Bài học

Tốc độ và vận tốc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được tốc độ trung bình (đại lượng vô hướng) và vận tốc trung bình (đại lượng vectơ), tính đúng cả hai đại lượng, và đặc biệt giải đúng bài toán ghép nhiều chặng có tốc độ khác nhau — nơi rất nhiều học sinh mắc lỗi.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã phân biệt quãng đường và độ dịch chuyển (same-grade bridge). Bài này ghép thêm thời gian vào hai đại lượng đó để tạo ra hai đại lượng đo "độ nhanh chậm" của chuyển động: tốc độ dùng quãng đường, vận tốc dùng độ dịch chuyển.

Khởi động

Một chiếc ô tô đi 120 km hết 2 giờ theo một đường thẳng duy nhất. Một người đi xe đạp đạp 5 km về phía đông rồi quay lại đạp 5 km về phía tây, cũng hết đúng 1 giờ. Ai "nhanh" hơn? Câu trả lời phụ thuộc vào em đang hỏi về tốc độ hay vận tốc — hai câu hỏi khác nhau.

Kiến thức trọng tâm

Tốc độ trung bình $v_{tb} = s/t$ , trong đó $s$ là quãng đường và $t$ là thời gian đi hết quãng đường đó. Vì $s$ luôn không âm nên tốc độ trung bình cũng là một đại lượng vô hướng, luôn dương (hoặc bằng 0 nếu vật đứng yên).

Vận tốc trung bình bằng độ dịch chuyển chia thời gian, $v_{tb} = d/t$ , và là một đại lượng vectơ mang đúng hướng của độ dịch chuyển. Vì $d$ có thể nhỏ hơn $s$ , độ lớn của vận tốc trung bình có thể nhỏ hơn tốc độ trung bình, thậm chí bằng 0 khi vật quay về đúng điểm xuất phát.

Bên cạnh hai đại lượng trung bình đó, còn có vận tốc tức thời — vận tốc của vật tại đúng một thời điểm, xấp xỉ bằng vận tốc trung bình tính trong một khoảng thời gian rất ngắn quanh thời điểm đó. Kim đồng hồ tốc độ trên xe máy, ô tô hiển thị gần đúng độ lớn của vận tốc tức thời tại từng khoảnh khắc, chứ không phải vận tốc trung bình của cả chuyến đi.

Áp dụng vào ví dụ khởi động: ô tô đi 120 km trong 2 h theo một hướng duy nhất nên tốc độ trung bình là $120/2 = 60$ km/h, và vì không đổi hướng, vận tốc trung bình cũng có độ lớn 60 km/h theo đúng hướng ô tô đi. Người đi xe đạp đi 5 km về đông rồi 5 km về tây trong 1 h: tốc độ trung bình $= 10/1 = 10$ km/h (vẫn đi khá nhanh), nhưng vì vị trí cuối trùng vị trí đầu nên độ dịch chuyển bằng 0, kéo theo vận tốc trung bình bằng 0 — người này "nhanh" về tốc độ nhưng "không đi đến đâu" xét về vận tốc.

Về vận tốc tức thời, em có thể hình dung cụ thể hơn qua chiếc đồng hồ tốc độ trên xe máy: khi kim chỉ 40 km/h tại một thời điểm, đó là tốc độ tức thời ngay khoảnh khắc đó — nếu ngay sau đó người lái phanh gấp, con số hiển thị đổi ngay lập tức, trong khi tốc độ trung bình của cả chuyến đi vẫn được tính bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian, kể cả những đoạn xe dừng đèn đỏ hay đi chậm. Vì vậy hai đại lượng "tức thời" và "trung bình" trả lời hai câu hỏi khác nhau: tức thời hỏi "đang đi nhanh cỡ nào ngay lúc này", còn trung bình hỏi "tính chung cả hành trình thì nhanh cỡ nào".

Một dạng bài rất hay gặp trong đề kiểm tra là quãng đường gồm nhiều chặng với tốc độ khác nhau. Cách làm đúng luôn là: tính tổng quãng đường của mọi chặng, tính tổng thời gian của mọi chặng, rồi mới chia — tuyệt đối không lấy trung bình cộng của các tốc độ từng chặng, vì phép đó chỉ đúng một cách tình cờ khi các chặng có thời gian bằng nhau. Lí do nằm ở chỗ chặng nào mất nhiều thời gian hơn thì đóng góp nhiều hơn vào tổng thời gian ở mẫu số, nên nó phải được "cân" theo đúng thời gian thực tế đã dùng, chứ không được tính ngang bằng với chặng còn lại chỉ vì đó cũng là một chặng. Quy tắc này áp dụng cho bất kỳ số lượng chặng nào, không chỉ hai chặng.

