Bài học

Động năng và định lí động năng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được động năng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ của một vật, phát biểu và vận dụng được định lí động năng (công của lực tác dụng bằng độ biến thiên động năng) để tìm vận tốc, quãng đường hoặc công trong các bài toán không cho đủ dữ kiện để dùng công thức động học thông thường.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước em đã tính công của một lực và công suất của một quá trình (same-grade bridge). Bài này chỉ ra công đó đi đâu: khi một lực sinh công dương lên một vật đang chuyển động, công đó làm tăng năng lượng chuyển động của vật — năng lượng đó gọi là động năng.

Khởi động

Một quả bóng đang lăn với tốc độ $v$ va vào một chiếc lò xo và làm lò xo nén lại một đoạn nào đó. Nếu tốc độ ban đầu của bóng tăng gấp đôi, lò xo có bị nén sâu gấp đôi không, hay còn hơn thế? Em thử đoán trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Động năng của một vật khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ $v$ được định nghĩa là:

$W_đ = \frac{1}{2} m v^2$

Động năng có cùng đơn vị với công, là jun (J), vì nó cũng là một dạng năng lượng. Vì $v$ xuất hiện dưới dạng bình phương, động năng tăng theo bình phương của tốc độ chứ không tỉ lệ thuận đơn giản: tốc độ tăng gấp đôi thì động năng tăng gấp bốn, tốc độ tăng gấp ba thì động năng tăng gấp chín. Đây chính là câu trả lời cho tình huống khởi động — nếu tốc độ quả bóng tăng gấp đôi, động năng của nó tăng gấp bốn lần, nên năng lượng truyền cho lò xo cũng lớn hơn nhiều so với gấp đôi, khiến lò xo nén sâu hơn hẳn mức người ta trực giác nghĩ tới.

Mối liên hệ giữa công và động năng được phát biểu chặt chẽ qua định lí động năng: độ biến thiên động năng của một vật bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên vật trong quá trình đó.

$A = W_{đ2} - W_{đ1} = \Delta W_đ$

trong đó $W_{đ1}$ , $W_{đ2}$ lần lượt là động năng lúc đầu và lúc sau, còn $A$ là công tổng cộng (tổng đại số, có dấu) của các lực tác dụng. Nếu $A > 0$ (công phát động chiếm ưu thế), động năng tăng, vật chuyển động nhanh lên; nếu $A < 0$ (công cản chiếm ưu thế, ví dụ do ma sát hoặc lực hãm), động năng giảm, vật chậm lại; nếu $A = 0$ , tốc độ không đổi.

Định lí động năng đặc biệt hữu ích trong những bài toán mà đề bài cho công hoặc lực thay vì thời gian chuyển động — lúc đó, dùng trực tiếp các công thức động học ( $v = v_0 + at$ …) sẽ thiếu dữ kiện về thời gian, trong khi định lí động năng nối thẳng công với vận tốc mà không cần biết gia tốc hay thời gian diễn ra. Đây là một công cụ thứ hai bên cạnh động học, và thường nhanh gọn hơn hẳn khi bài toán nói về lực/công thay vì thời gian.

Định lí động năng thực chất không phải một quy luật độc lập, mà là định luật II Newton viết lại dưới dạng năng lượng: xuất phát từ $F = ma$ , nhân cả hai vế với quãng đường $s$ rồi dùng công thức động học liên hệ vận tốc với gia tốc, ta suy ra được đúng công thức $A = W_{đ2} - W_{đ1}$ đã nêu ở trên. Hai cách nhìn — lực/gia tốc và công/năng lượng — không mâu thuẫn nhau, chỉ là hai góc nhìn khác nhau của cùng một quy luật chuyển động, và chọn cách nào nhanh hơn tuỳ vào dữ kiện đề bài cho sẵn.

