Bài học

Thang nhiều lực và nghệ thuật chọn tâm moment

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cô lập được thang–người, chọn chân thang làm tâm moment để khử hai phản lực và tìm hệ số ma sát tối thiểu.

Kiến thức cần có

Cần biết moment lực, phân tích lực theo trục, ma sát nghỉ cực đại và các giá trị lượng giác góc đặc biệt.

Mở rộng dành cho HSG. YCCĐ Vật lí 10 dừng ở moment lực và cân bằng cơ bản. Khóa này thêm nhiều liên kết, ngưỡng nhấc gối, tối ưu hướng lực và mô hình phần khoét bằng “khối lượng âm”. Tiền đề là vectơ lực, lượng giác, trọng lực và ma sát. Kỹ thuật ngoài YCCĐ được dựng lại trước khi dùng.

Câu hỏi mở đầu

Một chiếc thang đứng yên nhưng tường đẩy ngang, sàn đẩy đứng và người tạo thêm moment. Vì sao chỉ viết một phương trình moment chưa đủ để tìm hết lực?

Ý tưởng cốt lõi

Xét thang đồng chất AB dài L, chân A trên sàn nhám và đầu B tựa tường nhẵn. Tường chỉ tác dụng phản lực ngang $N_B$ ; sàn tác dụng phản lực đứng $N_A$ và ma sát ngang f. Trọng lượng thang đặt tại trung điểm, trọng lượng người đặt tại vị trí người đứng. Lấy moment quanh A làm $N_A$ và f biến mất vì giá của chúng đi qua A. Ta được $N_BL\sin\theta=W_t(L/2)\cos\theta+W_nx\cos\theta$ . Sau khi tìm $N_B$ , cân bằng ngang cho $f=N_B$ , cân bằng đứng cho $N_A=W_t+W_n$ . Ở trạng thái sắp trượt, $f=\mu_{s,\min}N_A$ . Đây là chuỗi ba phương trình, mỗi phương trình làm một việc khác nhau.

Xét thang đồng chất AB dài L, chân A trên sàn nhám và đầu B tựa tường nhẵn. Tường chỉ tác dụng phản lực ngang $N_B$; sàn tác dụng phản lực đứng $N_A$ và ma sát ngang f. Trọng lượng thang đặt tại trung điểm, trọng lượng người đặt tại vị trí người đứng. Lấy moment quanh A làm $N_A$ và f biến mất vì giá của chúng đi qua A. Ta được $N_BL\sin\theta=W_t(L/2)\cos\theta+W_nx\cos\theta$. Sau khi tìm $N_B$, cân bằng ngang cho $f=N_B$, cân bằng đứng cho $N_A=W_t+W_n$. Ở trạng thái sắp trượt, $f=\mu_{s,\min}N_A$. Đây là chuỗi ba phương trình, mỗi phương trình làm một việc khác nhau.

Từ tam giác 3–4–5, thang dài 5 m có cos θ = 0,6 và sin θ = 0,8.

Đào sâu chiến lược

Điểm khó không nằm ở phép tính mà ở mô hình liên kết. “Tường nhẵn” loại ma sát ở B; “sàn nhám” không có nghĩa f luôn bằng $\mu_sN_A$ , mà chỉ tại ngưỡng. Nếu lấy moment quanh trung điểm thang, cả $N_A$ , f và $N_B$ đều còn cánh tay đòn, làm phương trình đầy ẩn. Chọn A là một phép khử ẩn bằng hình học. Khi tường cũng nhám, B có thêm lực ma sát đứng; lúc đó một phương trình moment và hai phương trình lực vẫn chỉ cho ba quan hệ nhưng có bốn phản lực, cần thêm trạng thái ngưỡng hoặc dữ kiện đàn hồi của gối.

Điểm khó không nằm ở phép tính mà ở mô hình liên kết. “Tường nhẵn” loại ma sát ở B; “sàn nhám” không có nghĩa f luôn bằng $\mu_sN_A$, mà chỉ tại ngưỡng. Nếu lấy moment quanh trung điểm thang, cả $N_A$, f và $N_B$ đều còn cánh tay đòn, làm phương trình đầy ẩn. Chọn A là một phép khử ẩn bằng hình học. Khi tường cũng nhám, B có thêm lực ma sát đứng; lúc đó một phương trình moment và hai phương trình lực vẫn chỉ cho ba quan hệ nhưng có bốn phản lực, cần thêm trạng thái ngưỡng hoặc dữ kiện đàn hồi của gối.

