Phần

Bài toán hỗn hợp: tham số mở khóa điều kiện nguyên và bất đẳng thức

Mục tiêu

Sau bài học này, em giải được một bài toán HSG THẬT SỰ nhiều phần, trong đó điều kiện tìm được ở phần (a) trở thành miền ràng buộc bắt buộc phải mang theo khi làm phần (b), và phần (b) lại là nền để chứng minh một bất đẳng thức ở phần (c) — đúng cấu trúc “một phần mở khóa phần sau” thường gặp trong đề thi HSG.

Kiến thức nền cần có

Em cần thành thạo cả ba kỹ năng vừa luyện ở bài trước: điều kiện có nghiệm ( $\Delta$ ), hệ thức Vi-ét, và tư duy “khảo sát một biểu thức bậc hai theo tham số $m$ trên một miền bị chặn” (khi $m$ nguyên, đỉnh parabol không nhất thiết là số nguyên).

Em cần thành thạo cả ba kỹ năng vừa luyện ở bài trước: điều kiện có nghiệm ($\Delta$), hệ thức Vi-ét, và tư duy “khảo sát một biểu thức bậc hai theo tham số $m$ trên một miền bị chặn” (khi $m$ nguyên, đỉnh parabol không nhất thiết là số nguyên).

So với bài toán chuẩn lớp 9

Đề chuẩn cho các câu (a), (b), (c) ĐỘC LẬP với nhau: câu (a) tìm điều kiện của $m$ , câu (b) tính giá trị biểu thức khi $m$ nhận MỘT giá trị cụ thể cho trước — không cần dùng lại kết quả câu (a). Đề HSG khóa các câu lại với nhau: câu (b) bắt buộc phải dùng đúng miền $m$ tìm được ở câu (a), và câu (c) dùng lại chính các nghiệm đó để chứng minh thêm một tính chất. Bỏ qua liên kết này là lỗi khiến bài làm mất điểm dù từng bước tính toán không sai.

Đề chuẩn cho các câu (a), (b), (c) ĐỘC LẬP với nhau: câu (a) tìm điều kiện của $m$, câu (b) tính giá trị biểu thức khi $m$ nhận MỘT giá trị cụ thể cho trước — không cần dùng lại kết quả câu (a). Đề HSG khóa các câu lại với nhau: câu (b) bắt buộc phải dùng đúng miền $m$ tìm được ở câu (a), và câu (c) dùng lại chính các nghiệm đó để chứng minh thêm một tính chất. Bỏ qua liên kết này là lỗi khiến bài làm mất điểm dù từng bước tính toán không sai.

Bài toán mở đầu

Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0$ (chính là phương trình ở Bài toán 3 của bài trước).\n\na) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ .\n\nb) Với các giá trị $m$ NGUYÊN thỏa mãn câu a), tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.\n\nc) Với các giá trị $m$ tìm được ở câu b), chứng minh $x_1^2+x_2^2 > \dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$ .

Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0$ (chính là phương trình ở Bài toán 3 của bài trước).\n\na) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.\n\nb) Với các giá trị $m$ NGUYÊN thỏa mãn câu a), tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.\n\nc) Với các giá trị $m$ tìm được ở câu b), chứng minh $x_1^2+x_2^2 > \dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$.

Ý tưởng chính: miền $m$ ở câu (a) không phải là đáp số cuối — nó là TẬP NỀN cho câu (b). Câu (b) là bài toán tối ưu một hàm bậc hai theo $m$ nhưng chỉ trên tập số NGUYÊN nằm trong miền đó, nên đỉnh parabol (thường lẻ) không phải là đáp số — phải so sánh hai số nguyên gần đỉnh nhất. Câu (c) không cần tính lại từ đầu, mà dùng đúng $x_1,x_2$ vừa tìm được để chứng minh một bất đẳng thức tổng quát $a^2+b^2 > \frac{(a+b)^2}{2}$ khi $a\ne b$ — và đây là lúc điều kiện “phân biệt” của câu (a) phát huy tác dụng: chính nhờ nó mà dấu bất đẳng thức là chặt, không xảy ra dấu bằng.

**Ý tưởng chính:** miền $m$ ở câu (a) không phải là đáp số cuối — nó là TẬP NỀN cho câu (b). Câu (b) là bài toán tối ưu một hàm bậc hai theo $m$ nhưng chỉ trên tập số NGUYÊN nằm trong miền đó, nên đỉnh parabol (thường lẻ) không phải là đáp số — phải so sánh hai số nguyên gần đỉnh nhất. Câu (c) không cần tính lại từ đầu, mà dùng đúng $x_1,x_2$ vừa tìm được để chứng minh một bất đẳng thức tổng quát $a^2+b^2 > \frac{(a+b)^2}{2}$ khi $a\ne b$ — và đây là lúc điều kiện “phân biệt” của câu (a) phát huy tác dụng: chính nhờ nó mà dấu bất đẳng thức là chặt, không xảy ra dấu bằng.

