Bài học

Đồ thị vận tốc – thời gian của chuyển động thẳng đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được đồ thị vận tốc – thời gian (đồ thị $v$ – $t$ ) của chuyển động thẳng đều — một đường nằm ngang — và tính được quãng đường đi được bằng diện tích hình chữ nhật nằm dưới đường đó, thay vì chỉ dùng công thức đại số.

Sau bài này, em đọc được đồ thị vận tốc – thời gian (đồ thị $v$–$t$) của chuyển động thẳng đều — một đường nằm ngang — và tính được quãng đường đi được bằng diện tích hình chữ nhật nằm dưới đường đó, thay vì chỉ dùng công thức đại số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã viết phương trình $x = x_0 + vt$ (same-grade bridge). Bài này biểu diễn chính vận tốc không đổi $v$ đó theo thời gian trên một đồ thị, và chỉ ra rằng quãng đường chính là diện tích của một hình học đơn giản dưới đường đó — một cách nhìn khác của cùng một công thức.

Khởi động

Nếu vận tốc của một vật không đổi trong suốt một khoảng thời gian, đồ thị vận tốc theo thời gian của nó có hình dạng gì? Và làm sao từ hình đó "đọc" ra quãng đường đã đi, mà không cần dùng công thức $x = x_0 + vt$ ?

Kiến thức trọng tâm

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ chính là diện tích của hình chữ nhật giới hạn bởi đoạn thẳng vận tốc đó và trục hoành, trong khoảng $[t_1, t_2]$ . Hình chữ nhật này có một cạnh bằng $|v|$ và cạnh kia bằng $t_2 - t_1$ , nên diện tích của nó là $|v| \times (t_2 - t_1)$ — chính là quãng đường $s$ , đúng bằng công thức quen thuộc $s = v \times \Delta t$ nhìn dưới góc độ hình học. Diện tích (quãng đường) luôn là một số không âm, dù đoạn thẳng vận tốc nằm phía trên hay phía dưới trục hoành; chỉ có độ dịch chuyển mới mang dấu theo hướng chuyển động.

Khi đồ thị có nhiều đoạn nằm ngang liên tiếp ứng với các khoảng vận tốc khác nhau (ví dụ vật đổi vận tốc thẳng đều theo từng chặng), quãng đường tổng cộng bằng tổng diện tích của từng hình chữ nhật riêng lẻ, mỗi hình ứng với đúng khoảng thời gian của chặng đó.

Cách nhìn "diện tích = quãng đường" này thực ra chỉ là một cách trình bày khác của đúng công thức $x = x_0 + vt$ đã học ở bài trước: quãng đường trong khoảng $[t_1, t_2]$ chính là $x(t_2) - x(t_1) = v(t_2 - t_1)$ , và biểu thức $v(t_2-t_1)$ đó vừa là một phép nhân đại số, vừa đúng bằng diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh $v$ và $(t_2-t_1)$ . Điểm lợi của cách nhìn hình học là khi vận tốc thay đổi qua nhiều chặng, em chỉ cần cộng diện tích các hình chữ nhật liên tiếp mà không cần viết lại phương trình $x=x_0+vt$ cho từng chặng — đặc biệt hữu ích khi đề bài cho sẵn đồ thị mà không cho công thức. Ở những chương sau, khi vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian (chuyển động biến đổi), đường vận tốc không còn là một đoạn nằm ngang nữa, và quãng đường sẽ là diện tích của một hình phức tạp hơn hình chữ nhật — nhưng nguyên tắc "quãng đường bằng diện tích dưới đồ thị $v$ – $t$ " vẫn giữ nguyên.

Một điều cần phân biệt rõ: trục tung của đồ thị này là vận tốc, không phải vị trí, nên bản thân đường nằm ngang không cho biết vật đang ở đâu — nó chỉ cho biết vật đang đi nhanh hay chậm và theo hướng nào tại mỗi thời điểm. Muốn biết vị trí cụ thể tại một thời điểm bất kỳ, em cần cộng dồn diện tích từ mốc thời gian ban đầu (nơi đã biết $x_0$ ) đến thời điểm đang xét, rồi cộng kết quả đó vào $x_0$ — đây chính là cách đồ thị $v$ – $t$ và phương trình $x=x_0+vt$ luôn cho ra cùng một câu trả lời, dù xuất phát từ hai cách nhìn khác nhau. Ghi nhớ điều này giúp em không nhầm lẫn giữa đồ thị vị trí và đồ thị vận tốc khi làm bài.

