Bài học

Ôn tập tổng hợp: bảng, biểu đồ và xác suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một bài toán tổng hợp thống kê — xác suất trong một đề duy nhất: từ số liệu thô, lập bảng tần số tương đối, đọc biểu đồ tìm mốt, rồi tính xác suất của một biến cố dựa trên chính bảng số liệu đó — đúng cấu trúc nhiều phần (a, b, c) thường gặp ở câu thống kê — xác suất của đề tuyển sinh vào lớp 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kiến thức mới, mà ghép lại bốn kỹ năng của bốn chương trước: lập bảng tần số tương đối (chương 1), đọc biểu đồ và tìm mốt (chương 2), tính xác suất theo mô hình đồng khả năng (chương 3), và so sánh tỉ lệ giữa các nhóm khác cỡ mẫu (chương 2 và 4). Nếu một bước nào dưới đây khiến em lúng túng, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng chương tương ứng để ôn trước khi đọc tiếp.

Khởi động

Một câu hỏi 5 điểm trong đề tuyển sinh vào lớp 10 hiếm khi chỉ hỏi "tính xác suất" một cách trơ trọi. Đề thường cho một bảng số liệu thật — ví dụ thời gian tự học ở nhà của một lớp — rồi hỏi liên tiếp nhiều câu nhỏ: lập bảng, tìm giá trị phổ biến nhất, rồi tính xác suất chọn ngẫu nhiên một bạn thỏa điều kiện nào đó. Làm sao để không bị rối khi một câu hỏi gộp nhiều kỹ năng như vậy?

Kiến thức trọng tâm

Cách xử lý một câu hỏi tổng hợp không có gì bí ẩn: tách nó thành đúng các bước nhỏ mà em đã luyện riêng lẻ ở từng bài trước, làm lần lượt từng bước, và luôn dùng lại kết quả của bước trước cho bước sau thay vì tính lại từ đầu. Phần khó nhất không phải là tính toán — các phép tính đều đơn giản — mà là đọc đúng đề để biết bước nào cần bảng tần số, bước nào cần biểu đồ, bước nào mới thực sự hỏi xác suất.

Một mẹo đọc đề hữu ích: nếu câu hỏi có chữ "chọn ngẫu nhiên", đó chắc chắn là câu hỏi xác suất, và không gian mẫu chính là toàn bộ nhóm đối tượng đang xét trong bảng số liệu. Nếu câu hỏi có chữ "tỉ lệ phần trăm" hoặc "so sánh hai nhóm", nhiều khả năng đó là câu hỏi về tần số tương đối, không phải xác suất, dù cả hai đều tính bằng phép chia.

Cột 2 giờ cao nhất (8 học sinh) — đây là mốt của dấu hiệu, thời lượng tự học phổ biến nhất của lớp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng tần số tương đối và tìm mốt

1
Khảo sát thời gian tự học ở nhà (giờ/ngày) của 20 học sinh lớp 9A: có 2 bạn tự học 1 giờ, 8 bạn tự học 2 giờ, 7 bạn tự học 3 giờ, 3 bạn tự học 4 giờ. a) Lập bảng tần số tương đối. b) Tìm mốt của dấu hiệu.
2
Cỡ mẫu $n=2+8+7+3=20$ . Áp dụng $f_i=\dfrac{n_i}{n}\times100\%$ : 1 giờ có $\dfrac{2}{20}\times100\%=10\%$ ; 2 giờ có $\dfrac{8}{20}\times100\%=40\%$ ; 3 giờ có $\dfrac{7}{20}\times100\%=35\%$ ; 4 giờ có $\dfrac{3}{20}\times100\%=15\%$ .
Cỡ mẫu $n=2+8+7+3=20$. Áp dụng $f_i=\dfrac{n_i}{n}\times100\%$: 1 giờ có $\dfrac{2}{20}\times100\%=10\%$; 2 giờ có $\dfrac{8}{20}\times100\%=40\%$; 3 giờ có $\dfrac{7}{20}\times100\%=35\%$; 4 giờ có $\dfrac{3}{20}\times100\%=15\%$.
3
Cộng bốn tần số tương đối: $10\%+40\%+35\%+15\%=100\%$ (TMĐK).
Cộng bốn tần số tương đối: $10\%+40\%+35\%+15\%=100\%$ (TMĐK).
4
Giá trị 2 giờ có tần số 8, lớn nhất trong bảng, nên mốt của dấu hiệu là 2 giờ.
5
Vậy bảng tần số tương đối là 10%, 40%, 35%, 15% theo thứ tự 1, 2, 3, 4 giờ, và mốt của dấu hiệu là 2 giờ.

