Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Vẽ đồ thị từ bảng số liệu và đọc độ dốc
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em chọn đúng trục và tỉ lệ để vẽ đồ thị từ một bảng số liệu thí nghiệm, vẽ được đường phù hợp nhất qua các điểm đo, và đọc được độ dốc của đồ thị cùng ý nghĩa vật lí của nó.
Kiến thức nền cần nhớ
Chương trước đã học cách viết MỘT kết quả đo kèm sai số (same-grade bridge). Bài này dùng NHIỀU kết quả đo liên tiếp — mỗi kết quả tại một thời điểm khác nhau — để vẽ thành đồ thị, từ đó đọc ra quy luật chuyển động.
Khởi động
Một xe đồ chơi chạy trên đường thẳng, mỗi giây ghi lại quãng đường đã đi: 0 m lúc 0 s, 2 m lúc 1 s, 4 m lúc 2 s, 6 m lúc 3 s. Nếu vẽ những cặp số liệu này lên một đồ thị, đường vẽ ra sẽ có dạng gì, và đường đó "nói" cho ta biết điều gì về cách xe chuyển động?
Kiến thức trọng tâm
Để vẽ đồ thị từ một bảng số liệu, trước tiên cần chọn trục: theo quy ước, đại lượng độc lập (thường là thời gian) đặt ở trục hoành, đại lượng phụ thuộc đặt ở trục tung. Tiếp theo chọn tỉ lệ — khoảng cách giữa các vạch chia — sao cho toàn bộ số liệu vừa khít trên khổ giấy, không quá chật cũng không quá thưa; tỉ lệ hai trục không nhất thiết phải bằng nhau.
Ví dụ, với bảng số liệu $t$ chạy từ 0 đến 3 s và $s$ chạy từ 0 đến 6 m, chọn mỗi ô vuông trên giấy ứng với 1 s trên trục hoành và 1 m trên trục tung là hợp lí — đồ thị trải rộng, dễ đọc. Nếu lại chọn mỗi ô ứng với 10 s (trong khi số liệu chỉ có 3 s), toàn bộ bốn điểm đo sẽ dồn co cụm vào một góc nhỏ của tờ giấy, khiến việc đọc độ dốc bằng mắt trở nên thiếu chính xác — đây là lỗi chọn tỉ lệ quá thưa so với phạm vi số liệu thực tế.
Sau khi đánh dấu từng điểm $(x,y)$ tương ứng với mỗi cặp số liệu, ta vẽ một đường thẳng, hoặc đường cong tuỳ quy luật, đi qua hoặc gần sát nhất các điểm đó. Vì phép đo luôn có sai số ngẫu nhiên, các điểm hiếm khi thẳng hàng tuyệt đối; đường vẽ ra là đường "phù hợp nhất", không nhất thiết đi qua từng điểm mà đi giữa các điểm, sao cho độ lệch hai phía là nhỏ nhất.
Nếu các điểm đo rõ ràng KHÔNG nằm gần một đường thẳng, mà nghiêng dần theo một đường cong (ví dụ càng về sau, quãng đường tăng càng nhanh so với các mốc trước), đừng ép chúng vào một đường thẳng chỉ vì đường thẳng dễ vẽ và dễ đọc độ dốc hơn — hãy vẽ đúng đường cong mà số liệu thể hiện. Một đồ thị chuyển động không đều sẽ là đường cong, và khi đó khái niệm "độ dốc không đổi" không còn áp dụng cho toàn đồ thị nữa.
Với một đồ thị là đường thẳng, độ dốc (hệ số góc) được tính bằng thương của độ biến thiên trục tung chia cho độ biến thiên trục hoành giữa hai điểm bất kỳ trên đường: $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Độ dốc mang ý nghĩa vật lí cụ thể tuỳ đại lượng trên hai trục — với đồ thị quãng đường theo thời gian, độ dốc chính là tốc độ trung bình của vật trong khoảng đó, vì tốc độ vốn được định nghĩa là quãng đường chia cho thời gian.
Áp dụng vào bảng số liệu khởi động: giữa hai điểm bất kỳ, ví dụ $(1\ s;2\ m)$ và $(3\ s;6\ m)$, độ dốc $k=(6-2)/(3-1)=2$ m/s. Vì đồ thị là một đường thẳng với độ dốc không đổi giữa mọi cặp điểm, tốc độ của xe là không đổi và bằng 2 m/s — đây chính là dấu hiệu của chuyển động thẳng đều, sẽ được học chi tiết ở khoá tiếp theo.
