Bài học

Đọc và vẽ biểu đồ tần số, tần số tương đối

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ được biểu đồ cột (biểu đồ tần số) từ một bảng tần số, đọc được xu hướng phân bố qua hình dạng biểu đồ, hiểu ý nghĩa của biểu đồ tần số tương đối dạng đoạn thẳng, và biết vì sao phải dùng tần số tương đối — chứ không phải tần số — khi so sánh hai nhóm có tổng số khác nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã lập được bảng tần số và bảng tần số tương đối của điểm kiểm tra 20 học sinh tổ 1. Bài này dùng đúng bảng đó, không lập lại từ đầu — nếu em chưa nhớ các con số, hãy giở lại bảng ở bài 1 trước khi đọc tiếp. Em cũng cần nhớ cách đọc trục ngang, trục đứng trên một hệ trục tọa độ đơn giản, kỹ năng đã có từ môn Toán các lớp dưới.

Khởi động

Cô giáo tổ 1 đã có bảng tần số điểm kiểm tra. Nhưng khi báo cáo trước cả trường, cô không thể đọc từng dòng số liệu — cô cần một hình ảnh mà phụ huynh và giáo viên khác nhìn vào là hiểu ngay lớp học phân bố ra sao. Một bảng số và một biểu đồ, cùng chứa một thông tin, nhưng cái nào "nói chuyện" nhanh hơn?

Kiến thức trọng tâm

Biểu đồ tần số dạng cột biểu diễn mỗi giá trị của dấu hiệu bằng một cột: trục ngang ghi các giá trị, trục đứng ghi tần số (hoặc tần số tương đối) tương ứng, chiều cao mỗi cột tỉ lệ đúng với con số đó. Nhìn vào biểu đồ, cột cao nhất cho biết ngay giá trị có tần số lớn nhất — giá trị này gọi là mốt của dấu hiệu.

Khi dấu hiệu nhận các giá trị số có thứ tự tự nhiên (như điểm số 5, 6, 7, ..., 10), người ta còn nối đỉnh các cột lại bằng các đoạn thẳng, tạo thành biểu đồ tần số tương đối dạng đoạn thẳng. Cách vẽ này giúp nhìn ra xu hướng tăng — giảm rõ hơn biểu đồ cột: đoạn nối đi lên nghĩa là tần số tương đối tăng khi giá trị tăng, đoạn nối đi xuống nghĩa là tần số tương đối giảm.

Khi dấu hiệu nhận các giá trị số có thứ tự tự nhiên (như điểm số 5, 6, 7, ..., 10), người ta còn nối đỉnh các cột lại bằng các đoạn thẳng, tạo thành **biểu đồ tần số tương đối dạng đoạn thẳng**. Cách vẽ này giúp nhìn ra xu hướng tăng — giảm rõ hơn biểu đồ cột: đoạn nối đi lên nghĩa là tần số tương đối tăng khi giá trị tăng, đoạn nối đi xuống nghĩa là tần số tương đối giảm.

Một điểm dễ nhầm: khi so sánh tỉ lệ giữa hai nhóm có tổng số khác nhau — chẳng hạn hai lớp có sĩ số không bằng nhau — không thể so sánh trực tiếp bằng tần số (số học sinh), vì nhóm đông hơn gần như luôn có tần số cao hơn dù tỉ lệ thực tế có thể thấp hơn. Phải so sánh bằng tần số tương đối, vì đại lượng này đã quy về cùng một thang đo là phần trăm, không còn phụ thuộc tổng số của mỗi nhóm.

