Phần

Ẩn phụ t = x + 1/x và t = √x

Em sẽ làm được gì?

Nhận diện phương trình hồi quy (các hệ số đối xứng qua giữa) và phương trình chứa cả $x$ lẫn $\sqrt x$ ; biết dùng ẩn phụ $t=x+\dfrac1x$ (kèm điều kiện $|t|\ge 2$ ) hoặc $t=\sqrt x$ ( $t\ge0$ ) để đưa về phương trình bậc hai, và biết lúc nào $t=x-\dfrac1x$ là lựa chọn tự nhiên hơn.

Nhận diện **phương trình hồi quy** (các hệ số đối xứng qua giữa) và phương trình chứa cả $x$ lẫn $\sqrt x$; biết dùng ẩn phụ $t=x+\dfrac1x$ (kèm điều kiện $|t|\ge 2$) hoặc $t=\sqrt x$ ($t\ge0$) để đưa về phương trình bậc hai, và biết lúc nào $t=x-\dfrac1x$ là lựa chọn tự nhiên hơn.

Cần nhớ trước

Kiến thức cần có: bài trước (ẩn phụ $t=x^2+ax+b$ ), định nghĩa và tính chất căn bậc hai (Lớp 9 chuẩn), bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (đã gặp ở phần biến đổi căn thức). Bài này là cầu nối cùng chương: vẫn là kỹ thuật đặt ẩn phụ, nhưng áp dụng cho một cấu trúc đại số khác — phân thức nghịch đảo và căn thức.

**Kiến thức cần có:** bài trước (ẩn phụ $t=x^2+ax+b$), định nghĩa và tính chất căn bậc hai (Lớp 9 chuẩn), bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (đã gặp ở phần biến đổi căn thức). Bài này là **cầu nối cùng chương**: vẫn là kỹ thuật đặt ẩn phụ, nhưng áp dụng cho một cấu trúc đại số khác — phân thức nghịch đảo và căn thức.

Giải $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$ bằng cách nào? Không nhóm được cặp nhân tử như bài trước, vì phương trình này không cho sẵn dạng tích. Nhưng nhìn kỹ dãy hệ số $1,-5{,}6,-5{,}1$ : nó đối xứng — hệ số đầu bằng hệ số cuối, hệ số thứ hai bằng hệ số áp chót. Đây gọi là phương trình hồi quy (palindromic), và nó có một mẹo đặt ẩn phụ riêng.

Giải $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$ bằng cách nào? Không nhóm được cặp nhân tử như bài trước, vì phương trình này không cho sẵn dạng tích. Nhưng nhìn kỹ dãy hệ số $1,-5,6,-5,1$: nó **đối xứng** — hệ số đầu bằng hệ số cuối, hệ số thứ hai bằng hệ số áp chót. Đây gọi là **phương trình hồi quy** (palindromic), và nó có một mẹo đặt ẩn phụ riêng.

Phương trình hồi quy — chia đôi và đặt t = x + 1/x

Vì hệ số đối xứng và $x=0$ rõ ràng không phải nghiệm (thay vào được $1\ne 0$ ), ta chia cả hai vế cho $x^2$ :

$x^2-5x+6-\frac5x+\frac1{x^2}=0 \iff \left(x^2+\frac1{x^2}\right) - 5\left(x+\frac1x\right)+6=0$

Đặt $t=x+\dfrac1x$ , thì $t^2 = x^2+2+\dfrac1{x^2}$ , suy ra $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$ . Phương trình trở thành $t^2-2-5t+6=0 \iff t^2-5t+4=0$ .

Vì hệ số đối xứng và $x=0$ rõ ràng không phải nghiệm (thay vào được $1\ne 0$), ta chia cả hai vế cho $x^2$: $$x^2-5x+6-\frac5x+\frac1{x^2}=0 \iff \left(x^2+\frac1{x^2}\right) - 5\left(x+\frac1x\right)+6=0$$ Đặt $t=x+\dfrac1x$, thì $t^2 = x^2+2+\dfrac1{x^2}$, suy ra $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$. Phương trình trở thành $t^2-2-5t+6=0 \iff t^2-5t+4=0$.