Một lưu ý khi tính độ dốc từ đường phù hợp nhất, nối tiếp bài học về sai số ở chương trước: nên lấy hai điểm CÁCH XA NHAU trên đường, thay vì hai điểm liền kề. Vì mỗi điểm đo đều mang một sai số ngẫu nhiên nhỏ, khoảng cách giữa hai điểm liền kề thường không lớn hơn nhiều so với chính sai số đó, nên độ dốc tính ra dễ bị lệch nhiều; khi hai điểm cách xa nhau, cùng một sai số nhỏ đó chỉ chiếm một tỉ lệ nhỏ trong khoảng cách lớn, nên độ dốc tính được đáng tin cậy hơn.
Bốn điểm đo $(0;0)$, $(1;2)$, $(2;4)$, $(3;6)$ nằm thẳng hàng trên một đường thẳng qua gốc toạ độ, với độ dốc không đổi 2 m/s.
Ví dụ
Vẽ đồ thị quãng đường - thời gian và đọc độ dốc
1
Bảng số liệu quãng đường - thời gian của một xe đồ chơi: $t=0$ s, $s=0$ m; $t=1$ s, $s=2$ m; $t=2$ s, $s=4$ m; $t=3$ s, $s=6$ m. Vẽ đồ thị $s$ theo $t$ và đọc độ dốc của đồ thị.
2
Đặt $t$ (thời gian) ở trục hoành, $s$ (quãng đường) ở trục tung. Bốn điểm $(0;0)$, $(1;2)$, $(2;4)$, $(3;6)$ được đánh dấu trên hệ trục.
3
Bốn điểm này nằm thẳng hàng trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ — nối chúng lại ta được đồ thị $s$-$t$ của xe.
4
Lấy hai điểm $(0;0)$ và $(3;6)$: $k = \dfrac{6-0}{3-0} = 2$ m/s. Kiểm tra lại bằng cặp điểm khác, $(1;2)$ và $(2;4)$: $k=\dfrac{4-2}{2-1}=2$ m/s — trùng khớp, xác nhận đồ thị đúng là một đường thẳng với độ dốc không đổi.
5
Độ dốc của đồ thị $s$-$t$ chính là tốc độ của xe, bằng 2 m/s và không đổi trong suốt 3 giây quan sát — xe chuyển động với tốc độ không đổi.
Vùng tam giác giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và đoạn thẳng đứng tại $t=5$ s có diện tích bằng quãng đường xe đã đi.
Ví dụ
Đọc độ dốc và diện tích trên đồ thị vận tốc - thời gian (dạng đề kiểm tra)
1
Bảng số liệu vận tốc theo thời gian của một xe: $t=0$ s, $v=0$; $t=1$ s, $v=2$; $t=2$ s, $v=4$; $t=3$ s, $v=6$; $t=4$ s, $v=8$; $t=5$ s, $v=10$ (đơn vị m/s). Vẽ đồ thị $v$-$t$, tính độ dốc và diện tích phần đồ thị giới hạn bởi đường thẳng, trục hoành, và đường thẳng đứng tại $t=5$ s. Nêu ý nghĩa vật lí của mỗi kết quả.
2
Sáu điểm số liệu nằm thẳng hàng trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Độ dốc: $k = \dfrac{10-0}{5-0} = 2$ (đơn vị (m/s)/s = m/s²).
3
Vùng giới hạn là một tam giác vuông có đáy 5 s và chiều cao 10 m/s (giá trị $v$ tại $t=5$ s). Diện tích: $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\times5\times10 = 25$ (đơn vị s $\times$ m/s = m).
4
Với đồ thị $v$-$t$, độ dốc bằng độ biến thiên vận tốc chia độ biến thiên thời gian — đó chính là gia tốc, nên gia tốc của xe là 2 m/s². Diện tích giữa đường đồ thị và trục hoành bằng tích của vận tốc và thời gian tương ứng — đó chính là quãng đường đi được, nên xe đã đi được 25 m trong 5 giây đầu.
