Bài học

Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra đúng dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ), tính đúng biệt thức $\Delta=b^2-4ac$ , dùng công thức nghiệm để giải một phương trình bậc hai bất kỳ, và biết ngay phương trình có bao nhiêu nghiệm chỉ bằng cách nhìn dấu của biệt thức, không cần giải hết.

Sau bài này, em nhận ra đúng dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$), tính đúng biệt thức $\Delta=b^2-4ac$, dùng công thức nghiệm để giải một phương trình bậc hai bất kỳ, và biết ngay phương trình có bao nhiêu nghiệm chỉ bằng cách nhìn dấu của biệt thức, không cần giải hết.

Kiến thức nền cần nhớ

Từ lớp 8, em đã quen phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ — luôn có đúng một nghiệm khi $a\ne0$ . Phương trình bậc hai khác hẳn ở chỗ ẩn x xuất hiện với số mũ 2, nên một phương trình có thể có hai nghiệm, một nghiệm, hoặc không nghiệm nào cả. Em cũng cần vững lại căn bậc hai số học $\sqrt a$ (đã học ở khoá Căn bậc hai và căn bậc ba) — công thức nghiệm hôm nay dùng đến nó ngay khi biệt thức không âm. Kỹ năng khai triển và rút gọn biểu thức đại số từ lớp 8 cũng cần thành thạo, vì suy ra công thức nghiệm đòi hỏi biến đổi phương trình về dạng một bình phương đủ. Nói cách khác, bài này không dạy một kỹ năng tách biệt — nó gom lại ba mảnh kiến thức em đã có (khái niệm phương trình, căn bậc hai, biến đổi đại số) thành một công cụ duy nhất giải được cả một họ phương trình mà trước đây em chưa có cách xử lý.

Từ lớp 8, em đã quen phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ — luôn có đúng một nghiệm khi $a\ne0$. Phương trình bậc hai khác hẳn ở chỗ ẩn x xuất hiện với số mũ 2, nên một phương trình có thể có hai nghiệm, một nghiệm, hoặc không nghiệm nào cả. Em cũng cần vững lại căn bậc hai số học $\sqrt a$ (đã học ở khoá Căn bậc hai và căn bậc ba) — công thức nghiệm hôm nay dùng đến nó ngay khi biệt thức không âm. Kỹ năng khai triển và rút gọn biểu thức đại số từ lớp 8 cũng cần thành thạo, vì suy ra công thức nghiệm đòi hỏi biến đổi phương trình về dạng một bình phương đủ. Nói cách khác, bài này không dạy một kỹ năng tách biệt — nó gom lại ba mảnh kiến thức em đã có (khái niệm phương trình, căn bậc hai, biến đổi đại số) thành một công cụ duy nhất giải được cả một họ phương trình mà trước đây em chưa có cách xử lý.

Khởi động

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3 m, diện tích bằng 40 m². Gọi x (m) là chiều rộng, em viết được $x(x+3)=40$ , tức $x^2+3x-40=0$ . Với phương trình bậc nhất, chuyển vế rồi chia là xong. Nhưng ở đây chuyển vế và chia không tách được x ra một mình — số mũ 2 cản đường. Cần một công cụ khác hẳn, và bài học hôm nay cho em công cụ đó.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3 m, diện tích bằng 40 m². Gọi x (m) là chiều rộng, em viết được $x(x+3)=40$, tức $x^2+3x-40=0$. Với phương trình bậc nhất, chuyển vế rồi chia là xong. Nhưng ở đây chuyển vế và chia không tách được x ra một mình — số mũ 2 cản đường. Cần một công cụ khác hẳn, và bài học hôm nay cho em công cụ đó.

Kiến thức trọng tâm

Phương trình bậc hai một ẩn x là phương trình có dạng $ax^2+bx+c=0$ , trong đó a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số, và $a\ne0$ — nếu a = 0, hạng tử x² biến mất, phương trình chỉ còn là bậc nhất, không còn thuộc dạng đang xét. Với mảnh vườn ở trên, a = 1, b = 3, c = −40.