Ví dụ

Lời giải đầy đủ ba phần liên kết

1
Ta có $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3m)=m+1$ . Theo điều kiện có hai nghiệm phân biệt, cần $\Delta'>0\iff m>-1$ . (1)
Ta có $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3m)=m+1$. Theo điều kiện có hai nghiệm phân biệt, cần $\Delta'>0\iff m>-1$. (1)
2
Với điều kiện (1), theo hệ thức Vi-ét: $S=2(m-1)$ , $P=m^2-3m$ , nên $f(m)=x_1^2+x_2^2=S^2-2P=2m^2-2m+4$ . (2) Vì $m$ nguyên và theo (1) $m>-1$ nên $m\in\{0{,}1{,}2{,}3,\dots\}$ .
Với điều kiện (1), theo hệ thức Vi-ét: $S=2(m-1)$, $P=m^2-3m$, nên $f(m)=x_1^2+x_2^2=S^2-2P=2m^2-2m+4$. (2) Vì $m$ nguyên và theo (1) $m>-1$ nên $m\in\{0,1,2,3,\dots\}$.
3
Theo (2), $f(m)=2m^2-2m+4$ là parabol có hệ số bậc hai dương, đỉnh tại $m=\dfrac{2}{2\cdot2}=\dfrac12$ — không nguyên. Vì hàm bậc hai hệ số dương đồng biến ra xa đỉnh về hai phía, giá trị nhỏ nhất trên tập số nguyên đạt tại một trong hai số nguyên gần đỉnh nhất: $m=0$ và $m=1$ , cách đều đỉnh nên cho cùng giá trị $f(0)=f(1)=4$ . Với mọi $m$ nguyên khác (xa đỉnh hơn), $f(m)>4$ .
Theo (2), $f(m)=2m^2-2m+4$ là parabol có hệ số bậc hai dương, đỉnh tại $m=\dfrac{2}{2\cdot2}=\dfrac12$ — không nguyên. Vì hàm bậc hai hệ số dương đồng biến ra xa đỉnh về hai phía, giá trị nhỏ nhất trên tập số nguyên đạt tại một trong hai số nguyên gần đỉnh nhất: $m=0$ và $m=1$, cách đều đỉnh nên cho cùng giá trị $f(0)=f(1)=4$. Với mọi $m$ nguyên khác (xa đỉnh hơn), $f(m)>4$.
4
Do đó $\min f(m)=4$ , đạt tại $m=0$ HOẶC $m=1$ — bài toán có HAI đáp số $m$ cùng cho một giá trị nhỏ nhất, không phải một.
Do đó $\min f(m)=4$, đạt tại $m=0$ HOẶC $m=1$ — bài toán có HAI đáp số $m$ cùng cho một giá trị nhỏ nhất, không phải một.
5
Với $m=0$ hoặc $m=1$ (đều thỏa $m>-1$ nên $x_1\ne x_2$ theo (1)), xét hiệu $2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2=(x_1-x_2)^2$ . Vì $x_1\ne x_2$ nên $(x_1-x_2)^2>0$ , suy ra $2(x_1^2+x_2^2)>(x_1+x_2)^2$ , tức $x_1^2+x_2^2>\dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$ — dấu bằng KHÔNG xảy ra chính vì điều kiện phân biệt đã đặt ra từ (1). Vậy: điều kiện $m>-1$ ở câu a), giá trị nhỏ nhất $4$ của $x_1^2+x_2^2$ đạt tại $m=0$ hoặc $m=1$ ở câu b), và bất đẳng thức $x_1^2+x_2^2>\dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$ chứng minh chặt tại các giá trị đó ở câu c) — ba kết quả liên kết chặt với nhau. Xem biến thể ngay sau đây mở rộng ý tưởng này khi điều kiện câu a) đổi thành nghiệm trái dấu thay vì phân biệt, và biến thể mở rộng xa hơn khi $\Delta$ là một hằng số chính phương.
Với $m=0$ hoặc $m=1$ (đều thỏa $m>-1$ nên $x_1\ne x_2$ theo (1)), xét hiệu $2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2=(x_1-x_2)^2$. Vì $x_1\ne x_2$ nên $(x_1-x_2)^2>0$, suy ra $2(x_1^2+x_2^2)>(x_1+x_2)^2$, tức $x_1^2+x_2^2>\dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$ — dấu bằng KHÔNG xảy ra chính vì điều kiện phân biệt đã đặt ra từ (1). Vậy: điều kiện $m>-1$ ở câu a), giá trị nhỏ nhất $4$ của $x_1^2+x_2^2$ đạt tại $m=0$ hoặc $m=1$ ở câu b), và bất đẳng thức $x_1^2+x_2^2>\dfrac{(x_1+x_2)^2}{2}$ chứng minh chặt tại các giá trị đó ở câu c) — ba kết quả liên kết chặt với nhau. Xem biến thể ngay sau đây mở rộng ý tưởng này khi điều kiện câu a) đổi thành nghiệm trái dấu thay vì phân biệt, và biến thể mở rộng xa hơn khi $\Delta$ là một hằng số chính phương.