**Tốc độ trung bình** $v_{tb} = s/t$, trong đó $s$ là quãng đường và $t$ là thời gian đi hết quãng đường đó. Vì $s$ luôn không âm nên tốc độ trung bình cũng là một đại lượng vô hướng, luôn dương (hoặc bằng 0 nếu vật đứng yên). **Vận tốc trung bình** bằng độ dịch chuyển chia thời gian, $v_{tb} = d/t$, và là một đại lượng vectơ mang đúng hướng của độ dịch chuyển. Vì $d$ có thể nhỏ hơn $s$, độ lớn của vận tốc trung bình có thể nhỏ hơn tốc độ trung bình, thậm chí bằng 0 khi vật quay về đúng điểm xuất phát. Bên cạnh hai đại lượng trung bình đó, còn có **vận tốc tức thời** — vận tốc của vật tại đúng một thời điểm, xấp xỉ bằng vận tốc trung bình tính trong một khoảng thời gian rất ngắn quanh thời điểm đó. Kim đồng hồ tốc độ trên xe máy, ô tô hiển thị gần đúng độ lớn của vận tốc tức thời tại từng khoảnh khắc, chứ không phải vận tốc trung bình của cả chuyến đi. Áp dụng vào ví dụ khởi động: ô tô đi 120 km trong 2 h theo một hướng duy nhất nên tốc độ trung bình là $120/2 = 60$ km/h, và vì không đổi hướng, vận tốc trung bình cũng có độ lớn 60 km/h theo đúng hướng ô tô đi. Người đi xe đạp đi 5 km về đông rồi 5 km về tây trong 1 h: tốc độ trung bình $= 10/1 = 10$ km/h (vẫn đi khá nhanh), nhưng vì vị trí cuối trùng vị trí đầu nên độ dịch chuyển bằng 0, kéo theo vận tốc trung bình bằng 0 — người này "nhanh" về tốc độ nhưng "không đi đến đâu" xét về vận tốc. Về vận tốc tức thời, em có thể hình dung cụ thể hơn qua chiếc đồng hồ tốc độ trên xe máy: khi kim chỉ 40 km/h tại một thời điểm, đó là tốc độ tức thời ngay khoảnh khắc đó — nếu ngay sau đó người lái phanh gấp, con số hiển thị đổi ngay lập tức, trong khi tốc độ trung bình của cả chuyến đi vẫn được tính bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian, kể cả những đoạn xe dừng đèn đỏ hay đi chậm. Vì vậy hai đại lượng "tức thời" và "trung bình" trả lời hai câu hỏi khác nhau: tức thời hỏi "đang đi nhanh cỡ nào ngay lúc này", còn trung bình hỏi "tính chung cả hành trình thì nhanh cỡ nào". Một dạng bài rất hay gặp trong đề kiểm tra là quãng đường gồm nhiều chặng với tốc độ khác nhau. Cách làm đúng luôn là: tính tổng quãng đường của mọi chặng, tính tổng thời gian của mọi chặng, rồi mới chia — tuyệt đối không lấy trung bình cộng của các tốc độ từng chặng, vì phép đó chỉ đúng một cách tình cờ khi các chặng có thời gian bằng nhau. Lí do nằm ở chỗ chặng nào mất nhiều thời gian hơn thì đóng góp nhiều hơn vào tổng thời gian ở mẫu số, nên nó phải được "cân" theo đúng thời gian thực tế đã dùng, chứ không được tính ngang bằng với chặng còn lại chỉ vì đó cũng là một chặng. Quy tắc này áp dụng cho bất kỳ số lượng chặng nào, không chỉ hai chặng.

Tốc độ trung bình cả chuyến

= \dfrac{s_1+s_2}{t_1+t_2} = 36

km/h, khác trung bình cộng

(60+20)/2 = 40

km/h vì hai chặng không mất thời gian bằng nhau.Tốc độ trung bình cả chuyến $= \dfrac{s_1+s_2}{t_1+t_2} = 36$ km/h, khác trung bình cộng $(60+20)/2 = 40$ km/h vì hai chặng không mất thời gian bằng nhau.

Ví dụ

Tốc độ và vận tốc trung bình trên quãng đường thẳng đến trường

1
Một học sinh đi bộ thẳng từ nhà đến trường, cách nhau 800 m về phía đông, mất 10 phút. Tính tốc độ trung bình theo đơn vị m/s và km/h, và cho biết vận tốc trung bình của học sinh đó.
2
Ta có $t = 10$ phút $= 10 \times 60 = 600$ s.
Ta có $t = 10$ phút $= 10 \times 60 = 600$ s.
3
Áp dụng công thức $v_{tb} = s/t$ : $v_{tb} = 800/600 \approx 1{,}33$ m/s. Đổi sang km/h: $1{,}33 \times 3{,}6 \approx 4{,}8$ km/h.
Áp dụng công thức $v_{tb} = s/t$: $v_{tb} = 800/600 \approx 1{,}33$ m/s. Đổi sang km/h: $1{,}33 \times 3{,}6 \approx 4{,}8$ km/h.
4
Vì học sinh đi thẳng theo một hướng duy nhất (không đổi chiều), độ lớn vận tốc trung bình bằng đúng tốc độ trung bình. Vậy vận tốc trung bình xấp xỉ $1{,}33$ m/s theo hướng đông (từ nhà đến trường). Lưu ý đây vẫn chỉ là giá trị trung bình cho cả quãng đường; tốc độ tức thời tại từng bước đi có thể nhanh chậm khác nhau đôi chút, nhưng đề bài không cho đủ dữ kiện để tính riêng từng khoảnh khắc đó.
Vì học sinh đi thẳng theo một hướng duy nhất (không đổi chiều), độ lớn vận tốc trung bình bằng đúng tốc độ trung bình. Vậy vận tốc trung bình xấp xỉ $1{,}33$ m/s theo hướng đông (từ nhà đến trường). Lưu ý đây vẫn chỉ là giá trị trung bình cho cả quãng đường; tốc độ tức thời tại từng bước đi có thể nhanh chậm khác nhau đôi chút, nhưng đề bài không cho đủ dữ kiện để tính riêng từng khoảnh khắc đó.