Đây là lý do khi giải x+1/x=m với -2<m<2, phương trình vô nghiệm thực.

Điều kiện |t| ≥ 2 — đừng quên!

Điều kiện bắt buộc: với $x$ thực khác 0, $t=x+\dfrac1x$ không nhận mọi giá trị — theo AM-GM, $x>0 \Rightarrow t\ge 2$ và $x<0 \Rightarrow t\le -2$ , tức $|t|\ge2$ . Nếu giải ra $t$ nằm trong khoảng $(-2;2)$ , nhánh đó vô nghiệm thực — đây là lỗi hay bị bỏ sót nhất khi làm bài dạng này.

**Điều kiện bắt buộc**: với $x$ thực khác 0, $t=x+\dfrac1x$ **không nhận mọi giá trị** — theo AM-GM, $x>0 \Rightarrow t\ge 2$ và $x<0 \Rightarrow t\le -2$, tức $|t|\ge2$. Nếu giải ra $t$ nằm trong khoảng $(-2;2)$, nhánh đó **vô nghiệm thực** — đây là lỗi hay bị bỏ sót nhất khi làm bài dạng này.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Phương trình hồi quy bậc bốn

1
Giải phương trình $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$ .
Giải phương trình $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$.
2
Chia hai vế cho $x^2$ ( $x=0$ không là nghiệm): $\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-5\left(x+\frac1x\right)+6=0$ . Đặt $t=x+\dfrac1x$ ( $|t|\ge2$ ), ta có $t^2-2-5t+6=0 \iff t^2-5t+4=0$ .
Chia hai vế cho $x^2$ ($x=0$ không là nghiệm): $\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-5\left(x+\frac1x\right)+6=0$. Đặt $t=x+\dfrac1x$ ($|t|\ge2$), ta có $t^2-2-5t+6=0 \iff t^2-5t+4=0$.
3
$(t-1)(t-4)=0 \iff t=1$ hoặc $t=4$ .
$(t-1)(t-4)=0 \iff t=1$ hoặc $t=4$.
4
$|1|<2$ nên $t=1$ không thỏa $|t|\ge2$ — loại ngay, không cần giải tiếp theo $x$ .
$|1|<2$ nên $t=1$ **không thỏa** $|t|\ge2$ — loại ngay, không cần giải tiếp theo $x$.
5
$x+\dfrac1x=4 \iff x^2-4x+1=0$ , $\Delta=16-4=12>0$ , $x=2\pm\sqrt3$ — cả hai đều dương, phù hợp vì $t=4>0$ tương ứng nhánh $x>0$ .
$x+\dfrac1x=4 \iff x^2-4x+1=0$, $\Delta=16-4=12>0$, $x=2\pm\sqrt3$ — cả hai đều dương, phù hợp vì $t=4>0$ tương ứng nhánh $x>0$.
6
Phương trình có đúng hai nghiệm thực $x=2\pm\sqrt3$ .
Phương trình có đúng hai nghiệm thực $x=2\pm\sqrt3$.
7
Vì hệ số của phương trình đối xứng và $x=0$ không là nghiệm (thay $x=0$ được $1\ne0$ ), ta chia hai vế cho $x^2$ và đặt $t=x+\dfrac1x$ với điều kiện $|t|\ge2$ (theo AM-GM). Ta có $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$ , nên phương trình trở thành $t^2-2-5t+6=0 \iff (t-1)(t-4)=0$ , suy ra $t=1$ (1) hoặc $t=4$ (2). Xét (1): $|1|<2$ , vi phạm điều kiện — loại ngay, không cần giải tiếp theo $x$ . Xét (2): $t=4$ (TMĐK vì $\ge2$ ), $x+\dfrac1x=4 \iff x^2-4x+1=0$ có $\Delta=12>0$ , cho $x=2\pm\sqrt3$ . Vậy phương trình có tập nghiệm $\{2-\sqrt3;2+\sqrt3\}$ .
Vì hệ số của phương trình đối xứng và $x=0$ không là nghiệm (thay $x=0$ được $1\ne0$), ta chia hai vế cho $x^2$ và đặt $t=x+\dfrac1x$ với điều kiện $|t|\ge2$ (theo AM-GM). Ta có $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$, nên phương trình trở thành $t^2-2-5t+6=0 \iff (t-1)(t-4)=0$, suy ra $t=1$ (1) hoặc $t=4$ (2). Xét (1): $|1|<2$, vi phạm điều kiện — loại ngay, không cần giải tiếp theo $x$. Xét (2): $t=4$ (TMĐK vì $\ge2$), $x+\dfrac1x=4 \iff x^2-4x+1=0$ có $\Delta=12>0$, cho $x=2\pm\sqrt3$. Vậy phương trình có tập nghiệm $\{2-\sqrt3;2+\sqrt3\}$.
8
Nếu đổi hệ số giữa từ $6$ thành $8$ (phương trình $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$ ): $t^2-5t+6=0 \iff t=2$ hoặc $t=3$ , cả hai đều TMĐK $|t|\ge2$ (khác đề gốc, không nhánh nào bị loại) — nhánh $t=2$ cho nghiệm kép $x=1$ , nhánh $t=3$ cho $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$ , tổng cộng ba giá trị $x$ phân biệt thay vì hai.
Nếu đổi hệ số giữa từ $6$ thành $8$ (phương trình $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$): $t^2-5t+6=0 \iff t=2$ hoặc $t=3$, cả hai đều TMĐK $|t|\ge2$ (khác đề gốc, không nhánh nào bị loại) — nhánh $t=2$ cho nghiệm kép $x=1$, nhánh $t=3$ cho $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$, tổng cộng ba giá trị $x$ phân biệt thay vì hai.