Một điểm cần nhấn mạnh: định lí động năng dùng CÔNG TỔNG CỘNG của MỌI lực đang tác dụng lên vật — kể cả lực ma sát, lực cản không khí — chứ không riêng một lực nào. Đây chính là điểm khác với định luật bảo toàn cơ năng ở bài học sau: bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi loại lực duy nhất sinh công là trọng lực hoặc lực đàn hồi, còn định lí động năng luôn đúng bất kể có bao nhiêu loại lực khác nhau đang tham gia.

**Động năng** của một vật khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ $v$ được định nghĩa là: $$W_đ = \frac{1}{2} m v^2$$ Động năng có cùng đơn vị với công, là jun (J), vì nó cũng là một dạng năng lượng. Vì $v$ xuất hiện dưới dạng bình phương, động năng tăng theo bình phương của tốc độ chứ không tỉ lệ thuận đơn giản: tốc độ tăng gấp đôi thì động năng tăng gấp bốn, tốc độ tăng gấp ba thì động năng tăng gấp chín. Đây chính là câu trả lời cho tình huống khởi động — nếu tốc độ quả bóng tăng gấp đôi, động năng của nó tăng gấp bốn lần, nên năng lượng truyền cho lò xo cũng lớn hơn nhiều so với gấp đôi, khiến lò xo nén sâu hơn hẳn mức người ta trực giác nghĩ tới. Mối liên hệ giữa công và động năng được phát biểu chặt chẽ qua **định lí động năng**: độ biến thiên động năng của một vật bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên vật trong quá trình đó. $$A = W_{đ2} - W_{đ1} = \Delta W_đ$$ trong đó $W_{đ1}$, $W_{đ2}$ lần lượt là động năng lúc đầu và lúc sau, còn $A$ là công tổng cộng (tổng đại số, có dấu) của các lực tác dụng. Nếu $A > 0$ (công phát động chiếm ưu thế), động năng tăng, vật chuyển động nhanh lên; nếu $A < 0$ (công cản chiếm ưu thế, ví dụ do ma sát hoặc lực hãm), động năng giảm, vật chậm lại; nếu $A = 0$, tốc độ không đổi. Định lí động năng đặc biệt hữu ích trong những bài toán mà đề bài cho công hoặc lực thay vì thời gian chuyển động — lúc đó, dùng trực tiếp các công thức động học ($v = v_0 + at$…) sẽ thiếu dữ kiện về thời gian, trong khi định lí động năng nối thẳng công với vận tốc mà không cần biết gia tốc hay thời gian diễn ra. Đây là một công cụ thứ hai bên cạnh động học, và thường nhanh gọn hơn hẳn khi bài toán nói về lực/công thay vì thời gian. Định lí động năng thực chất không phải một quy luật độc lập, mà là định luật II Newton viết lại dưới dạng năng lượng: xuất phát từ $F = ma$, nhân cả hai vế với quãng đường $s$ rồi dùng công thức động học liên hệ vận tốc với gia tốc, ta suy ra được đúng công thức $A = W_{đ2} - W_{đ1}$ đã nêu ở trên. Hai cách nhìn — lực/gia tốc và công/năng lượng — không mâu thuẫn nhau, chỉ là hai góc nhìn khác nhau của cùng một quy luật chuyển động, và chọn cách nào nhanh hơn tuỳ vào dữ kiện đề bài cho sẵn. Một điểm cần nhấn mạnh: định lí động năng dùng CÔNG TỔNG CỘNG của MỌI lực đang tác dụng lên vật — kể cả lực ma sát, lực cản không khí — chứ không riêng một lực nào. Đây chính là điểm khác với định luật bảo toàn cơ năng ở bài học sau: bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi loại lực duy nhất sinh công là trọng lực hoặc lực đàn hồi, còn định lí động năng luôn đúng bất kể có bao nhiêu loại lực khác nhau đang tham gia.

Với

m=2

kg:

W_đ = \frac{1}{2}(2)v^2 = v^2

. Tốc độ tăng gấp đôi (từ

2

lên

4

m/s) làm

W_đ

tăng gấp bốn (từ

4

lên

16

J), không phải gấp đôi.Với $m=2$ kg: $W_đ = \frac{1}{2}(2)v^2 = v^2$. Tốc độ tăng gấp đôi (từ $2$ lên $4$ m/s) làm $W_đ$ tăng gấp bốn (từ $4$ lên $16$ J), không phải gấp đôi.