Ví dụ

Xe máy đi hai chặng với tốc độ khác nhau (dạng đề thi)

1
Một xe máy đi 60 km đầu với tốc độ không đổi 60 km/h, sau đó đi tiếp 30 km với tốc độ không đổi 20 km/h. Tính tốc độ trung bình của xe máy trên cả quãng đường 90 km.
2
Áp dụng $t = s/v$ cho từng chặng: $t_1 = 60/60 = 1$ h; $t_2 = 30/20 = 1{,}5$ h. (1)
Áp dụng $t = s/v$ cho từng chặng: $t_1 = 60/60 = 1$ h; $t_2 = 30/20 = 1{,}5$ h. (1)
3
Từ (1): tổng thời gian $t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5$ h. Tổng quãng đường $s = 60 + 30 = 90$ km.
Từ (1): tổng thời gian $t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5$ h. Tổng quãng đường $s = 60 + 30 = 90$ km.
4
$v_{tb} = s/t = 90/2{,}5 = 36$ km/h.
$v_{tb} = s/t = 90/2{,}5 = 36$ km/h.
5
Tốc độ trung bình đúng (36 km/h) phải nằm giữa tốc độ nhỏ nhất (20 km/h) và tốc độ lớn nhất (60 km/h) của các chặng — đúng như kết quả vừa tính, nên kết quả hợp lí. Nếu tính ra một con số nằm ngoài khoảng $[20; 60]$ km/h, chắc chắn đã có sai sót ở bước nào đó.
Tốc độ trung bình đúng (36 km/h) phải nằm giữa tốc độ nhỏ nhất (20 km/h) và tốc độ lớn nhất (60 km/h) của các chặng — đúng như kết quả vừa tính, nên kết quả hợp lí. Nếu tính ra một con số nằm ngoài khoảng $[20; 60]$ km/h, chắc chắn đã có sai sót ở bước nào đó.
6
Vậy tốc độ trung bình cả quãng đường là 36 km/h. Nếu lấy nhầm trung bình cộng của hai tốc độ, $(60+20)/2 = 40$ km/h, kết quả sẽ sai vì hai chặng không mất thời gian bằng nhau — chặng thứ hai chậm hơn nên chiếm nhiều thời gian hơn, kéo tốc độ trung bình thực tế xuống thấp hơn con số trung bình cộng ngây thơ.
Vậy tốc độ trung bình cả quãng đường là 36 km/h. Nếu lấy nhầm trung bình cộng của hai tốc độ, $(60+20)/2 = 40$ km/h, kết quả sẽ sai vì hai chặng không mất thời gian bằng nhau — chặng thứ hai chậm hơn nên chiếm nhiều thời gian hơn, kéo tốc độ trung bình thực tế xuống thấp hơn con số trung bình cộng ngây thơ.

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là lấy trung bình cộng các tốc độ từng chặng thay vì tính đúng tổng quãng đường chia tổng thời gian — cách này chỉ đúng một cách tình cờ khi các chặng có cùng thời gian, còn nói chung là sai, đặc biệt khi độ dài các chặng hoặc tốc độ chênh lệch nhiều. Một sai lầm khác: hiểu "vận tốc trung bình bằng 0" nghĩa là vật đứng yên suốt hành trình, trong khi thực tế vật vẫn di chuyển liên tục, chỉ là vị trí cuối trùng vị trí đầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tốc độ trung bình $=$ tổng quãng đường / tổng thời gian (vô hướng). Vận tốc trung bình $=$ độ dịch chuyển / thời gian (vectơ). Với bài toán nhiều chặng, luôn cộng tổng quãng đường và tổng thời gian trước, không lấy trung bình cộng các tốc độ từng chặng.

Tốc độ trung bình $= $ tổng quãng đường / tổng thời gian (vô hướng). Vận tốc trung bình $= $ độ dịch chuyển / thời gian (vectơ). Với bài toán nhiều chặng, luôn cộng tổng quãng đường và tổng thời gian trước, không lấy trung bình cộng các tốc độ từng chặng.

Bài tiếp theo biểu diễn độ dịch chuyển theo thời gian bằng đồ thị, để "nhìn thấy" vận tốc chính là độ dốc của đường biểu diễn đó, thay vì chỉ tính bằng công thức.