Phương trình chứa căn — đặt t = √x

Khi phương trình chứa $x$ và $\sqrt x$ (không có căn phức tạp hơn), đặt $t=\sqrt x$ với điều kiện bắt buộc $t\ge0$ biến bài toán thành phương trình bậc hai theo $t$ , sau đó $x=t^2$ . Ở mức HSG, dạng này thường xuất hiện có tham số, đòi hỏi biện luận xem với giá trị tham số nào thì tồn tại $t\ge0$ thỏa mãn.

Khi phương trình chứa $x$ và $\sqrt x$ (không có căn phức tạp hơn), đặt $t=\sqrt x$ với **điều kiện bắt buộc $t\ge0$** biến bài toán thành phương trình bậc hai theo $t$, sau đó $x=t^2$. Ở mức HSG, dạng này thường xuất hiện có **tham số**, đòi hỏi biện luận xem với giá trị tham số nào thì tồn tại $t\ge0$ thỏa mãn.

Ví dụ

Ví dụ 2 (HSG) — Tham số và điều kiện t ≥ 0

1
Tìm $m$ để phương trình $x - (2m+1)\sqrt{x} + m^2+m = 0$ (với $x\ge0$ ) có nghiệm.
Tìm $m$ để phương trình $x - (2m+1)\sqrt{x} + m^2+m = 0$ (với $x\ge0$) có nghiệm.
2
Đặt $t=\sqrt x \ge 0$ , phương trình trở thành $t^2-(2m+1)t+m^2+m=0$ .
Đặt $t=\sqrt x \ge 0$, phương trình trở thành $t^2-(2m+1)t+m^2+m=0$.
3
$\Delta = (2m+1)^2-4(m^2+m) = 4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0$ với mọi $m$ , nên luôn có hai nghiệm phân biệt $t=\dfrac{(2m+1)\pm1}{2}$ , tức $t=m+1$ hoặc $t=m$ .
$\Delta = (2m+1)^2-4(m^2+m) = 4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0$ với **mọi** $m$, nên luôn có hai nghiệm phân biệt $t=\dfrac{(2m+1)\pm1}{2}$, tức $t=m+1$ hoặc $t=m$.
4
Phương trình ban đầu có nghiệm $x$ khi và chỉ khi ít nhất một trong hai giá trị $t=m$ , $t=m+1$ không âm. Nếu $m\ge0$ : cả hai đều $\ge0$ , thỏa. Nếu $-1\le m<0$ : $m<0$ nhưng $m+1\ge0$ , vẫn thỏa. Nếu $m<-1$ : cả $m<0$ và $m+1<0$ , không có $t$ hợp lệ.
Phương trình ban đầu có nghiệm $x$ khi và chỉ khi **ít nhất một** trong hai giá trị $t=m$, $t=m+1$ không âm. Nếu $m\ge0$: cả hai đều $\ge0$, thỏa. Nếu $-1\le m<0$: $m<0$ nhưng $m+1\ge0$, vẫn thỏa. Nếu $m<-1$: cả $m<0$ và $m+1<0$, không có $t$ hợp lệ.
5
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -1$ .
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -1$.
6
