Bài học

Công thức nghiệm thu gọn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra khi nào nên dùng công thức nghiệm thu gọn (hệ số b là số chẵn, viết được $b=2b'$ ), tính đúng $\Delta'=b'^2-ac$ , và giải phương trình bậc hai nhanh hơn nhờ công thức đó.

Sau bài này, em nhận ra khi nào nên dùng công thức nghiệm thu gọn (hệ số b là số chẵn, viết được $b=2b'$), tính đúng $\Delta'=b'^2-ac$, và giải phương trình bậc hai nhanh hơn nhờ công thức đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công thức nghiệm tổng quát dùng được cho MỌI phương trình bậc hai — không có gì sai khi luôn dùng nó. Nhưng khi hệ số b là một số chẵn, tính $\Delta=b^2-4ac$ thường ra những con số lớn hơn mức cần thiết, dễ tính nhầm. Em cần nhớ vững công thức Δ vừa học, cách tính căn bậc hai số học, và nhận ra nhanh một số có chia hết cho 2 hay không — kỹ năng chia hết đã luyện từ tiểu học, giờ dùng theo một cách mới.

Khởi động

Xét phương trình $2x^2+8x+6=0$ . Tính trực tiếp: $\Delta=8^2-4\cdot2\cdot6=64-48=16$ , $\sqrt\Delta=4$ , hai nghiệm là $\dfrac{-8\pm4}{4}$ , tức −1 và −3. Bây giờ thử cách khác: viết $b=8=2\cdot4$ , rồi tính $b'^2-ac=4^2-2\cdot6=16-12=4$ , $\sqrt4=2$ , hai nghiệm là $\dfrac{-4\pm2}{2}$ , vẫn ra −1 và −3. Cách thứ hai làm việc với những số nhỏ hơn hẳn — 4 thay vì 16, 2 thay vì 4. Đó chính là công thức nghiệm thu gọn.

Xét phương trình $2x^2+8x+6=0$. Tính trực tiếp: $\Delta=8^2-4\cdot2\cdot6=64-48=16$, $\sqrt\Delta=4$, hai nghiệm là $\dfrac{-8\pm4}{4}$, tức −1 và −3. Bây giờ thử cách khác: viết $b=8=2\cdot4$, rồi tính $b'^2-ac=4^2-2\cdot6=16-12=4$, $\sqrt4=2$, hai nghiệm là $\dfrac{-4\pm2}{2}$, vẫn ra −1 và −3. Cách thứ hai làm việc với những số nhỏ hơn hẳn — 4 thay vì 16, 2 thay vì 4. Đó chính là công thức nghiệm thu gọn.

Kiến thức trọng tâm

Khi hệ số b của phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ ) là số chẵn, ta viết $b=2b'$ (tức $b'=b/2$ ). Thay vào $\Delta=b^2-4ac=(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)$ . Đặt $\Delta'=b'^2-ac$ , ta có $\Delta=4\Delta'$ — hai biệt thức luôn cùng dấu vì Δ chỉ gấp 4 lần Δ′ (một số dương). Công thức nghiệm thu gọn viết lại theo Δ′: nếu $\Delta'>0$ , hai nghiệm phân biệt là $x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$ , $x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$ ; nếu $\Delta'=0$ , nghiệm kép là $x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}$ ; nếu $\Delta'<0$ , phương trình vô nghiệm.

Khi hệ số b của phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne0$) là số chẵn, ta viết $b=2b'$ (tức $b'=b/2$). Thay vào $\Delta=b^2-4ac=(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)$. Đặt $\Delta'=b'^2-ac$, ta có $\Delta=4\Delta'$ — hai biệt thức luôn cùng dấu vì Δ chỉ gấp 4 lần Δ′ (một số dương). Công thức nghiệm thu gọn viết lại theo Δ′: nếu $\Delta'>0$, hai nghiệm phân biệt là $x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$, $x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$; nếu $\Delta'=0$, nghiệm kép là $x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}$; nếu $\Delta'<0$, phương trình vô nghiệm.

Vì Δ và Δ′ luôn cùng dấu, việc biện luận số nghiệm không đổi — chỉ các con số cần tính trở nên nhỏ hơn. Trường hợp đặc biệt hay gặp nhất là b′ = b/2 khi b là số chẵn dễ chia đôi, như 8, −6, 10. Còn khi b lẻ hoặc chứa căn, chia đôi ra một phân số không giúp tính toán gọn hơn — lúc đó dùng thẳng công thức Δ tổng quát vẫn là lựa chọn hợp lý hơn.

Cần phân biệt rõ b′ với b: b′ chỉ là một nửa của b, không phải một hệ số độc lập của phương trình — hệ số a và c vẫn giữ nguyên, không đổi theo cách tính Δ hay Δ′. Một lỗi hay gặp là quên nhân đôi khi tính lại b từ b′, hoặc nhầm mẫu số của công thức nghiệm thu gọn thành 2a — công thức thu gọn có mẫu số là a (không nhân 2), khác với công thức tổng quát có mẫu số 2a.

Công thức nghiệm thu gọn không phải một công cụ hoàn toàn mới — nó chỉ là công thức Δ được viết lại gọn hơn cho đúng trường hợp b chẵn. Vì vậy, nếu đến giữa bài làm em quên mất công thức thu gọn, vẫn có thể quay lại công thức Δ tổng quát của bài trước và ra đúng kết quả — chỉ mất thêm vài giây tính toán với những con số lớn hơn một chút. Đây khác hẳn việc học một mảng kiến thức hoàn toàn mới: công thức thu gọn là một lối tắt an toàn, không phải con đường bắt buộc phải nhớ bằng mọi giá.

