Bài học

Con lắc lò xo và lực kéo về

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được công thức lực kéo về của con lắc lò xo $F = -kx$ , giải thích được ý nghĩa của dấu trừ trong công thức, và nêu đúng điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa.

Sau bài này, em viết được công thức lực kéo về của con lắc lò xo $F = -kx$, giải thích được ý nghĩa của dấu trừ trong công thức, và nêu đúng điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 10, em đã học định luật Hooke: khi một lò xo bị biến dạng (giãn ra hoặc nén lại) một đoạn $\Delta l$ , nó sinh ra lực đàn hồi có độ lớn $F_{đh} = k|\Delta l|$ , với $k$ là độ cứng của lò xo (đơn vị N/m), và lực đàn hồi luôn có xu hướng đưa lò xo trở lại chiều dài tự nhiên. Bài này dùng lại chính công thức đó, nhưng đặt trong bối cảnh một vật đang dao động qua lại quanh một vị trí cân bằng, nên cần thêm dấu và trục toạ độ để mô tả đúng cả độ lớn lẫn chiều của lực tại từng thời điểm.

Ở lớp 10, em đã học định luật Hooke: khi một lò xo bị biến dạng (giãn ra hoặc nén lại) một đoạn $\Delta l$, nó sinh ra lực đàn hồi có độ lớn $F_{đh} = k|\Delta l|$, với $k$ là độ cứng của lò xo (đơn vị N/m), và lực đàn hồi luôn có xu hướng đưa lò xo trở lại chiều dài tự nhiên. Bài này dùng lại chính công thức đó, nhưng đặt trong bối cảnh một vật đang dao động qua lại quanh một vị trí cân bằng, nên cần thêm dấu và trục toạ độ để mô tả đúng cả độ lớn lẫn chiều của lực tại từng thời điểm.

Khởi động

Treo một vật vào lò xo treo thẳng đứng, kéo vật xuống dưới vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông nhẹ tay. Vật không nằm yên ở chỗ vừa thả mà bật ngược lên, vượt qua vị trí cân bằng, rồi lại đi xuống. Lực nào đã liên tục kéo vật quay về vị trí cân bằng như vậy, dù vật đang ở phía trên hay phía dưới điểm đó?

Kiến thức trọng tâm

Khi vật ở li độ $x$ , lò xo bị biến dạng thêm đúng một đoạn $|x|$ so với vị trí cân bằng, nên theo định luật Hooke, lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn $k|x|$ . Điều quan trọng cần để ý là chiều của lực này: dù vật lệch sang bên nào, lực đàn hồi luôn hướng ngược lại, tức là luôn hướng về phía vị trí cân bằng $O$ . Một lực luôn hướng về vị trí cân bằng như vậy được gọi là lực kéo về, và với con lắc lò xo, lực kéo về chính là lực đàn hồi của lò xo (khi con lắc nằm ngang) hoặc hợp lực của trọng lực và lực đàn hồi (khi treo thẳng đứng, hợp lực này vẫn rút gọn về đúng dạng bên dưới nếu tính từ vị trí cân bằng).

Để viết lực kéo về bằng một công thức duy nhất, đúng cho cả hai trường hợp $x>0$ và $x<0$ , ta dùng dấu trừ: $F = -kx$ Dấu trừ ở đây không có nghĩa là lực luôn âm — nó có nghĩa là $F$ luôn ngược dấu với $x$ . Khi $x>0$ (vật lệch về phía dương), $F<0$ (lực hướng về phía âm, tức là về $O$ ). Khi $x<0$ , $F>0$ (lực hướng về phía dương, cũng là về $O$ ). Chính dấu trừ này mã hoá đúng bản chất của lực kéo về: nó không cố định một chiều trong không gian, mà luôn đảo chiều theo li độ, sao cho lúc nào cũng hướng vào tâm dao động.

Không phải lò xo nào gắn vật cũng cho dao động điều hòa. Công thức $F=-kx$ — và do đó dao động điều hòa — chỉ đúng khi thoả một số điều kiện: bỏ qua hoàn toàn ma sát và lực cản (nếu không, biên độ dao động sẽ giảm dần theo thời gian, gọi là dao động tắt dần, không còn là dao động điều hòa thuần tuý); lò xo là lò xo lí tưởng, biến dạng còn nằm trong giới hạn đàn hồi (chưa bị kéo giãn hay nén quá mức làm mất tính đàn hồi); và vật chuyển động dọc theo một đường thẳng cố định. Trong chương trình phổ thông, các bài toán về con lắc lò xo mặc định các điều kiện lí tưởng này, trừ khi đề bài nói rõ có ma sát hoặc lực cản.

Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng $m$ gắn vào đầu một lò xo có độ cứng $k$, đầu còn lại của lò xo giữ cố định. Trong bài này ta xét con lắc đặt nằm ngang trên mặt phẳng nhẵn hoặc treo thẳng đứng, và luôn bỏ qua ma sát cùng lực cản của không khí. Chọn trục toạ độ $Ox$ dọc theo phương chuyển động của vật, gốc $O$ đặt tại vị trí cân bằng — vị trí lò xo không biến dạng thêm do dao động (với con lắc treo thẳng đứng, đó là vị trí lò xo đã giãn sẵn một đoạn do trọng lượng vật, và ta chỉ tính độ dời thêm so với vị trí đó). Độ dời của vật so với $O$ tại một thời điểm gọi là li độ, kí hiệu $x$; $x$ có thể dương (vật lệch về một phía) hoặc âm (vật lệch về phía ngược lại). Khi vật ở li độ $x$, lò xo bị biến dạng thêm đúng một đoạn $|x|$ so với vị trí cân bằng, nên theo định luật Hooke, lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn $k|x|$. Điều quan trọng cần để ý là chiều của lực này: dù vật lệch sang bên nào, lực đàn hồi luôn hướng ngược lại, tức là luôn hướng về phía vị trí cân bằng $O$. Một lực luôn hướng về vị trí cân bằng như vậy được gọi là lực kéo về, và với con lắc lò xo, lực kéo về chính là lực đàn hồi của lò xo (khi con lắc nằm ngang) hoặc hợp lực của trọng lực và lực đàn hồi (khi treo thẳng đứng, hợp lực này vẫn rút gọn về đúng dạng bên dưới nếu tính từ vị trí cân bằng). Để viết lực kéo về bằng một công thức duy nhất, đúng cho cả hai trường hợp $x>0$ và $x<0$, ta dùng dấu trừ: $$F = -kx$$ Dấu trừ ở đây không có nghĩa là lực luôn âm — nó có nghĩa là $F$ luôn ngược dấu với $x$. Khi $x>0$ (vật lệch về phía dương), $F<0$ (lực hướng về phía âm, tức là về $O$). Khi $x<0$, $F>0$ (lực hướng về phía dương, cũng là về $O$). Chính dấu trừ này mã hoá đúng bản chất của lực kéo về: nó không cố định một chiều trong không gian, mà luôn đảo chiều theo li độ, sao cho lúc nào cũng hướng vào tâm dao động. Không phải lò xo nào gắn vật cũng cho dao động điều hòa. Công thức $F=-kx$ — và do đó dao động điều hòa — chỉ đúng khi thoả một số điều kiện: bỏ qua hoàn toàn ma sát và lực cản (nếu không, biên độ dao động sẽ giảm dần theo thời gian, gọi là dao động tắt dần, không còn là dao động điều hòa thuần tuý); lò xo là lò xo lí tưởng, biến dạng còn nằm trong giới hạn đàn hồi (chưa bị kéo giãn hay nén quá mức làm mất tính đàn hồi); và vật chuyển động dọc theo một đường thẳng cố định. Trong chương trình phổ thông, các bài toán về con lắc lò xo mặc định các điều kiện lí tưởng này, trừ khi đề bài nói rõ có ma sát hoặc lực cản.

F=-kx

với

k=100

N/m: khi

x=2

cm thì

F=-2

N (hướng âm); khi

x=-2

cm thì

F=2

N (hướng dương) — luôn ngược dấu với

x

.$F=-kx$ với $k=100$ N/m: khi $x=2$ cm thì $F=-2$ N (hướng âm); khi $x=-2$ cm thì $F=2$ N (hướng dương) — luôn ngược dấu với $x$.

Ví dụ

Tính lực kéo về từ độ cứng và li độ

1
Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng $k=100$ N/m, vật nặng $m=0{,}25$ kg. Tại một thời điểm, vật có li độ $x=2$ cm. Tính lực kéo về tác dụng lên vật tại thời điểm đó, kèm chiều của lực.
Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng $k=100$ N/m, vật nặng $m=0{,}25$ kg. Tại một thời điểm, vật có li độ $x=2$ cm. Tính lực kéo về tác dụng lên vật tại thời điểm đó, kèm chiều của lực.
2
Ta có $k=100$ N/m và cần đổi li độ về đơn vị mét (SI) trước khi thay vào công thức: $x=2$ cm $=0{,}02$ m. Vật lệch về phía dương nên $x=+0{,}02$ m.
Ta có $k=100$ N/m và cần đổi li độ về đơn vị mét (SI) trước khi thay vào công thức: $x=2$ cm $=0{,}02$ m. Vật lệch về phía dương nên $x=+0{,}02$ m.
3
Áp dụng $F=-kx$ : $F = -100 \times 0{,}02 = -2$ N. Dấu âm cho biết lực hướng theo chiều âm của trục $Ox$ , tức là hướng từ vị trí $x=2$ cm về vị trí cân bằng $O$ .
Áp dụng $F=-kx$: $F = -100 \times 0{,}02 = -2$ N. Dấu âm cho biết lực hướng theo chiều âm của trục $Ox$, tức là hướng từ vị trí $x=2$ cm về vị trí cân bằng $O$.
4
Độ lớn lực $|F| = 2$ N là hợp lí: với độ cứng $k=100$ N/m khá lớn và độ dời chỉ $2$ cm, lực cỡ vài newton là hợp lí, không quá nhỏ cũng không quá lớn so với trọng lượng vật ( $mg \approx 2{,}5$ N). Vậy $F=-2$ N, hướng về vị trí cân bằng.
Độ lớn lực $|F| = 2$ N là hợp lí: với độ cứng $k=100$ N/m khá lớn và độ dời chỉ $2$ cm, lực cỡ vài newton là hợp lí, không quá nhỏ cũng không quá lớn so với trọng lượng vật ($mg \approx 2{,}5$ N). Vậy $F=-2$ N, hướng về vị trí cân bằng.