Đặt $t=\sqrt x$ với điều kiện $t\ge0$ , phương trình trở thành $t^2-(2m+1)t+m^2+m=0$ (1). Ta có $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=1>0$ với mọi $m$ , nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $t=m+1$ và $t=m$ . Phương trình ban đầu có nghiệm $x$ khi và chỉ khi ít nhất một trong hai giá trị này không âm (TMĐK $t\ge0$ ). Xét ba trường hợp của $m$ : nếu $m\ge0$ thì cả hai đều không âm; nếu $-1\le m<0$ thì $t=m<0$ nhưng $t=m+1\ge0$ vẫn thỏa; nếu $m<-1$ thì cả hai đều âm, không có $t$ hợp lệ. Vậy phương trình có nghiệm $x$ khi và chỉ khi $m\ge-1$ .
Đặt $t=\sqrt x$ với điều kiện $t\ge0$, phương trình trở thành $t^2-(2m+1)t+m^2+m=0$ (1). Ta có $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=1>0$ với mọi $m$, nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $t=m+1$ và $t=m$. Phương trình ban đầu có nghiệm $x$ khi và chỉ khi ít nhất một trong hai giá trị này không âm (TMĐK $t\ge0$). Xét ba trường hợp của $m$: nếu $m\ge0$ thì cả hai đều không âm; nếu $-1\le m<0$ thì $t=m<0$ nhưng $t=m+1\ge0$ vẫn thỏa; nếu $m<-1$ thì cả hai đều âm, không có $t$ hợp lệ. Vậy phương trình có nghiệm $x$ khi và chỉ khi $m\ge-1$.
7
Nếu đổi dấu hằng số tự do (phương trình $x-(2m+1)\sqrt x+m^2-m=0$ ): $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2-m)=8m+1$ , không còn là hằng số dương với mọi $m$ như đề gốc ( $\Delta=1$ ) — cần thêm điều kiện $m\ge-\dfrac18$ chỉ để phương trình theo $t$ có nghiệm thực, trước khi biện luận tiếp điều kiện $t\ge0$ .
Nếu đổi dấu hằng số tự do (phương trình $x-(2m+1)\sqrt x+m^2-m=0$): $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2-m)=8m+1$, không còn là hằng số dương với mọi $m$ như đề gốc ($\Delta=1$) — cần thêm điều kiện $m\ge-\dfrac18$ chỉ để phương trình theo $t$ có nghiệm thực, trước khi biện luận tiếp điều kiện $t\ge0$.

Mở rộng dành cho HSG — kết hợp ẩn phụ với AM-GM để loại nhánh

Mở rộng dành cho HSG

Mở rộng dành cho HSG: dùng bất đẳng thức $|x+1/x|\ge2$ để chứng minh tất cả nghiệm đều dương mà không cần giải hết phương trình — kỹ thuật này không nằm trong yêu cầu chuẩn (chuẩn chỉ yêu cầu tìm nghiệm, không yêu cầu chứng minh dấu nghiệm qua bất đẳng thức). Tiền đề: AM-GM hai số dương.

**Mở rộng dành cho HSG:** dùng bất đẳng thức $|x+1/x|\ge2$ để **chứng minh tất cả nghiệm đều dương** mà không cần giải hết phương trình — kỹ thuật này không nằm trong yêu cầu chuẩn (chuẩn chỉ yêu cầu tìm nghiệm, không yêu cầu chứng minh dấu nghiệm qua bất đẳng thức). Tiền đề: AM-GM hai số dương.