Ví dụ

Tính động năng và vận tốc mới bằng định lí động năng

1
Một quả bóng khối lượng $m = 2$ kg đang chuyển động với tốc độ $v_1 = 5$ m/s. Tính động năng ban đầu của quả bóng. Sau đó, một lực tác dụng lên bóng sinh công $A = 15$ J theo hướng chuyển động. Tính tốc độ mới của quả bóng bằng định lí động năng.
Một quả bóng khối lượng $m = 2$ kg đang chuyển động với tốc độ $v_1 = 5$ m/s. Tính động năng ban đầu của quả bóng. Sau đó, một lực tác dụng lên bóng sinh công $A = 15$ J theo hướng chuyển động. Tính tốc độ mới của quả bóng bằng định lí động năng.
2
Áp dụng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ : $W_{đ1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25$ J. (1)
Áp dụng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$: $W_{đ1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25$ J. (1)
3
Theo định lí động năng, $A = W_{đ2} - W_{đ1}$ , suy ra $W_{đ2} = W_{đ1} + A$ . Theo (1): $W_{đ2} = 25 + 15 = 40$ J. (2)
Theo định lí động năng, $A = W_{đ2} - W_{đ1}$, suy ra $W_{đ2} = W_{đ1} + A$. Theo (1): $W_{đ2} = 25 + 15 = 40$ J. (2)
4
Từ $W_{đ2} = \frac{1}{2}mv_2^2$ và (2), suy ra $v_2^2 = \frac{2 W_{đ2}}{m} = \frac{2 \times 40}{2} = 40$ , nên $v_2 = \sqrt{40} \approx 6{,}32$ m/s.
Từ $W_{đ2} = \frac{1}{2}mv_2^2$ và (2), suy ra $v_2^2 = \frac{2 W_{đ2}}{m} = \frac{2 \times 40}{2} = 40$, nên $v_2 = \sqrt{40} \approx 6{,}32$ m/s.
5
Vì công $A = 15$ J dương, động năng phải tăng — và đúng là $v_2 \approx 6{,}32$ m/s lớn hơn $v_1 = 5$ m/s, khớp với chiều biến thiên đã dự đoán từ dấu của công.
Vì công $A = 15$ J dương, động năng phải tăng — và đúng là $v_2 \approx 6{,}32$ m/s lớn hơn $v_1 = 5$ m/s, khớp với chiều biến thiên đã dự đoán từ dấu của công.
6
Vậy động năng ban đầu của quả bóng là $25$ J, và sau khi nhận thêm công $15$ J, tốc độ của nó tăng lên xấp xỉ $6{,}32$ m/s.
Vậy động năng ban đầu của quả bóng là $25$ J, và sau khi nhận thêm công $15$ J, tốc độ của nó tăng lên xấp xỉ $6{,}32$ m/s.

Ví dụ

Dùng định lí động năng để tìm quãng đường phanh xe (dạng đề thi)