Vì vận tốc của chuyển động thẳng đều không đổi theo thời gian, đồ thị vận tốc – thời gian của nó là một đoạn thẳng nằm ngang ở mức $v$, song song với trục hoành (trục thời gian). Nếu vật chuyển động theo chiều dương, đoạn nằm ngang này ở phía trên trục hoành; nếu vật chuyển động theo chiều âm, đoạn nằm ngang ở phía dưới trục hoành (ứng với $v < 0$). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ chính là diện tích của hình chữ nhật giới hạn bởi đoạn thẳng vận tốc đó và trục hoành, trong khoảng $[t_1, t_2]$. Hình chữ nhật này có một cạnh bằng $|v|$ và cạnh kia bằng $t_2 - t_1$, nên diện tích của nó là $|v| \times (t_2 - t_1)$ — chính là quãng đường $s$, đúng bằng công thức quen thuộc $s = v \times \Delta t$ nhìn dưới góc độ hình học. Diện tích (quãng đường) luôn là một số không âm, dù đoạn thẳng vận tốc nằm phía trên hay phía dưới trục hoành; chỉ có độ dịch chuyển mới mang dấu theo hướng chuyển động. Khi đồ thị có nhiều đoạn nằm ngang liên tiếp ứng với các khoảng vận tốc khác nhau (ví dụ vật đổi vận tốc thẳng đều theo từng chặng), quãng đường tổng cộng bằng tổng diện tích của từng hình chữ nhật riêng lẻ, mỗi hình ứng với đúng khoảng thời gian của chặng đó. Cách nhìn "diện tích = quãng đường" này thực ra chỉ là một cách trình bày khác của đúng công thức $x = x_0 + vt$ đã học ở bài trước: quãng đường trong khoảng $[t_1, t_2]$ chính là $x(t_2) - x(t_1) = v(t_2 - t_1)$, và biểu thức $v(t_2-t_1)$ đó vừa là một phép nhân đại số, vừa đúng bằng diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh $v$ và $(t_2-t_1)$. Điểm lợi của cách nhìn hình học là khi vận tốc thay đổi qua nhiều chặng, em chỉ cần cộng diện tích các hình chữ nhật liên tiếp mà không cần viết lại phương trình $x=x_0+vt$ cho từng chặng — đặc biệt hữu ích khi đề bài cho sẵn đồ thị mà không cho công thức. Ở những chương sau, khi vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian (chuyển động biến đổi), đường vận tốc không còn là một đoạn nằm ngang nữa, và quãng đường sẽ là diện tích của một hình phức tạp hơn hình chữ nhật — nhưng nguyên tắc "quãng đường bằng diện tích dưới đồ thị $v$–$t$" vẫn giữ nguyên. Một điều cần phân biệt rõ: trục tung của đồ thị này là vận tốc, không phải vị trí, nên bản thân đường nằm ngang không cho biết vật đang ở đâu — nó chỉ cho biết vật đang đi nhanh hay chậm và theo hướng nào tại mỗi thời điểm. Muốn biết vị trí cụ thể tại một thời điểm bất kỳ, em cần cộng dồn diện tích từ mốc thời gian ban đầu (nơi đã biết $x_0$) đến thời điểm đang xét, rồi cộng kết quả đó vào $x_0$ — đây chính là cách đồ thị $v$–$t$ và phương trình $x=x_0+vt$ luôn cho ra cùng một câu trả lời, dù xuất phát từ hai cách nhìn khác nhau. Ghi nhớ điều này giúp em không nhầm lẫn giữa đồ thị vị trí và đồ thị vận tốc khi làm bài.

Diện tích hình chữ nhật (đáy 5 s, cao 20 m/s) bằng quãng đường:

s = 20 \times 5 = 100

m.Diện tích hình chữ nhật (đáy 5 s, cao 20 m/s) bằng quãng đường: $s = 20 \times 5 = 100$ m.

Ví dụ

Tính quãng đường từ đồ thị vận tốc – thời gian

1
Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi $v = 20$ m/s trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ s. Tính quãng đường vật đi được bằng cách tính diện tích dưới đồ thị $v$ – $t$ , và đối chiếu lại bằng công thức đại số.
Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi $v = 20$ m/s trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ s. Tính quãng đường vật đi được bằng cách tính diện tích dưới đồ thị $v$–$t$, và đối chiếu lại bằng công thức đại số.
2
Hình chữ nhật có cạnh $v = 20$ m/s và cạnh $\Delta t = 5 - 0 = 5$ s, nên diện tích $= 20 \times 5 = 100$ .
Hình chữ nhật có cạnh $v = 20$ m/s và cạnh $\Delta t = 5 - 0 = 5$ s, nên diện tích $= 20 \times 5 = 100$.
3
Theo công thức chuyển động thẳng đều, $s = v \times \Delta t = 20 \times 5 = 100$ — trùng khớp với diện tích vừa tính.
Theo công thức chuyển động thẳng đều, $s = v \times \Delta t = 20 \times 5 = 100$ — trùng khớp với diện tích vừa tính.
4
Vậy quãng đường vật đi được trong 5 giây đó là 100 m, tính đúng bằng cả hai cách: diện tích hình học và công thức đại số.