Ranh giới

m=-1

(câu a) và cặp điểm

m=0{,}1

cùng đạt GTNN (câu b) trên cùng một đồ thị — hai phần của bài toán, một hình vẽ.Ranh giới $m=-1$ (câu a) và cặp điểm $m=0,1$ cùng đạt GTNN (câu b) trên cùng một đồ thị — hai phần của bài toán, một hình vẽ.

Ví dụ

Biến thể: điều kiện dấu nghiệm mở khóa GTLN của |x₁ - x₂|

1
Cho $x^2-2mx+m^2-m-2=0$ . a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm. b) Với $m$ nguyên thỏa mãn câu a) và $x_1x_2<0$ , tìm $m$ để $|x_1-x_2|$ lớn nhất.
Cho $x^2-2mx+m^2-m-2=0$. a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm. b) Với $m$ nguyên thỏa mãn câu a) và $x_1x_2<0$, tìm $m$ để $|x_1-x_2|$ lớn nhất.
2
Ta có $\Delta'=m^2-(m^2-m-2)=m+2$ . Theo điều kiện có nghiệm (không cần phân biệt), cần $\Delta'\ge0\iff m\ge-2$ . (1)
Ta có $\Delta'=m^2-(m^2-m-2)=m+2$. Theo điều kiện có nghiệm (không cần phân biệt), cần $\Delta'\ge0\iff m\ge-2$. (1)
3
Theo hệ thức Vi-ét, $x_1x_2=m^2-m-2=(m-2)(m+1)$ . Điều kiện hai nghiệm trái dấu là $x_1x_2<0\iff-1<m<2$ . (2) Kết hợp (1) và (2), với $m$ nguyên: $m\in\{0{,}1\}$ — miền câu a) và điều kiện trái dấu CÙNG thu hẹp tập $m$ , không dùng một mình điều kiện nào là đủ.
Theo hệ thức Vi-ét, $x_1x_2=m^2-m-2=(m-2)(m+1)$. Điều kiện hai nghiệm trái dấu là $x_1x_2<0\iff-1<m<2$. (2) Kết hợp (1) và (2), với $m$ nguyên: $m\in\{0,1\}$ — miền câu a) và điều kiện trái dấu CÙNG thu hẹp tập $m$, không dùng một mình điều kiện nào là đủ.
4
Theo hệ thức nghiệm của phương trình bậc hai, $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta=2\sqrt{m+2}$ — đồng biến theo $m$ . Với $m\in\{0{,}1\}$ : tại $m=0$ được $2\sqrt2$ , tại $m=1$ được $2\sqrt3>2\sqrt2$ . Vậy GTLN đạt tại $m=1$ .
Theo hệ thức nghiệm của phương trình bậc hai, $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta=2\sqrt{m+2}$ — đồng biến theo $m$. Với $m\in\{0,1\}$: tại $m=0$ được $2\sqrt2$, tại $m=1$ được $2\sqrt3>2\sqrt2$. Vậy GTLN đạt tại $m=1$.