Ví dụ

Tính xác suất từ chính bảng số liệu vừa lập

1
Từ bảng ở ví dụ trên, chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp 9A. Tính xác suất chọn được học sinh tự học từ 3 giờ trở lên.
2
Chọn ngẫu nhiên 1 trong 20 học sinh, mỗi bạn đồng khả năng được chọn, nên $\Omega$ có 20 kết quả. Biến cố C: "học sinh tự học từ 3 giờ trở lên" gồm nhóm 3 giờ (7 bạn) và nhóm 4 giờ (3 bạn), tức $7+3=10$ kết quả thuận lợi.
Chọn ngẫu nhiên 1 trong 20 học sinh, mỗi bạn đồng khả năng được chọn, nên $\Omega$ có 20 kết quả. Biến cố C: "học sinh tự học từ 3 giờ trở lên" gồm nhóm 3 giờ (7 bạn) và nhóm 4 giờ (3 bạn), tức $7+3=10$ kết quả thuận lợi.
3
$P(C)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ .
$P(C)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.
4
Vậy xác suất chọn được học sinh tự học từ 3 giờ trở lên là $0,5$ , tức 50%.
Vậy xác suất chọn được học sinh tự học từ 3 giờ trở lên là $0,5$, tức 50%.

Ví dụ

So sánh tỉ lệ giữa hai lớp có cỡ mẫu khác nhau

1
Lớp 9B có 25 học sinh, khảo sát tương tự cho thấy 15 bạn tự học từ 3 giờ trở lên. So với lớp 9A ở ví dụ trên (20 học sinh, 10 bạn tự học từ 3 giờ trở lên), lớp nào có tỉ lệ học sinh tự học từ 3 giờ trở lên cao hơn?
2
Vì hai lớp có cỡ mẫu khác nhau (20 và 25), phải so sánh bằng tần số tương đối: lớp 9A có $\dfrac{10}{20}\times100\%=50\%$ ; lớp 9B có $\dfrac{15}{25}\times100\%=60\%$ .
Vì hai lớp có cỡ mẫu khác nhau (20 và 25), phải so sánh bằng tần số tương đối: lớp 9A có $\dfrac{10}{20}\times100\%=50\%$; lớp 9B có $\dfrac{15}{25}\times100\%=60\%$.
3
Ta có $60\%>50\%$ , nên lớp 9B có tỉ lệ học sinh tự học từ 3 giờ trở lên cao hơn lớp 9A.
Ta có $60\%>50\%$, nên lớp 9B có tỉ lệ học sinh tự học từ 3 giờ trở lên cao hơn lớp 9A.
4
Vậy lớp 9B có tỉ lệ học sinh tự học từ 3 giờ trở lên cao hơn, dù số lượng tuyệt đối (15 bạn) lớn hơn 9A (10 bạn) một phần cũng vì lớp 9B đông hơn — chính vì vậy phải so sánh bằng tần số tương đối chứ không phải tần số.

Mỗi bước dùng lại kết quả của bước trước, không tính lại từ đầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi một câu hỏi tổng hợp có nhiều phần a, b, c, nhiều bạn tính sai vì dùng nhầm cỡ mẫu — ví dụ ở câu tính xác suất (phần sau) lại lấy tổng số bằng đúng một tần số của phần trước, thay vì lấy lại toàn bộ cỡ mẫu n ban đầu. Trước khi tính $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ , luôn xác định lại rõ ràng "có thể" ở đây là toàn bộ nhóm nào — thường chính là n đã dùng để lập bảng tần số ở phần đầu bài.

Khi một câu hỏi tổng hợp có nhiều phần a, b, c, nhiều bạn tính sai vì dùng nhầm cỡ mẫu — ví dụ ở câu tính xác suất (phần sau) lại lấy tổng số bằng đúng một tần số của phần trước, thay vì lấy lại toàn bộ cỡ mẫu n ban đầu. Trước khi tính $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$, luôn xác định lại rõ ràng "có thể" ở đây là toàn bộ nhóm nào — thường chính là n đã dùng để lập bảng tần số ở phần đầu bài.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một câu hỏi tổng hợp chỉ là bốn kỹ năng quen thuộc ghép lại theo thứ tự: lập bảng, đọc biểu đồ, tính xác suất, so sánh. Làm đúng thứ tự, dùng lại kết quả bước trước, và luôn xác định rõ "có thể" ở mẫu số xác suất là nhóm nào trước khi chia.

Em đã luyện đúng một câu hỏi tổng hợp hoàn chỉnh. Bài cuối của khóa sẽ đưa em vào một đề mini thực sự — vài câu hỏi liên tiếp theo đúng cấu trúc của một đề tuyển sinh vào lớp 10, để em tự chấm và tự đánh giá mức độ sẵn sàng của mình.