Ví dụ

Quãng đường qua hai đoạn vận tốc khác nhau (dạng đề thi)

1
Đồ thị vận tốc – thời gian của một xe gồm hai đoạn nằm ngang liên tiếp: từ $t=0$ đến $t=3$ s, xe chuyển động thẳng đều với $v_1 = 15$ m/s; từ $t=3$ s đến $t=8$ s, xe chuyển động thẳng đều với $v_2 = 10$ m/s. Tính quãng đường xe đi được trong cả khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=8$ s.
Đồ thị vận tốc – thời gian của một xe gồm hai đoạn nằm ngang liên tiếp: từ $t=0$ đến $t=3$ s, xe chuyển động thẳng đều với $v_1 = 15$ m/s; từ $t=3$ s đến $t=8$ s, xe chuyển động thẳng đều với $v_2 = 10$ m/s. Tính quãng đường xe đi được trong cả khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=8$ s.
2
$s_1 = v_1 \times \Delta t_1 = 15 \times (3-0) = 45$ (m). (1)
$s_1 = v_1 \times \Delta t_1 = 15 \times (3-0) = 45$ (m). (1)
3
$s_2 = v_2 \times \Delta t_2 = 10 \times (8-3) = 50$ (m). (2)
$s_2 = v_2 \times \Delta t_2 = 10 \times (8-3) = 50$ (m). (2)
4
Từ (1) và (2): $s = s_1 + s_2 = 45 + 50 = 95$ (m).
Từ (1) và (2): $s = s_1 + s_2 = 45 + 50 = 95$ (m).
5
Chọn $x_0=0$ : hết đoạn 1, $x=0+15\times3=45$ m — khớp với $s_1$ . Từ vị trí 45 m, đi thêm đoạn 2 với $v_2=10$ m/s trong 5 s: $x=45+10\times5=95$ m — khớp với tổng quãng đường vừa tính bằng diện tích. Hai cách tính (diện tích và phương trình) luôn phải cho cùng một kết quả, vì chúng chỉ là hai cách trình bày khác nhau của cùng một chuyển động, chỉ khác nhau ở hình thức trình bày mà em chọn để giải bài.
Chọn $x_0=0$: hết đoạn 1, $x=0+15\times3=45$ m — khớp với $s_1$. Từ vị trí 45 m, đi thêm đoạn 2 với $v_2=10$ m/s trong 5 s: $x=45+10\times5=95$ m — khớp với tổng quãng đường vừa tính bằng diện tích. Hai cách tính (diện tích và phương trình) luôn phải cho cùng một kết quả, vì chúng chỉ là hai cách trình bày khác nhau của cùng một chuyển động, chỉ khác nhau ở hình thức trình bày mà em chọn để giải bài.
6
Vậy quãng đường xe đi được trong cả 8 giây là 95 m, bằng tổng diện tích của hai hình chữ nhật ứng với hai đoạn vận tốc khác nhau trên đồ thị.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp là nhân vận tốc với TOÀN BỘ thời gian đọc được trên trục hoành, thay vì chỉ nhân với đúng khoảng $\Delta t$ của đoạn đang xét — lỗi này rất dễ xảy ra khi đồ thị có nhiều đoạn. Một lỗi khác là khi đoạn vận tốc nằm dưới trục hoành (vận tốc âm), học sinh để nguyên dấu âm khi tính quãng đường, khiến quãng đường ra số âm — quãng đường (diện tích) phải luôn là một số không âm, dù độ dịch chuyển ứng với đoạn đó mang dấu âm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đồ thị vận tốc – thời gian của chuyển động thẳng đều là một đoạn thẳng nằm ngang. Quãng đường trong một khoảng thời gian bằng diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi đoạn đó và trục hoành, luôn tính theo độ lớn của vận tốc.

Bài tiếp theo dùng đồng thời hai phương trình vị trí — một cho mỗi xe — để giải bài toán hai xe chuyển động thẳng đều gặp nhau, và có thể kiểm tra lại bằng chính đồ thị $x$ – $t$ của cả hai xe cùng lúc.