Trong đề thi tuyển sinh 10, hệ số b của phương trình bậc hai nhiều khi được chọn cố ý là số chẵn, để học sinh có cơ hội dùng công thức thu gọn tiết kiệm thời gian làm bài. Tập thói quen liếc qua hệ số b ngay dòng đầu tiên — trước khi đặt bút tính Δ — giúp em chọn đúng công thức chỉ trong vài giây, thay vì mất công tính với những con số Δ lớn không cần thiết rồi mới nhận ra lẽ ra có thể làm gọn hơn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn

1
Giải phương trình $5x^2+8x+3=0$ .
Giải phương trình $5x^2+8x+3=0$.
2
$a=5,\ b=8\Rightarrow b'=4,\ c=3$ . $\Delta'=b'^2-ac=4^2-5\cdot3=16-15=1$ .
$a=5,\ b=8\Rightarrow b'=4,\ c=3$. $\Delta'=b'^2-ac=4^2-5\cdot3=16-15=1$.
3
$\Delta'=1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt; $\sqrt{\Delta'}=1$ .
$\Delta'=1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt; $\sqrt{\Delta'}=1$.
4
$x_1=\dfrac{-4+1}{5}=-0,6$ , $x_2=\dfrac{-4-1}{5}=-1$ .
$x_1=\dfrac{-4+1}{5}=-0,6$, $x_2=\dfrac{-4-1}{5}=-1$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-0,6$ và $x_2=-1$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-0,6$ và $x_2=-1$.

Ví dụ

Giải phương trình với hệ số a = 1

1
Giải phương trình $x^2-6x+5=0$ .
Giải phương trình $x^2-6x+5=0$.
2
$a=1,\ b=-6\Rightarrow b'=-3,\ c=5$ . $\Delta'=(-3)^2-1\cdot5=9-5=4$ .
$a=1,\ b=-6\Rightarrow b'=-3,\ c=5$. $\Delta'=(-3)^2-1\cdot5=9-5=4$.
3
$\Delta'=4>0$ , $\sqrt{\Delta'}=2$ .
$\Delta'=4>0$, $\sqrt{\Delta'}=2$.
4
$x_1=\dfrac{3+2}{1}=5$ , $x_2=\dfrac{3-2}{1}=1$ .
$x_1=\dfrac{3+2}{1}=5$, $x_2=\dfrac{3-2}{1}=1$.
5
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=5$ và $x_2=1$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=5$ và $x_2=1$.

Ví dụ

Tìm điều kiện tham số bằng Δ′

1
Tìm m để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ có nghiệm.
Tìm m để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ có nghiệm.
2
$a=1,\ b=-2(m+1)\Rightarrow b'=-(m+1),\ c=m^2+2$ . $\Delta'=(m+1)^2-(m^2+2)=m^2+2m+1-m^2-2=2m-1$ .
$a=1,\ b=-2(m+1)\Rightarrow b'=-(m+1),\ c=m^2+2$. $\Delta'=(m+1)^2-(m^2+2)=m^2+2m+1-m^2-2=2m-1$.
3
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'\ge0$ : $2m-1\ge0$ . (1)
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'\ge0$: $2m-1\ge0$. (1)
4
$2m-1\ge0 \iff m\ge0,5$ .
$2m-1\ge0 \iff m\ge0,5$.
5
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge0,5$ .
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge0,5$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là quên mẫu số của công thức thu gọn là a chứ không phải 2a — nhiều bạn viết $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{2a}$ , thừa hẳn một lần chia 2 so với công thức đúng. Lỗi thứ hai: tính $b'=b/2$ nhưng quên đổi dấu khi b âm — với $b=-6$ phải lấy $b'=-3$ chứ không phải 3; sai dấu b′ kéo theo sai toàn bộ nghiệm sau đó.

Lỗi phổ biến nhất là quên mẫu số của công thức thu gọn là a chứ không phải 2a — nhiều bạn viết $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{2a}$, thừa hẳn một lần chia 2 so với công thức đúng. Lỗi thứ hai: tính $b'=b/2$ nhưng quên đổi dấu khi b âm — với $b=-6$ phải lấy $b'=-3$ chứ không phải 3; sai dấu b′ kéo theo sai toàn bộ nghiệm sau đó.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi $b=2b'$ : $\Delta'=b'^2-ac$ , cùng dấu với Δ. $\Delta'>0$ → hai nghiệm $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$ ; $\Delta'=0$ → nghiệm kép $x=\dfrac{-b'}{a}$ ; $\Delta'<0$ → vô nghiệm. Chỉ dùng công thức này khi b chia hết cho 2 thật gọn — nếu không, quay lại công thức Δ tổng quát.

Khi $b=2b'$: $\Delta'=b'^2-ac$, cùng dấu với Δ. $\Delta'>0$ → hai nghiệm $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$; $\Delta'=0$ → nghiệm kép $x=\dfrac{-b'}{a}$; $\Delta'<0$ → vô nghiệm. Chỉ dùng công thức này khi b chia hết cho 2 thật gọn — nếu không, quay lại công thức Δ tổng quát.

Hai bài vừa qua cho em công cụ giải một phương trình bậc hai cụ thể. Nhưng rất nhiều bài toán không hỏi nghiệm là số bao nhiêu, mà hỏi tổng và tích của hai nghiệm — không cần giải phương trình ra số cụ thể. Hệ thức Vi-ét ở chương sau chính là công cụ cho câu hỏi đó.