1
Một ô tô khối lượng $m = 1000$ kg đang chạy với tốc độ $v_1 = 20$ m/s thì tài xế đạp phanh, tạo ra một lực hãm không đổi $F = 5000$ N ngược hướng chuyển động cho đến khi xe dừng hẳn. Dùng định lí động năng, tính quãng đường xe đi được từ lúc phanh đến khi dừng.
Một ô tô khối lượng $m = 1000$ kg đang chạy với tốc độ $v_1 = 20$ m/s thì tài xế đạp phanh, tạo ra một lực hãm không đổi $F = 5000$ N ngược hướng chuyển động cho đến khi xe dừng hẳn. Dùng định lí động năng, tính quãng đường xe đi được từ lúc phanh đến khi dừng.
2
Động năng lúc bắt đầu phanh: $W_{đ1} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 = 200\,000$ J. Xe dừng hẳn nên $W_{đ2} = 0$ J. (1)
Động năng lúc bắt đầu phanh: $W_{đ1} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 = 200\,000$ J. Xe dừng hẳn nên $W_{đ2} = 0$ J. (1)
3
Lực hãm ngược hướng chuyển động ( $\alpha = 180°$ ) trên quãng đường phanh $s$ , nên công của nó là $A = -Fs$ . Theo định lí động năng và (1): $A = W_{đ2} - W_{đ1} = 0 - 200\,000 = -200\,000$ J. (2)
Lực hãm ngược hướng chuyển động ($\alpha = 180°$) trên quãng đường phanh $s$, nên công của nó là $A = -Fs$. Theo định lí động năng và (1): $A = W_{đ2} - W_{đ1} = 0 - 200\,000 = -200\,000$ J. (2)
4
Từ $A = -Fs$ và (2): $-5000 \times s = -200\,000$ , suy ra $s = 200\,000/5000 = 40$ m.
Từ $A = -Fs$ và (2): $-5000 \times s = -200\,000$, suy ra $s = 200\,000/5000 = 40$ m.
5
Kiểm chứng lại bằng công thức động học đã học ở chương trước: $v_2^2 = v_1^2 - 2as$ với $v_2=0$ cho $a = v_1^2/(2s) = 400/(2 \times 40) = 5$ m/s². Theo định luật II Newton, $F = ma = 1000 \times 5 = 5000$ N, đúng khớp với lực hãm đề cho — hai cách làm cho cùng một kết quả.
Kiểm chứng lại bằng công thức động học đã học ở chương trước: $v_2^2 = v_1^2 - 2as$ với $v_2=0$ cho $a = v_1^2/(2s) = 400/(2 \times 40) = 5$ m/s². Theo định luật II Newton, $F = ma = 1000 \times 5 = 5000$ N, đúng khớp với lực hãm đề cho — hai cách làm cho cùng một kết quả.
6
Vậy xe đi được $40$ m kể từ lúc phanh đến khi dừng hẳn. Bài này cho thấy định lí động năng giải quyết trực tiếp bằng công và lực, không cần tính gia tốc trước như cách làm động học thông thường.
Vậy xe đi được $40$ m kể từ lúc phanh đến khi dừng hẳn. Bài này cho thấy định lí động năng giải quyết trực tiếp bằng công và lực, không cần tính gia tốc trước như cách làm động học thông thường.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là quên bình phương tốc độ khi tính động năng — viết nhầm $W_đ = \frac{1}{2}mv$ thay vì $\frac{1}{2}mv^2$ . Sai lầm khác là quên dấu của công khi áp dụng định lí động năng: công của lực cản (ma sát, lực hãm) luôn phải mang dấu âm trong $A = W_{đ2} - W_{đ1}$ , nếu bỏ sót dấu âm, kết quả tính ra vận tốc hoặc quãng đường sẽ sai hoàn toàn.

Sai lầm hay gặp nhất là quên bình phương tốc độ khi tính động năng — viết nhầm $W_đ = \frac{1}{2}mv$ thay vì $\frac{1}{2}mv^2$. Sai lầm khác là quên dấu của công khi áp dụng định lí động năng: công của lực cản (ma sát, lực hãm) luôn phải mang dấu âm trong $A = W_{đ2} - W_{đ1}$, nếu bỏ sót dấu âm, kết quả tính ra vận tốc hoặc quãng đường sẽ sai hoàn toàn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Động năng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ tăng theo bình phương tốc độ. Định lí động năng $A = W_{đ2} - W_{đ1}$ nối trực tiếp công của các lực với sự thay đổi tốc độ, rất hữu ích khi bài toán cho lực/công thay vì thời gian.

Bài tiếp theo học một dạng năng lượng khác — năng lượng không đến từ chuyển động mà đến từ vị trí hoặc từ sự biến dạng của vật, gọi là thế năng.