Ví dụ

So sánh lực kéo về ở hai vị trí đối xứng

1
Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng $k=60$ N/m. Xét hai thời điểm: thời điểm 1 vật có li độ $x_1=-3$ cm; thời điểm 2 vật có li độ $x_2=+3$ cm. Tính lực kéo về tại mỗi thời điểm, so sánh độ lớn và chiều của chúng.
Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng $k=60$ N/m. Xét hai thời điểm: thời điểm 1 vật có li độ $x_1=-3$ cm; thời điểm 2 vật có li độ $x_2=+3$ cm. Tính lực kéo về tại mỗi thời điểm, so sánh độ lớn và chiều của chúng.
2
Đổi $x_1=-3$ cm $=-0{,}03$ m. Áp dụng $F_1=-kx_1 = -60 \times (-0{,}03) = +1{,}8$ N. Dấu dương cho biết lực hướng theo chiều dương, tức là từ vị trí $x_1$ (đang ở phía âm) hướng về $O$ .
Đổi $x_1=-3$ cm $=-0{,}03$ m. Áp dụng $F_1=-kx_1 = -60 \times (-0{,}03) = +1{,}8$ N. Dấu dương cho biết lực hướng theo chiều dương, tức là từ vị trí $x_1$ (đang ở phía âm) hướng về $O$.
3
Tương tự, $x_2=+0{,}03$ m nên $F_2 = -60 \times 0{,}03 = -1{,}8$ N. Dấu âm cho biết lực hướng theo chiều âm, cũng là từ vị trí $x_2$ (đang ở phía dương) hướng về $O$ .
Tương tự, $x_2=+0{,}03$ m nên $F_2 = -60 \times 0{,}03 = -1{,}8$ N. Dấu âm cho biết lực hướng theo chiều âm, cũng là từ vị trí $x_2$ (đang ở phía dương) hướng về $O$.
4
Hai lực có cùng độ lớn $|F_1|=|F_2|=1{,}8$ N vì hai li độ đối xứng nhau qua $O$ ( $|x_1|=|x_2|$ ), nhưng ngược chiều nhau: cả hai đều hướng về vị trí cân bằng $O$ , đúng bản chất của lực kéo về. Đây là điều học sinh dễ nhầm: lực kéo về không có một chiều cố định trong không gian, chiều của nó phụ thuộc vào việc vật đang lệch về phía nào.
Hai lực có cùng độ lớn $|F_1|=|F_2|=1{,}8$ N vì hai li độ đối xứng nhau qua $O$ ($|x_1|=|x_2|$), nhưng ngược chiều nhau: cả hai đều hướng về vị trí cân bằng $O$, đúng bản chất của lực kéo về. Đây là điều học sinh dễ nhầm: lực kéo về không có một chiều cố định trong không gian, chiều của nó phụ thuộc vào việc vật đang lệch về phía nào.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên đổi đơn vị li độ từ cm sang m trước khi thay vào $F=-kx$ (vì $k$ cho theo N/m), khiến kết quả sai lệch 100 lần. Một sai lầm khác là chỉ tính độ lớn $|F|=k|x|$ mà bỏ qua việc xác định chiều của lực theo đúng dấu của $x$ — nhiều đề thi yêu cầu nói rõ lực hướng theo chiều nào, không chỉ độ lớn bao nhiêu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Lực kéo về của con lắc lò xo luôn tuân theo $F=-kx$ : độ lớn tỉ lệ thuận với li độ, còn dấu trừ đảm bảo lực luôn hướng về vị trí cân bằng, bất kể vật đang lệch sang bên nào. Công thức này chỉ đúng khi bỏ qua ma sát và lò xo còn trong giới hạn đàn hồi.

Lực kéo về của con lắc lò xo luôn tuân theo $F=-kx$: độ lớn tỉ lệ thuận với li độ, còn dấu trừ đảm bảo lực luôn hướng về vị trí cân bằng, bất kể vật đang lệch sang bên nào. Công thức này chỉ đúng khi bỏ qua ma sát và lò xo còn trong giới hạn đàn hồi.

Bài tiếp theo dùng chính công thức lực kéo về $F=-kx$ để suy ra chu kì và tần số dao động của con lắc lò xo — hai đại lượng cho biết con lắc dao động nhanh hay chậm, và phụ thuộc vào $m$ , $k$ như thế nào.