Phương trình bậc hai một ẩn x là phương trình có dạng $ax^2+bx+c=0$, trong đó a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số, và $a\ne0$ — nếu a = 0, hạng tử x² biến mất, phương trình chỉ còn là bậc nhất, không còn thuộc dạng đang xét. Với mảnh vườn ở trên, a = 1, b = 3, c = −40.

Để giải phương trình dạng này, ta tính một đại lượng gọi là biệt thức, ký hiệu $\Delta$ (đọc là đenta): $\Delta=b^2-4ac$ . Dấu của $\Delta$ quyết định toàn bộ số nghiệm của phương trình. Nếu $\Delta>0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ , $x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ . Nếu $\Delta=0$ , phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$ . Còn nếu $\Delta<0$ , phương trình vô nghiệm — không một số thực nào thoả mãn.

Để giải phương trình dạng này, ta tính một đại lượng gọi là biệt thức, ký hiệu $\Delta$ (đọc là đenta): $\Delta=b^2-4ac$. Dấu của $\Delta$ quyết định toàn bộ số nghiệm của phương trình. Nếu $\Delta>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$, $x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$. Nếu $\Delta=0$, phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$. Còn nếu $\Delta<0$, phương trình vô nghiệm — không một số thực nào thoả mãn.

Vì sao công thức lại có dạng như vậy? Từ $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ), chia cả hai vế cho a rồi biến đổi vế trái thành một bình phương đủ, ta được $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ . Khi $\Delta\ge0$ , lấy căn bậc hai hai vế rồi chuyển vế sẽ ra đúng công thức nghiệm ở trên. Em không bắt buộc phải nhớ bước biến đổi này, nhưng hiểu được nguồn gốc giúp công thức không còn là một dãy ký hiệu học thuộc lòng, mà là kết quả tự nhiên của việc đưa phương trình về dạng bình phương — đúng ý tưởng "đưa về dạng đã biết" mà em đã quen từ các hằng đẳng thức lớp 8. Cách nhìn này cũng lý giải luôn vì sao $\Delta<0$ dẫn tới vô nghiệm: vế trái $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ là một bình phương nên luôn không âm với mọi x thực, trong khi vế phải lại là một số âm khi $\Delta<0$ — hai vế không thể nào bằng nhau, nên không tồn tại x thoả mãn.

Vì sao công thức lại có dạng như vậy? Từ $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$), chia cả hai vế cho a rồi biến đổi vế trái thành một bình phương đủ, ta được $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$. Khi $\Delta\ge0$, lấy căn bậc hai hai vế rồi chuyển vế sẽ ra đúng công thức nghiệm ở trên. Em không bắt buộc phải nhớ bước biến đổi này, nhưng hiểu được nguồn gốc giúp công thức không còn là một dãy ký hiệu học thuộc lòng, mà là kết quả tự nhiên của việc đưa phương trình về dạng bình phương — đúng ý tưởng "đưa về dạng đã biết" mà em đã quen từ các hằng đẳng thức lớp 8. Cách nhìn này cũng lý giải luôn vì sao $\Delta<0$ dẫn tới vô nghiệm: vế trái $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ là một bình phương nên luôn không âm với mọi x thực, trong khi vế phải lại là một số âm khi $\Delta<0$ — hai vế không thể nào bằng nhau, nên không tồn tại x thoả mãn.

Điều đặc biệt cần nhớ: chỉ khi $\Delta\ge0$ mới tồn tại $\sqrt\Delta$ trong tập số thực — đúng như căn bậc hai số học chỉ xác định với số không âm. Khi $\Delta<0$ , không số thực nào bình phương lên ra một số âm, nên phương trình chắc chắn vô nghiệm. Cách nhìn nhanh này giúp em trả lời ngay câu hỏi "phương trình có nghiệm hay không" mà chưa cần tính hết công thức.

Điều đặc biệt cần nhớ: chỉ khi $\Delta\ge0$ mới tồn tại $\sqrt\Delta$ trong tập số thực — đúng như căn bậc hai số học chỉ xác định với số không âm. Khi $\Delta<0$, không số thực nào bình phương lên ra một số âm, nên phương trình chắc chắn vô nghiệm. Cách nhìn nhanh này giúp em trả lời ngay câu hỏi "phương trình có nghiệm hay không" mà chưa cần tính hết công thức.

