Bài học

Gia tốc hướng tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải thích được vì sao một vật chuyển động tròn đều — dù tốc độ không đổi — vẫn có gia tốc, và tính đúng độ lớn gia tốc hướng tâm bằng hai công thức tương đương $a_{ht}=v^2/r$ và $a_{ht}=\omega^2 r$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước em đã tính tốc độ góc $\omega$ , chu kì $T$ , tần số $f$ và tốc độ dài $v=\omega r$ của chuyển động tròn đều (same-grade bridge). Bài này quay lại khái niệm gia tốc — đại lượng đo sự thay đổi của vận tốc theo thời gian — đã học ở các chương chuyển động thẳng trước đó trong chương trình Vật lí 10 (same-grade bridge), và áp dụng cho chuyển động tròn.

Hai bài trước em đã tính tốc độ góc $\omega$, chu kì $T$, tần số $f$ và tốc độ dài $v=\omega r$ của chuyển động tròn đều (same-grade bridge). Bài này quay lại khái niệm gia tốc — đại lượng đo sự thay đổi của vận tốc theo thời gian — đã học ở các chương chuyển động thẳng trước đó trong chương trình Vật lí 10 (same-grade bridge), và áp dụng cho chuyển động tròn.

Khởi động

Một vật chuyển động tròn đều có tốc độ không đổi suốt quá trình chuyển động. Vậy vật đó có gia tốc hay không? Nhiều bạn sẽ trả lời ngay 'không', vì quen với ý 'gia tốc chỉ xuất hiện khi tốc độ thay đổi'. Câu trả lời đúng có thể khiến em bất ngờ.

Kiến thức trọng tâm

Gia tốc này được gọi là gia tốc hướng tâm (kí hiệu $a_{ht}$ ), vì nó luôn có phương vuông góc với vận tốc tức thời và hướng vào đúng tâm $O$ của đường tròn quỹ đạo, tại mọi thời điểm. Độ lớn của gia tốc hướng tâm được tính bằng:

$a_{ht} = \dfrac{v^2}{r}$

Thay $v = \omega r$ vào công thức trên, ta có một cách viết tương đương chỉ dùng tốc độ góc:

$a_{ht} = \omega^2 r$

Hai công thức này luôn cho cùng một kết quả với cùng một vật — dùng công thức nào tiện hơn tùy vào đề bài cho $v$ hay cho $\omega$ . Đơn vị của $a_{ht}$ là m/s², giống mọi loại gia tốc khác.

Gia tốc là đại lượng vectơ đo sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian — thay đổi ở đây có thể là thay đổi độ lớn, thay đổi hướng, hoặc cả hai. Trong chuyển động tròn đều, độ lớn của vận tốc (tức tốc độ $v$) không đổi, nhưng **hướng** của vectơ vận tốc luôn thay đổi, vì vận tốc luôn có phương tiếp tuyến với đường tròn quỹ đạo tại vị trí đang xét, mà phương tiếp tuyến đó xoay liên tục khi vật di chuyển quanh đường tròn. Vì vectơ vận tốc thay đổi hướng liên tục, vật chuyển động tròn đều VẪN có gia tốc — chỉ là gia tốc này không làm đổi tốc độ, mà làm đổi hướng chuyển động. Gia tốc này được gọi là **gia tốc hướng tâm** (kí hiệu $a_{ht}$), vì nó luôn có phương vuông góc với vận tốc tức thời và hướng vào đúng tâm $O$ của đường tròn quỹ đạo, tại mọi thời điểm. Độ lớn của gia tốc hướng tâm được tính bằng: $$a_{ht} = \dfrac{v^2}{r}$$ Thay $v = \omega r$ vào công thức trên, ta có một cách viết tương đương chỉ dùng tốc độ góc: $$a_{ht} = \omega^2 r$$ Hai công thức này luôn cho cùng một kết quả với cùng một vật — dùng công thức nào tiện hơn tùy vào đề bài cho $v$ hay cho $\omega$. Đơn vị của $a_{ht}$ là m/s², giống mọi loại gia tốc khác.

Em có thể hình dung trực quan vì sao gia tốc lại hướng vào tâm bằng cách xét hai vị trí rất gần nhau của vật trên quỹ đạo, cách nhau một khoảng thời gian rất ngắn. Vectơ vận tốc tại vị trí đầu và vectơ vận tốc tại vị trí sau có cùng độ dài (vì tốc độ không đổi) nhưng khác hướng một chút, do phương tiếp tuyến đã xoay theo cung tròn vừa đi qua. Hiệu của hai vectơ vận tốc đó — chính là hướng của gia tốc trung bình trong khoảng thời gian ngắn ấy — luôn chỉ về phía tâm đường tròn, không chỉ ra ngoài hay theo phương tiếp tuyến. Khi khoảng thời gian xét càng ngắn, kết luận này càng chính xác, và ở giới hạn tức thời, gia tốc luôn vuông góc với vận tốc và hướng đúng vào tâm — đó chính là gia tốc hướng tâm.

