi nhớ: phương trình bậc bốn trông rối rắm có thể ẩn một cấu trúc bậc hai bên trong — dấu hiệu là các nhân tử ghép được thành từng cặp có tổng bằng nhau. Đặt $t$ đúng chỗ biến bài toán khó thành hai phương trình bậc hai quen thuộc, nhưng đừng quên kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm ở cả hai tầng.

**Ghi nhớ:** phương trình bậc bốn trông rối rắm có thể ẩn một cấu trúc bậc hai bên trong — dấu hiệu là các nhân tử ghép được thành từng cặp có tổng bằng nhau. Đặt $t$ đúng chỗ biến bài toán khó thành hai phương trình bậc hai quen thuộc, nhưng đừng quên kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm ở **cả hai tầng**.

Bài tiếp theo

Khi bốn hệ số không ghép cặp gọn theo kiểu trên mà phương trình có tính đối xứng ngược (hệ số đối xứng qua giữa) hoặc chứa cả $x$ lẫn căn $x$ , ta cần một dạng ẩn phụ khác: $t=x+\dfrac1x$ hoặc $t=\sqrt x$ — đó là nội dung bài học kế tiếp.

Khi bốn hệ số không ghép cặp gọn theo kiểu trên mà phương trình có tính **đối xứng ngược** (hệ số đối xứng qua giữa) hoặc chứa cả $x$ lẫn căn $x$, ta cần một dạng ẩn phụ khác: $t=x+\dfrac1x$ hoặc $t=\sqrt x$ — đó là nội dung bài học kế tiếp.