Số nghiệm của

ax^2+bx+c=0

phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của

\Delta

.Số nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của $\Delta$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
Giải phương trình $2x^2-5x+2=0$ .
Giải phương trình $2x^2-5x+2=0$.
2
$a=2,\ b=-5,\ c=2$ . $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$ .
$a=2,\ b=-5,\ c=2$. $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$.
3
$\Delta=9>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt; $\sqrt\Delta=\sqrt9=3$ .
$\Delta=9>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt; $\sqrt\Delta=\sqrt9=3$.
4
$x_1=\dfrac{5+3}{4}=2$ , $x_2=\dfrac{5-3}{4}=0,5$ .
$x_1=\dfrac{5+3}{4}=2$, $x_2=\dfrac{5-3}{4}=0,5$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=2$ và $x_2=0,5$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=2$ và $x_2=0,5$.

Ví dụ

Giải phương trình có nghiệm kép

1
Giải phương trình $x^2-4x+4=0$ .
Giải phương trình $x^2-4x+4=0$.
2
$a=1,\ b=-4,\ c=4$ . $\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$ .
$a=1,\ b=-4,\ c=4$. $\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$.
3
$\Delta=0$ nên phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$ .
$\Delta=0$ nên phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$.
4
Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=2$ .
Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=2$.

Ví dụ

Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
Tìm m để phương trình $x^2-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình $x^2-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt.
2
$a=1,\ b=-2,\ c=m$ . $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$ .
$a=1,\ b=-2,\ c=m$. $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$.
3
Cần $\Delta>0$ : $4-4m>0$ . (1)
Cần $\Delta>0$: $4-4m>0$. (1)
4
$4-4m>0 \iff 4m<4 \iff m<1$ .
$4-4m>0 \iff 4m<4 \iff m<1$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m<1$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m<1$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất khi tính Δ là quên nhân đôi dấu trừ: với phương trình có c âm, nhiều bạn viết nhầm $\Delta=b^2+4ac$ thay vì $\Delta=b^2-4ac$ . Với mảnh vườn ở đầu bài, Δ đúng phải là $3^2-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169$ , chứ không phải $9-160$ . Một lỗi khác: quên kiểm tra $a\ne0$ trước khi áp dụng công thức — nếu hệ số của x² triệt tiêu sau khi rút gọn, phương trình không còn là bậc hai và công thức nghiệm Δ hoàn toàn không dùng được nữa.

Lỗi hay gặp nhất khi tính Δ là quên nhân đôi dấu trừ: với phương trình có c âm, nhiều bạn viết nhầm $\Delta=b^2+4ac$ thay vì $\Delta=b^2-4ac$. Với mảnh vườn ở đầu bài, Δ đúng phải là $3^2-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169$, chứ không phải $9-160$. Một lỗi khác: quên kiểm tra $a\ne0$ trước khi áp dụng công thức — nếu hệ số của x² triệt tiêu sau khi rút gọn, phương trình không còn là bậc hai và công thức nghiệm Δ hoàn toàn không dùng được nữa.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ): $\Delta=b^2-4ac$ . $\Delta>0$ → hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; $\Delta=0$ → nghiệm kép $x=\dfrac{-b}{2a}$ ; $\Delta<0$ → vô nghiệm. Luôn xác định đúng a, b, c (kể cả dấu) trước khi tính Δ, và luôn kiểm tra a ≠ 0 trước khi áp dụng công thức.

Với $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$): $\Delta=b^2-4ac$. $\Delta>0$ → hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$; $\Delta=0$ → nghiệm kép $x=\dfrac{-b}{2a}$; $\Delta<0$ → vô nghiệm. Luôn xác định đúng a, b, c (kể cả dấu) trước khi tính Δ, và luôn kiểm tra a ≠ 0 trước khi áp dụng công thức.

Công thức nghiệm vừa học dùng được cho mọi phương trình bậc hai, nhưng khi b là số chẵn, phép tính còn rút gọn được hơn nữa. Bài sau giới thiệu công thức nghiệm thu gọn — công cụ giúp em tính nhanh hơn đúng ở những trường hợp đó.