Độ lớn của gia tốc hướng tâm trải rộng trên một dải giá trị rất lớn tuỳ vào chuyển động đang xét. Một điểm trên bề mặt Trái Đất do Trái Đất tự quay quanh trục có gia tốc hướng tâm chỉ khoảng $0{,}034$ m/s² — quá nhỏ để cảm nhận được. Ngược lại, một máy ly tâm trong phòng thí nghiệm, nhờ bán kính nhỏ nhưng tốc độ góc cực lớn, có thể tạo ra gia tốc hướng tâm gấp hàng chục nghìn lần gia tốc trọng trường $g$ — đó là lí do máy ly tâm tách được các thành phần có khối lượng riêng khác nhau trong một hỗn hợp chỉ trong vài phút, việc mà trọng lực tự nhiên phải mất rất lâu mới làm được.

Ví dụ

Gia tốc hướng tâm của ô tô vào khúc cua (phần 1)

1
Một ô tô khối lượng $1000$ kg chạy qua một khúc cua bán kính $50$ m với tốc độ không đổi $10$ m/s. Tính gia tốc hướng tâm của ô tô tại khúc cua này.
Một ô tô khối lượng $1000$ kg chạy qua một khúc cua bán kính $50$ m với tốc độ không đổi $10$ m/s. Tính gia tốc hướng tâm của ô tô tại khúc cua này.
2
Ta có $v=10$ m/s, $r=50$ m — cả hai đã ở đơn vị SI, có thể thay trực tiếp vào công thức $a_{ht}=v^2/r$ .
Ta có $v=10$ m/s, $r=50$ m — cả hai đã ở đơn vị SI, có thể thay trực tiếp vào công thức $a_{ht}=v^2/r$.
3
$a_{ht} = 10^2/50 = 100/50 = 2$ m/s².
$a_{ht} = 10^2/50 = 100/50 = 2$ m/s².
4
Gia tốc $2$ m/s² nhỏ hơn nhiều so với gia tốc trọng trường $g\approx 9{,}8$ m/s², hợp lí với một ô tô vào cua ở tốc độ vừa phải — nếu tính ra một con số lớn hơn hẳn $g$ nhiều lần ở tốc độ này, chắc chắn đã tính sai.
Gia tốc $2$ m/s² nhỏ hơn nhiều so với gia tốc trọng trường $g\approx 9{,}8$ m/s², hợp lí với một ô tô vào cua ở tốc độ vừa phải — nếu tính ra một con số lớn hơn hẳn $g$ nhiều lần ở tốc độ này, chắc chắn đã tính sai.
5
Nếu ô tô đi qua đúng khúc cua này với tốc độ $20$ m/s (gấp đôi), gia tốc hướng tâm mới sẽ là $a_{ht}' = 20^2/50 = 400/50 = 8$ m/s², gấp $4$ lần giá trị ban đầu — đúng vì $a_{ht}$ tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG của tốc độ, chứ không tỉ lệ thuận trực tiếp.
Nếu ô tô đi qua đúng khúc cua này với tốc độ $20$ m/s (gấp đôi), gia tốc hướng tâm mới sẽ là $a_{ht}' = 20^2/50 = 400/50 = 8$ m/s², gấp $4$ lần giá trị ban đầu — đúng vì $a_{ht}$ tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG của tốc độ, chứ không tỉ lệ thuận trực tiếp.
6
Vậy gia tốc hướng tâm của ô tô là $a_{ht}=2$ m/s², hướng vào tâm của khúc cua. Lực nào gây ra gia tốc này sẽ được tìm ở bài học sau.
Vậy gia tốc hướng tâm của ô tô là $a_{ht}=2$ m/s², hướng vào tâm của khúc cua. Lực nào gây ra gia tốc này sẽ được tìm ở bài học sau.