Ví dụ

Ví dụ 3 (HSG) — Chứng minh mọi nghiệm đều dương nhờ |t| ≥ 2

1
Giải phương trình hồi quy $x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0$ và chứng minh tất cả các nghiệm đều dương.
Giải phương trình hồi quy $x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0$ và chứng minh tất cả các nghiệm đều dương.
2
Chia cho $x^2$ : $\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-7\left(x+\frac1x\right)+14=0$ . Đặt $t=x+\dfrac1x$ ( $|t|\ge2$ ): $t^2-2-7t+14=0 \iff t^2-7t+12=0 \iff t=3$ hoặc $t=4$ .
Chia cho $x^2$: $\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-7\left(x+\frac1x\right)+14=0$. Đặt $t=x+\dfrac1x$ ($|t|\ge2$): $t^2-2-7t+14=0 \iff t^2-7t+12=0 \iff t=3$ hoặc $t=4$.
3
Cả $t=3$ và $t=4$ đều dương và $\ge2$ . Theo AM-GM, $t=x+\dfrac1x\ge2$ chỉ xảy ra khi $x>0$ (nếu $x<0$ thì $t\le-2<0$ ). Vậy không cần giải phương trình theo $x$ , ta đã biết chắc mọi nghiệm thực của cả hai nhánh đều dương — đây chính là "chứng minh" mà đề yêu cầu.
Cả $t=3$ và $t=4$ đều **dương và $\ge2$**. Theo AM-GM, $t=x+\dfrac1x\ge2$ **chỉ xảy ra khi $x>0$** (nếu $x<0$ thì $t\le-2<0$). Vậy không cần giải phương trình theo $x$, ta đã biết chắc **mọi nghiệm thực của cả hai nhánh đều dương** — đây chính là "chứng minh" mà đề yêu cầu.
4
$t=3$ : $x^2-3x+1=0$ , $\Delta=5>0$ , $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ (đều dương vì tổng $3>0$ , tích $1>0$ ). $t=4$ : $x^2-4x+1=0$ , $\Delta=12>0$ , $x=2\pm\sqrt3$ (đều dương).
$t=3$: $x^2-3x+1=0$, $\Delta=5>0$, $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ (đều dương vì tổng $3>0$, tích $1>0$). $t=4$: $x^2-4x+1=0$, $\Delta=12>0$, $x=2\pm\sqrt3$ (đều dương).
5
Phương trình có bốn nghiệm thực $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ và $x=2\pm\sqrt3$ , tất cả đều dương — đúng như lập luận bằng AM-GM ở trên, không cần tính tay mới biết dấu.
Phương trình có bốn nghiệm thực $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ và $x=2\pm\sqrt3$, tất cả đều dương — đúng như lập luận bằng AM-GM ở trên, không cần tính tay mới biết dấu.
6
Chia hai vế cho $x^2$ và đặt $t=x+\dfrac1x$ ( $|t|\ge2$ ): $t^2-2-7t+14=0 \iff (t-3)(t-4)=0$ , suy ra $t=3$ (1) hoặc $t=4$ (2) — cả hai đều TMĐK vì $\ge2$ . Mặt khác, theo AM-GM, $t=x+\dfrac1x\ge2$ chỉ xảy ra khi $x>0$ (nếu $x<0$ thì $t\le-2<0$ ); vì cả (1) và (2) đều dương và $\ge2$ , ta suy ra ngay mọi nghiệm $x$ của cả hai nhánh đều dương, không cần giải cụ thể mới biết dấu — đây chính là điều đề yêu cầu chứng minh. Giải cụ thể: với (1), $x^2-3x+1=0$ có $\Delta=5>0$ , cho $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$ ; với (2), $x^2-4x+1=0$ có $\Delta=12>0$ , cho $x=2\pm\sqrt3$ . Vậy phương trình có bốn nghiệm thực $\dfrac{3\pm\sqrt5}2{,}2\pm\sqrt3$ , tất cả đều dương đúng như đã chứng minh.
Chia hai vế cho $x^2$ và đặt $t=x+\dfrac1x$ ($|t|\ge2$): $t^2-2-7t+14=0 \iff (t-3)(t-4)=0$, suy ra $t=3$ (1) hoặc $t=4$ (2) — cả hai đều TMĐK vì $\ge2$. Mặt khác, theo AM-GM, $t=x+\dfrac1x\ge2$ chỉ xảy ra khi $x>0$ (nếu $x<0$ thì $t\le-2<0$); vì cả (1) và (2) đều dương và $\ge2$, ta suy ra ngay **mọi nghiệm $x$ của cả hai nhánh đều dương**, không cần giải cụ thể mới biết dấu — đây chính là điều đề yêu cầu chứng minh. Giải cụ thể: với (1), $x^2-3x+1=0$ có $\Delta=5>0$, cho $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$; với (2), $x^2-4x+1=0$ có $\Delta=12>0$, cho $x=2\pm\sqrt3$. Vậy phương trình có bốn nghiệm thực $\dfrac{3\pm\sqrt5}2,2\pm\sqrt3$, tất cả đều dương đúng như đã chứng minh.
7
Nếu đổi hệ số giữa từ $14$ thành $12$ (phương trình $x^4-7x^3+12x^2-7x+1=0$ ): $t^2-7t+10=0 \iff t=2$ hoặc $t=5$ , cả hai đều TMĐK $|t|\ge2$ (khác đề gốc chỉ có một nhánh) — nhánh $t=2$ cho nghiệm kép $x=1$ , nhánh $t=5$ cho $x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2$ , tổng cộng ba giá trị $x$ phân biệt.
Nếu đổi hệ số giữa từ $14$ thành $12$ (phương trình $x^4-7x^3+12x^2-7x+1=0$): $t^2-7t+10=0 \iff t=2$ hoặc $t=5$, cả hai đều TMĐK $|t|\ge2$ (khác đề gốc chỉ có một nhánh) — nhánh $t=2$ cho nghiệm kép $x=1$, nhánh $t=5$ cho $x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2$, tổng cộng ba giá trị $x$ phân biệt.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tổng kết