Có thể nhìn bài thang như bài “miền khả thi”. Với mỗi vị trí x của người, moment yêu cầu $N_B$ tăng tuyến tính; lực ma sát cần cũng tăng, còn $N_A$ không đổi. Bất đẳng thức $N_B\le\mu_sN_A$ cho vị trí xa nhất người được phép đứng. Đảo câu hỏi từ “tìm ma sát” sang “tìm vị trí an toàn” là một biến thể HSG vì em phải nhận ra điều kiện giới hạn trước khi giải.

Trong kiểm định thang tại công trường, nhãn tải trọng không chỉ nói thanh có chịu gãy hay không; độ trượt của chân phụ thuộc góc dựng và vị trí người. Khi góc nhỏ, $\sin\theta$ giảm còn $\cos\theta$ tăng, moment lật lớn hơn và phản lực tường tăng. Kết quả toán học khớp kinh nghiệm: thang đặt quá thoải dễ trượt chân dù vật liệu chưa hỏng.

Khung giải cân bằng

Vật rắn cân bằng phải thỏa đồng thời $\sum F_x=0$ , $\sum F_y=0$ và $\sum \tau_O=0$ . Chọn O tại điểm có nhiều lực chưa biết đi qua để moment của chúng bằng 0. Quy ước moment ngược chiều kim đồng hồ dương; cánh tay đòn là khoảng cách vuông góc từ O đến giá lực. Cuối bài, thế lại cân bằng lực và kiểm mọi lực liên kết.

Vật rắn cân bằng phải thỏa đồng thời $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ và $\sum \tau_O=0$. Chọn O tại điểm có nhiều lực chưa biết đi qua để moment của chúng bằng 0. Quy ước moment ngược chiều kim đồng hồ dương; cánh tay đòn là khoảng cách vuông góc từ O đến giá lực. Cuối bài, thế lại cân bằng lực và kiểm mọi lực liên kết.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trong trình bày mẫu, ghi vật được cô lập, trục chiếu, tâm moment và quy ước dấu. Nêu tên điều kiện cân bằng trước mỗi phương trình. Với bài ngưỡng, viết điều kiện biên $f=f_{s,\max}$ , $N_B=0$ hoặc giá trọng lực qua mép lật. Kết luận bằng “Vậy…” kèm đơn vị, chiều lực và điều kiện tồn tại.

Trong **trình bày mẫu**, ghi vật được cô lập, trục chiếu, tâm moment và quy ước dấu. Nêu tên điều kiện cân bằng trước mỗi phương trình. Với bài ngưỡng, viết điều kiện biên $f=f_{s,\max}$, $N_B=0$ hoặc giá trọng lực qua mép lật. Kết luận bằng “Vậy…” kèm đơn vị, chiều lực và điều kiện tồn tại.

Kiểm ngược

Kiểm ngược: tổng lực có bằng 0; moment quanh một điểm khác có bằng 0; phản lực có không âm và ma sát cần có có thỏa $f\le\mu_sN$ ? Với bài tối ưu, so với một hướng đã biết. Với trọng tâm, kiểm nó dịch về phía phần vật liệu còn nhiều.

Kiểm ngược: tổng lực có bằng 0; moment quanh một điểm khác có bằng 0; phản lực có không âm và ma sát cần có có thỏa $f\le\mu_sN$? Với bài tối ưu, so với một hướng đã biết. Với trọng tâm, kiểm nó dịch về phía phần vật liệu còn nhiều.

Nhật kí lỗi

Đừng chỉ ghi “sai dấu”. Hãy chỉ đúng thao tác sai: dùng chiều dài thay cánh tay đòn, quên trọng lượng thanh, dùng ma sát cực đại quá sớm, cho phần khoét dấu dương hoặc tối ưu ngoài miền. Sửa bằng hình chiếu vuông góc, sơ đồ lực và phương trình biên.