5
Kiểm tra lại quãng đường bằng công thức chuyển động nhanh dần đều đã biết ở THCS: $s=\dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2}\times2\times5^2=25$ m — trùng khớp với diện tích vừa tính, xác nhận cách đọc đồ thị là đúng.
Sai lầm thường gặp
Nhầm lẫn giữa độ dốc và diện tích dưới đồ thị v-t: độ dốc luôn cho ra một đại lượng có đơn vị của [trục tung]/[trục hoành] (ở đây là gia tốc, m/s²), còn diện tích dưới đồ thị cho ra một đại lượng có đơn vị của [trục tung] $\times$ [trục hoành] (ở đây là quãng đường, m). Hai phép đọc đồ thị khác nhau, dùng để tính hai đại lượng vật lí hoàn toàn khác nhau.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Trên đồ thị s-t, độ dốc là tốc độ. Trên đồ thị v-t, độ dốc là gia tốc còn diện tích dưới đường là quãng đường. Đường vẽ qua các điểm đo luôn là đường phù hợp nhất, không nhất thiết trùng khít từng điểm vì luôn có sai số ngẫu nhiên.
Bài tiếp theo đi sâu hơn vào ý nghĩa của diện tích dưới đồ thị vận tốc - thời gian, kể cả khi vận tốc thay đổi theo nhiều giai đoạn khác nhau trong cùng một chuyển động.
Để vẽ đồ thị từ một bảng số liệu, trước tiên cần chọn trục: theo quy ước, đại lượng độc lập (thường là thời gian) đặt ở trục hoành, đại lượng phụ thuộc đặt ở trục tung. Tiếp theo chọn tỉ lệ — khoảng cách giữa các vạch chia — sao cho toàn bộ số liệu vừa khít trên khổ giấy, không quá chật cũng không quá thưa; tỉ lệ hai trục không nhất thiết phải bằng nhau.
Ví dụ, với bảng số liệu t chạy từ 0 đến 3 s và s chạy từ 0 đến 6 m, chọn mỗi ô vuông trên giấy ứng với 1 s trên trục hoành và 1 m trên trục tung là hợp lí — đồ thị trải rộng, dễ đọc. Nếu lại chọn mỗi ô ứng với 10 s (trong khi số liệu chỉ có 3 s), toàn bộ bốn điểm đo sẽ dồn co cụm vào một góc nhỏ của tờ giấy, khiến việc đọc độ dốc bằng mắt trở nên thiếu chính xác — đây là lỗi chọn tỉ lệ quá thưa so với phạm vi số liệu thực tế.
Sau khi đánh dấu từng điểm (x,y) tương ứng với mỗi cặp số liệu, ta vẽ một đường thẳng, hoặc đường cong tuỳ quy luật, đi qua hoặc gần sát nhất các điểm đó. Vì phép đo luôn có sai số ngẫu nhiên, các điểm hiếm khi thẳng hàng tuyệt đối; đường vẽ ra là đường "phù hợp nhất", không nhất thiết đi qua từng điểm mà đi giữa các điểm, sao cho độ lệch hai phía là nhỏ nhất.
Nếu các điểm đo rõ ràng KHÔNG nằm gần một đường thẳng, mà nghiêng dần theo một đường cong (ví dụ càng về sau, quãng đường tăng càng nhanh so với các mốc trước), đừng ép chúng vào một đường thẳng chỉ vì đường thẳng dễ vẽ và dễ đọc độ dốc hơn — hãy vẽ đúng đường cong mà số liệu thể hiện. Một đồ thị chuyển động không đều sẽ là đường cong, và khi đó khái niệm "độ dốc không đổi" không còn áp dụng cho toàn đồ thị nữa.
Với một đồ thị là đường thẳng, độ dốc (hệ số góc) được tính bằng thương của độ biến thiên trục tung chia cho độ biến thiên trục hoành giữa hai điểm bất kỳ trên đường: k=ΔxΔy. Độ dốc mang ý nghĩa vật lí cụ thể tuỳ đại lượng trên hai trục — với đồ thị quãng đường theo thời gian, độ dốc chính là tốc độ trung bình của vật trong khoảng đó, vì tốc độ vốn được định nghĩa là quãng đường chia cho thời gian.