Ví dụ

Gia tốc hướng tâm của hòn đá buộc dây (phần 1, dạng đề thi)

1
Một hòn đá khối lượng $0{,}2$ kg được buộc vào một sợi dây nhẹ, quay tròn đều trong mặt phẳng nằm ngang với bán kính $r=0{,}8$ m, thực hiện đúng $2$ vòng mỗi giây. Tính tốc độ góc, tốc độ dài và gia tốc hướng tâm của hòn đá.
Một hòn đá khối lượng $0{,}2$ kg được buộc vào một sợi dây nhẹ, quay tròn đều trong mặt phẳng nằm ngang với bán kính $r=0{,}8$ m, thực hiện đúng $2$ vòng mỗi giây. Tính tốc độ góc, tốc độ dài và gia tốc hướng tâm của hòn đá.
2
Thực hiện $2$ vòng mỗi giây nghĩa là tần số $f=2$ Hz, suy ra $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi$ rad/s $\approx 12{,}57$ rad/s. (1)
Thực hiện $2$ vòng mỗi giây nghĩa là tần số $f=2$ Hz, suy ra $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi$ rad/s $\approx 12{,}57$ rad/s. (1)
3
Từ (1), áp dụng $v=\omega r$ : $v = 4\pi \times 0{,}8 = 3{,}2\pi \approx 10{,}05$ m/s. (2)
Từ (1), áp dụng $v=\omega r$: $v = 4\pi \times 0{,}8 = 3{,}2\pi \approx 10{,}05$ m/s. (2)
4
Cách 1, dùng (2): $a_{ht}=v^2/r = 10{,}05^2/0{,}8 \approx 126{,}3$ m/s². Cách 2, dùng (1) trực tiếp: $a_{ht}=\omega^2 r = (4\pi)^2 \times 0{,}8 \approx 126{,}3$ m/s² — hai cách cho cùng một kết quả, xác nhận không có sai sót.
Cách 1, dùng (2): $a_{ht}=v^2/r = 10{,}05^2/0{,}8 \approx 126{,}3$ m/s². Cách 2, dùng (1) trực tiếp: $a_{ht}=\omega^2 r = (4\pi)^2 \times 0{,}8 \approx 126{,}3$ m/s² — hai cách cho cùng một kết quả, xác nhận không có sai sót.
5
Tỉ số $a_{ht}/g \approx 126{,}3/9{,}8 \approx 12{,}9$ : gia tốc hướng tâm của hòn đá lớn gấp gần $13$ lần gia tốc rơi tự do — hợp lí với một vật quay rất nhanh (2 vòng mỗi giây) trên bán kính không quá lớn.
Tỉ số $a_{ht}/g \approx 126{,}3/9{,}8 \approx 12{,}9$: gia tốc hướng tâm của hòn đá lớn gấp gần $13$ lần gia tốc rơi tự do — hợp lí với một vật quay rất nhanh (2 vòng mỗi giây) trên bán kính không quá lớn.
6
Vậy hòn đá có tốc độ góc $\omega \approx 12{,}57$ rad/s, tốc độ dài $v\approx 10{,}05$ m/s, và gia tốc hướng tâm $a_{ht}\approx 126{,}3$ m/s² — lớn hơn hẳn ví dụ ô tô ở trên, vì hòn đá quay rất nhanh (2 vòng mỗi giây) dù bán kính nhỏ hơn nhiều. Lực căng dây cần thiết để tạo ra gia tốc này sẽ được tính ở bài học sau.
Vậy hòn đá có tốc độ góc $\omega \approx 12{,}57$ rad/s, tốc độ dài $v\approx 10{,}05$ m/s, và gia tốc hướng tâm $a_{ht}\approx 126{,}3$ m/s² — lớn hơn hẳn ví dụ ô tô ở trên, vì hòn đá quay rất nhanh (2 vòng mỗi giây) dù bán kính nhỏ hơn nhiều. Lực căng dây cần thiết để tạo ra gia tốc này sẽ được tính ở bài học sau.

Cùng là chuyển động tròn đều, nhưng gia tốc hướng tâm có thể chênh lệch rất lớn tuỳ vào tốc độ và bán kính quỹ đạo.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở bài này là nghĩ 'chuyển động đều thì không có gia tốc' — đây là hiểu nhầm giữa 'tốc độ không đổi' và 'vận tốc không đổi'. Chuyển động tròn đều có tốc độ không đổi nhưng vận tốc (một đại lượng vectơ) vẫn đổi hướng liên tục, nên luôn tồn tại gia tốc hướng tâm. Một sai lầm khác là quên bình phương $v$ hoặc $\omega$ trong công thức, hoặc nhầm gia tốc hướng tâm hướng RA XA tâm thay vì hướng VÀO tâm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chuyển động tròn đều có tốc độ không đổi nhưng vẫn có gia tốc, vì hướng vận tốc luôn thay đổi. Gia tốc hướng tâm $a_{ht}=v^2/r=\omega^2 r$ luôn vuông góc với vận tốc và hướng vào tâm quỹ đạo.

Theo định luật II Newton, có gia tốc thì phải có lực gây ra gia tốc đó. Bài tiếp theo tìm lực nào chịu trách nhiệm tạo ra gia tốc hướng tâm này trong từng tình huống cụ thể.