Sai lầm cần tránh

Sai lầm phổ biến nhất trong bài này: quên kiểm tra $|t|\ge2$ khi đặt $t=x+\dfrac1x$ , dẫn đến báo thừa nghiệm không tồn tại; hoặc quên $t=\sqrt x\ge0$ khi đặt $t=\sqrt x$ , dẫn đến nhận nhầm nghiệm âm của $t$ rồi tính ra $x$ sai.

**Sai lầm phổ biến nhất trong bài này:** quên kiểm tra $|t|\ge2$ khi đặt $t=x+\dfrac1x$, dẫn đến báo thừa nghiệm không tồn tại; hoặc quên $t=\sqrt x\ge0$ khi đặt $t=\sqrt x$, dẫn đến nhận nhầm nghiệm âm của $t$ rồi tính ra $x$ sai.

Ghi nhớ: hai kiểu ẩn phụ mới trong bài — $t=x+\dfrac1x$ và $t=\sqrt x$ — đều đi kèm một điều kiện miền giá trị bắt buộc ( $|t|\ge2$ và $t\ge0$ ). Quên điều kiện này là lỗi phổ biến nhất khi mới học kỹ thuật đặt ẩn phụ, kể cả khi phần đại số phía sau hoàn toàn đúng.

**Ghi nhớ:** hai kiểu ẩn phụ mới trong bài — $t=x+\dfrac1x$ và $t=\sqrt x$ — đều đi kèm một **điều kiện miền giá trị bắt buộc** ($|t|\ge2$ và $t\ge0$). Quên điều kiện này là lỗi phổ biến nhất khi mới học kỹ thuật đặt ẩn phụ, kể cả khi phần đại số phía sau hoàn toàn đúng.

Bài tiếp theo

Chương sau sẽ nâng lên một bậc: không còn một $\sqrt x$ đơn giản mà là hai căn thức khác nhau cộng/trừ nhau, đòi hỏi kỹ thuật miền xác định, bình phương có kiểm tra, và nhân liên hợp.

Chương sau sẽ nâng lên một bậc: không còn một $\sqrt x$ đơn giản mà là **hai căn thức khác nhau** cộng/trừ nhau, đòi hỏi kỹ thuật miền xác định, bình phương có kiểm tra, và nhân liên hợp.