Áp dụng vào bảng số liệu khởi động: giữa hai điểm bất kỳ, ví dụ (1s;2m) và (3s;6m), độ dốc k=(6−2)/(3−1)=2 m/s. Vì đồ thị là một đường thẳng với độ dốc không đổi giữa mọi cặp điểm, tốc độ của xe là không đổi và bằng 2 m/s — đây chính là dấu hiệu của chuyển động thẳng đều, sẽ được học chi tiết ở khoá tiếp theo.
Một lưu ý khi tính độ dốc từ đường phù hợp nhất, nối tiếp bài học về sai số ở chương trước: nên lấy hai điểm CÁCH XA NHAU trên đường, thay vì hai điểm liền kề. Vì mỗi điểm đo đều mang một sai số ngẫu nhiên nhỏ, khoảng cách giữa hai điểm liền kề thường không lớn hơn nhiều so với chính sai số đó, nên độ dốc tính ra dễ bị lệch nhiều; khi hai điểm cách xa nhau, cùng một sai số nhỏ đó chỉ chiếm một tỉ lệ nhỏ trong khoảng cách lớn, nên độ dốc tính được đáng tin cậy hơn.
Bốn điểm đo (0;0), (1;2), (2;4), (3;6) nằm thẳng hàng trên một đường thẳng qua gốc toạ độ, với độ dốc không đổi 2 m/s.
Bảng số liệu quãng đường - thời gian của một xe đồ chơi: t=0 s, s=0 m; t=1 s, s=2 m; t=2 s, s=4 m; t=3 s, s=6 m. Vẽ đồ thị s theo t và đọc độ dốc của đồ thị.
Đặt t (thời gian) ở trục hoành, s (quãng đường) ở trục tung. Bốn điểm (0;0), (1;2), (2;4), (3;6) được đánh dấu trên hệ trục.
Bốn điểm này nằm thẳng hàng trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ — nối chúng lại ta được đồ thị s-t của xe.
Lấy hai điểm (0;0) và (3;6): k=3−06−0=2 m/s. Kiểm tra lại bằng cặp điểm khác, (1;2) và (2;4): k=2−14−2=2 m/s — trùng khớp, xác nhận đồ thị đúng là một đường thẳng với độ dốc không đổi.
Độ dốc của đồ thị s-t chính là tốc độ của xe, bằng 2 m/s và không đổi trong suốt 3 giây quan sát — xe chuyển động với tốc độ không đổi.
Vùng tam giác giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và đoạn thẳng đứng tại t=5 s có diện tích bằng quãng đường xe đã đi.
Bảng số liệu vận tốc theo thời gian của một xe: t=0 s, v=0; t=1 s, v=2; t=2 s, v=4; t=3 s, v=6; t=4 s, v=8; t=5 s, v=10 (đơn vị m/s). Vẽ đồ thị v-t, tính độ dốc và diện tích phần đồ thị giới hạn bởi đường thẳng, trục hoành, và đường thẳng đứng tại t=5 s. Nêu ý nghĩa vật lí của mỗi kết quả.
Sáu điểm số liệu nằm thẳng hàng trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Độ dốc: k=5−010−0=2 (đơn vị (m/s)/s = m/s²).
Vùng giới hạn là một tam giác vuông có đáy 5 s và chiều cao 10 m/s (giá trị v tại t=5 s). Diện tích: S△=21×5×10=25 (đơn vị s × m/s = m).
Với đồ thị v-t, độ dốc bằng độ biến thiên vận tốc chia độ biến thiên thời gian — đó chính là gia tốc, nên gia tốc của xe là 2 m/s². Diện tích giữa đường đồ thị và trục hoành bằng tích của vận tốc và thời gian tương ứng — đó chính là quãng đường đi được, nên xe đã đi được 25 m trong 5 giây đầu.
Kiểm tra lại quãng đường bằng công thức chuyển động nhanh dần đều đã biết ở THCS: s=21at2=21×2×52=25 m — trùng khớp với diện tích vừa tính, xác nhận cách đọc đồ thị là đúng.
Nhầm lẫn giữa độ dốc và diện tích dưới đồ thị v-t: độ dốc luôn cho ra một đại lượng có đơn vị của [trục tung]/[trục hoành] (ở đây là gia tốc, m/s²), còn diện tích dưới đồ thị cho ra một đại lượng có đơn vị của [trục tung] × [trục hoành] (ở đây là quãng đường, m). Hai phép đọc đồ thị khác nhau, dùng để tính hai đại lượng vật lí hoàn toàn khác nhau.