Ví dụ

Thang 5 m và người đứng cách chân 3 m

1
Thang đồng chất dài 5 m, khối lượng 20 kg, hợp sàn góc $53^\circ$ với $\sin\theta=0{,}8$ , $\cos\theta=0{,}6$ . Người 60 kg đứng cách chân 3 m dọc thang. Tường nhẵn, sàn nhám, $g=10$ m/s². Tìm $\mu_{s,\min}$ .
Thang đồng chất dài 5 m, khối lượng 20 kg, hợp sàn góc $53^\circ$ với $\sin\theta=0{,}8$, $\cos\theta=0{,}6$. Người 60 kg đứng cách chân 3 m dọc thang. Tường nhẵn, sàn nhám, $g=10$ m/s². Tìm $\mu_{s,\min}$.
2
Phải tìm phản lực tường bằng moment, rồi mới liên hệ nó với ma sát ở chân thang.
3
Lấy moment quanh A để đồng thời khử phản lực đứng và ma sát tại A.
4
Cô lập hệ thang–người. Áp dụng cân bằng moment quanh A: $N_B\cdot5\cdot0{,}8=200\cdot2{,}5\cdot0{,}6+600\cdot3\cdot0{,}6=1380$ . Suy ra $N_B=345$ N. Cân bằng lực ngang cho $f=345$ N; cân bằng lực đứng cho $N_A=200+600=800$ N. Ở ngưỡng sắp trượt, $f=\mu_{s,\min}N_A$ , nên $\mu_{s,\min}=345/800=0{,}43125$ . Vậy hệ số ma sát nghỉ tối thiểu xấp xỉ 0,431.
Cô lập hệ thang–người. Áp dụng cân bằng moment quanh A: $N_B\cdot5\cdot0{,}8=200\cdot2{,}5\cdot0{,}6+600\cdot3\cdot0{,}6=1380$. Suy ra $N_B=345$ N. Cân bằng lực ngang cho $f=345$ N; cân bằng lực đứng cho $N_A=200+600=800$ N. Ở ngưỡng sắp trượt, $f=\mu_{s,\min}N_A$, nên $\mu_{s,\min}=345/800=0{,}43125$. Vậy hệ số ma sát nghỉ tối thiểu xấp xỉ 0,431.
5
Lấy moment quanh B: moment của $N_A$ , f và hai trọng lực phải triệt tiêu; thay $N_A=800$ , $f=345$ cho cùng cân bằng. Các phản lực đều dương.
Lấy moment quanh B: moment của $N_A$, f và hai trọng lực phải triệt tiêu; thay $N_A=800$, $f=345$ cho cùng cân bằng. Các phản lực đều dương.
6
Nếu người tiến lên, moment trọng lượng người tăng tuyến tính nên hệ số ma sát tối thiểu cũng tăng.

Ví dụ

Vị trí xa nhất khi μs = 0,35

1
Giữ thang và góc như trên nhưng sàn có $\mu_s=0{,}35$ . Tìm khoảng cách lớn nhất x từ chân thang mà người 60 kg có thể đứng.
Giữ thang và góc như trên nhưng sàn có $\mu_s=0{,}35$. Tìm khoảng cách lớn nhất x từ chân thang mà người 60 kg có thể đứng.
2
Tại vị trí xa nhất, ma sát đạt cực đại; giải phương trình moment theo x.
3
Cân bằng lực đứng: $N_A=800$ N, nên tại ngưỡng $f_{\max}=0{,}35\cdot800=280$ N. Cân bằng ngang cho $N_B=280$ N. Lấy moment quanh A: $280\cdot5\cdot0{,}8=200\cdot2{,}5\cdot0{,}6+600x\cdot0{,}6$ . Do đó $1120=300+360x$ , suy ra $x=41/18\approx2{,}278$ m. Vậy người chỉ nên đứng cách chân thang không quá khoảng 2,28 m.
Cân bằng lực đứng: $N_A=800$ N, nên tại ngưỡng $f_{\max}=0{,}35\cdot800=280$ N. Cân bằng ngang cho $N_B=280$ N. Lấy moment quanh A: $280\cdot5\cdot0{,}8=200\cdot2{,}5\cdot0{,}6+600x\cdot0{,}6$. Do đó $1120=300+360x$, suy ra $x=41/18\approx2{,}278$ m. Vậy người chỉ nên đứng cách chân thang không quá khoảng 2,28 m.
4
Giá trị nhỏ hơn 3 m của ví dụ trước, phù hợp vì μs = 0,35 nhỏ hơn 0,431.
5
Nếu thay tường nhẵn bằng con lăn, mô hình lực vẫn giống; nếu tường nhám thì phải thêm lực tại B.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không dùng chiều dài dọc thang làm cánh tay đòn của trọng lực; phải lấy hình chiếu ngang. Không đặt ma sát bằng cực đại trước khi đề hỏi trạng thái giới hạn.

Chốt bài: Em đã cô lập được thang–người, chọn chân thang làm tâm moment để khử hai phản lực và tìm hệ số ma sát tối thiểu. Bài sau giữ nguyên ba điều kiện cân bằng nhưng chuyển sang dầm hai gối, nơi dấu phản lực quyết định gối còn tiếp xúc hay đã bị nhấc.