Ví dụ

Biến thể mở rộng: khi Δ là hằng số — bài toán tưởng khó hóa dễ

1
Cho $x^2-(2m-1)x+m^2-m-6=0$ . a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ . b) Tìm $m$ nguyên để cả hai nghiệm đều nguyên. c) Chứng minh $x_1^2+x_2^2>2|x_1x_2|$ .
Cho $x^2-(2m-1)x+m^2-m-6=0$. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$. b) Tìm $m$ nguyên để cả hai nghiệm đều nguyên. c) Chứng minh $x_1^2+x_2^2>2|x_1x_2|$.
2
Ta có $\Delta=(2m-1)^2-4(m^2-m-6)=4m^2-4m+1-4m^2+4m+24=25$ — hằng số dương với MỌI $m$ , không phụ thuộc $m$ . Theo điều kiện có nghiệm, $\Delta=25>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Ta có $\Delta=(2m-1)^2-4(m^2-m-6)=4m^2-4m+1-4m^2+4m+24=25$ — hằng số dương với MỌI $m$, không phụ thuộc $m$. Theo điều kiện có nghiệm, $\Delta=25>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
3
Vì $\sqrt\Delta=5$ , theo công thức nghiệm: $x_{1{,}2}=\dfrac{(2m-1)\pm5}{2}$ , tức $x_1=m+2$ , $x_2=m-3$ . Vì hiệu $x_1-x_2=5$ là hằng số nguyên, hễ $m$ nguyên thì CẢ HAI nghiệm đều nguyên — không cần biện luận thêm gì, câu b) đúng với mọi $m$ nguyên (một số bài HSG có câu hỏi mà đáp số là “tất cả”, đừng cố tìm thêm điều kiện không tồn tại).
Vì $\sqrt\Delta=5$, theo công thức nghiệm: $x_{1,2}=\dfrac{(2m-1)\pm5}{2}$, tức $x_1=m+2$, $x_2=m-3$. Vì hiệu $x_1-x_2=5$ là hằng số nguyên, hễ $m$ nguyên thì CẢ HAI nghiệm đều nguyên — không cần biện luận thêm gì, câu b) đúng với mọi $m$ nguyên (một số bài HSG có câu hỏi mà đáp số là “tất cả”, đừng cố tìm thêm điều kiện không tồn tại).
4
Với $a=x_1,b=x_2$ bất kỳ, theo hằng đẳng thức $(|a|-|b|)^2\ge0$ ta có $a^2+b^2\ge2|ab|$ , dấu bằng khi $|a|=|b|$ . Ở đây $|m+2|=|m-3|$ chỉ xảy ra khi $m+2=-(m-3)$ (vì $m+2=m-3$ vô lý), tức $m=0{,}5$ — không nguyên. Vậy với mọi $m$ nguyên, dấu bằng không xảy ra, suy ra bất đẳng thức chặt $x_1^2+x_2^2>2|x_1x_2|$ .
Với $a=x_1,b=x_2$ bất kỳ, theo hằng đẳng thức $(|a|-|b|)^2\ge0$ ta có $a^2+b^2\ge2|ab|$, dấu bằng khi $|a|=|b|$. Ở đây $|m+2|=|m-3|$ chỉ xảy ra khi $m+2=-(m-3)$ (vì $m+2=m-3$ vô lý), tức $m=0{,}5$ — không nguyên. Vậy với mọi $m$ nguyên, dấu bằng không xảy ra, suy ra bất đẳng thức chặt $x_1^2+x_2^2>2|x_1x_2|$.

Bẫy thường gặp

(1) Tìm GTNN/GTLN của một hàm bậc hai theo $m$ trên tập SỐ NGUYÊN mà lại lấy tọa độ đỉnh làm đáp số — đỉnh có thể không nguyên, phải so sánh các số nguyên lân cận. (2) Giải câu (b) mà quên đối chiếu với miền $m$ đã tìm ở câu (a) — dẫn tới đáp số nằm ngoài miền hợp lệ. (3) Khi đáp số câu (b) là “mọi $m$ đều thỏa”, học sinh thường nghi ngờ và cố tìm thêm điều kiện — hãy tin vào phép biến đổi đại số nếu nó chặt chẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Một bài toán nhiều phần cần được đọc như MỘT chuỗi ràng buộc chồng lên nhau, không phải ba bài tách rời: (a) cho miền hợp lệ của $m$ , (b) tối ưu HOẶC lọc thêm điều kiện trong đúng miền đó, (c) dùng lại chính các nghiệm/tham số vừa tìm để chứng minh thêm. Khi tối ưu trên tập số nguyên, luôn so sánh hai số nguyên gần đỉnh parabol nhất nếu đỉnh không nguyên.

Một bài toán nhiều phần cần được đọc như MỘT chuỗi ràng buộc chồng lên nhau, không phải ba bài tách rời: (a) cho miền hợp lệ của $m$, (b) tối ưu HOẶC lọc thêm điều kiện trong đúng miền đó, (c) dùng lại chính các nghiệm/tham số vừa tìm để chứng minh thêm. Khi tối ưu trên tập số nguyên, luôn so sánh hai số nguyên gần đỉnh parabol nhất nếu đỉnh không nguyên.

Chương tiếp theo giữ nguyên tinh thần “một bước mở khóa bước sau” nhưng chuyển sang hình học: một tứ giác nội tiếp sẽ mở khóa một cặp góc bằng nhau, và cặp góc đó lại mở khóa một cặp tam giác đồng dạng hoặc một đường thẳng song song.