Cột 7 điểm cao nhất (tần số 6), hai bên thấp dần — đây chính là mốt của dấu hiệu, giá trị điểm phổ biến nhất của tổ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đọc biểu đồ tần số và tìm mốt của dấu hiệu

1
Từ bảng tần số điểm kiểm tra 20 học sinh tổ 1 (bài trước), vẽ biểu đồ cột và nhận xét về phân bố điểm số của tổ.
2
Trục ngang ghi các giá trị điểm 5, 6, 7, 8, 9, 10; trục đứng ghi tần số tương ứng 1, 4, 6, 5, 3, 1. Mỗi giá trị được vẽ thành một cột có chiều cao đúng bằng tần số của nó (xem sơ đồ minh hoạ).
3
Cột cao nhất ứng với 7 điểm (tần số 6), nên mốt của dấu hiệu là 7 điểm.
4
Vậy biểu đồ có dạng hình chuông lệch nhẹ: tần số tăng dần từ 5 điểm lên 7 điểm rồi giảm dần đến 10 điểm, phần lớn học sinh của tổ đạt 7–8 điểm, rất ít bạn đạt điểm quá thấp hoặc quá cao.

Ví dụ

Vì sao phải so sánh bằng tần số tương đối

1
Lớp 9A có 40 học sinh, trong đó 16 bạn đạt loại Giỏi. Lớp 9B có 30 học sinh, trong đó 15 bạn đạt loại Giỏi. Bạn Nam nói lớp 9A học tốt hơn vì có nhiều học sinh Giỏi hơn (16 so với 15). Nhận xét của Nam đúng hay sai? Vì sao?
2
Vì hai lớp có sĩ số khác nhau, ta tính tần số tương đối để so sánh công bằng: lớp 9A có $f_{9A}=\dfrac{16}{40}\times100\%=40\%$ ; lớp 9B có $f_{9B}=\dfrac{15}{30}\times100\%=50\%$ .
Vì hai lớp có sĩ số khác nhau, ta tính tần số tương đối để so sánh công bằng: lớp 9A có $f_{9A}=\dfrac{16}{40}\times100\%=40\%$; lớp 9B có $f_{9B}=\dfrac{15}{30}\times100\%=50\%$.
3
Ta có $50\%>40\%$ , tức lớp 9B có tỉ lệ học sinh Giỏi cao hơn lớp 9A, dù số lượng tuyệt đối (15 bạn) lại ít hơn 9A (16 bạn).
Ta có $50\%>40\%$, tức lớp 9B có tỉ lệ học sinh Giỏi cao hơn lớp 9A, dù số lượng tuyệt đối (15 bạn) lại ít hơn 9A (16 bạn).
4
Vậy nhận xét của Nam là sai. So sánh bằng tần số (16 so với 15) gây hiểu nhầm vì hai lớp không cùng sĩ số; phải so sánh bằng tần số tương đối, và theo đó lớp 9B mới thực sự có tỉ lệ học sinh Giỏi cao hơn.

Cột lớp 9B (50%) cao hơn cột lớp 9A (40%), dù lớp 9B có ít học sinh Giỏi hơn về số lượng tuyệt đối (15 so với 16).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhìn biểu đồ thấy cột của nhóm A cao hơn cột của nhóm B liền kết luận nhóm A "tốt hơn" hoặc "đông hơn về tỉ lệ", mà quên kiểm tra xem hai biểu đồ đang vẽ bằng tần số hay tần số tương đối, và hai nhóm có cùng tổng số hay không. So sánh chỉ đáng tin khi cả hai cột cùng đơn vị đo (cùng là %) và cùng phản ánh đúng câu hỏi đề bài đặt ra.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Biểu đồ cột biến bảng tần số thành hình ảnh: cột cao nhất là mốt của dấu hiệu. Biểu đồ đoạn thẳng thêm vào đó xu hướng tăng — giảm giữa các giá trị liên tiếp. Khi so sánh hai nhóm có tổng số khác nhau, luôn dùng tần số tương đối, không dùng tần số thô.

Đến đây em đã đọc và vẽ thành thạo biểu đồ của một dấu hiệu thống kê. Nhưng thống kê chỉ mô tả những gì đã xảy ra. Chương tiếp theo trả lời một câu hỏi khác hẳn: nếu chưa thử, làm sao tính trước khả năng một điều gì đó sẽ xảy ra? Đó chính là xác suất.