Bài học

Ôn tập tổng hợp: con lắc lò xo, con lắc đơn và năng lượng dao động

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp các công thức về lực kéo về, chu kì và năng lượng của con lắc lò xo cùng con lắc đơn để giải các bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra và đề thi.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không đưa ra công thức mới. Nó dùng lại toàn bộ nội dung của các bài trước: lực kéo về $F=-kx$ (con lắc lò xo) và $F\approx-mg(s/\ell)$ (con lắc đơn), chu kì $T=2\pi\sqrt{m/k}$ và $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ , cùng công thức năng lượng $W_đ=\frac12mv^2$ , $W_t=\frac12kx^2$ , $W=\frac12kA^2$ .

Bài này không đưa ra công thức mới. Nó dùng lại toàn bộ nội dung của các bài trước: lực kéo về $F=-kx$ (con lắc lò xo) và $F\approx-mg(s/\ell)$ (con lắc đơn), chu kì $T=2\pi\sqrt{m/k}$ và $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$, cùng công thức năng lượng $W_đ=\frac12mv^2$, $W_t=\frac12kx^2$, $W=\frac12kA^2$.

Khởi động

Một đề kiểm tra thường không hỏi riêng lẻ từng công thức, mà yêu cầu em kết hợp nhiều công thức trong cùng một bài — ví dụ tính chu kì rồi dùng nó để suy ra một đại lượng năng lượng. Bài ôn tập này luyện đúng kỹ năng đó.

So sánh hai loại con lắc

Có thể kiểm chứng lại sự khác biệt này bằng số liệu đã tính ở các bài trước. Với con lắc lò xo có $k=40$ N/m, khi khối lượng tăng từ $m=0{,}1$ kg lên $m=0{,}4$ kg (gấp 4 lần), chu kì tăng từ $T_1=0{,}314$ s lên $T_2=0{,}628$ s (gấp $\sqrt{4}=2$ lần) — khối lượng có ảnh hưởng rõ rệt. Trong khi đó, với một con lắc đơn dài $\ell=1$ m tại nơi có $g=9{,}8$ m/s², chu kì luôn xấp xỉ $2{,}007$ s dù treo quả cầu nặng $0{,}1$ kg hay $1$ kg — khối lượng hoàn toàn không xuất hiện trong kết quả.

Về năng lượng, cả hai loại con lắc đều có động năng và thế năng biến đổi ngược pha, cùng cộng lại thành một cơ năng không đổi khi bỏ qua ma sát — nhưng chương trình phổ thông chỉ yêu cầu tính toán số liệu cụ thể với công thức năng lượng của con lắc lò xo ( $W_t=\frac12kx^2$ ), vì thế năng của con lắc đơn có dạng phức tạp hơn về mặt lượng giác.

Chiến lược chung khi gặp một bài toán tổng hợp về dao động cơ học: trước tiên xác định đúng loại con lắc (lò xo hay đơn) để chọn đúng công thức chu kì; sau đó, nếu đề hỏi về năng lượng, viết biểu thức $W=W_đ+W_t=\frac12kA^2$ và xác định đại lượng nào đã biết, đại lượng nào cần tìm, rồi giải bằng đại số; cuối cùng luôn kiểm tra lại đơn vị và tính hợp lí của con số kết quả trước khi kết luận. Một dấu hiệu để phát hiện nhầm lẫn ngay khi đang làm bài: nếu đề cho khối lượng và độ cứng lò xo mà công thức tính ra không cần dùng đến khối lượng, khả năng cao em đã áp nhầm công thức của con lắc đơn, và ngược lại.

Một dạng câu hỏi tổng hợp khác thường gặp trong đề kiểm tra là yêu cầu tính đại lượng ở một thời điểm KHÔNG đặc biệt (không phải biên, không phải vị trí cân bằng), buộc phải phối hợp công thức năng lượng thay vì công thức về pha dao động. Ví dụ, nếu biết cơ năng $W$ và độ cứng $k$ , muốn tìm li độ $x$ tại vị trí động năng gấp đôi thế năng ( $W_đ=2W_t$ ), ta lập luận: vì $W_đ+W_t=W$ và $W_đ=2W_t$ , suy ra $3W_t=W$ , tức $W_t=W/3$ . Từ $W_t=\frac12kx^2=W/3$ , giải ra $x=\sqrt{2W/(3k)}$ — hoàn toàn không cần biết tốc độ hay thời điểm nào, chỉ cần đại số quen thuộc từ bài Cơ năng. Đây chính là kiểu suy luận mà đề thi tốt nghiệp THPT thường khai thác: cho một điều kiện tỉ lệ giữa hai dạng năng lượng, rồi yêu cầu tìm lại li độ hoặc tốc độ tương ứng, thay vì hỏi thẳng công thức.

Trước khi làm bài toán tổng hợp, hãy đặt hai loại con lắc cạnh nhau để thấy rõ điểm giống và khác. Cả hai đều có lực kéo về tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ, nên đều dao động điều hòa (với con lắc đơn thì chỉ đúng khi góc lệch nhỏ). Nhưng công thức chu kì của chúng phụ thuộc vào những đại lượng rất khác nhau: chu kì con lắc lò xo $T=2\pi\sqrt{m/k}$ phụ thuộc khối lượng vật và độ cứng lò xo, còn chu kì con lắc đơn $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ hoàn toàn không phụ thuộc khối lượng, chỉ phụ thuộc chiều dài dây và gia tốc trọng trường. Có thể kiểm chứng lại sự khác biệt này bằng số liệu đã tính ở các bài trước. Với con lắc lò xo có $k=40$ N/m, khi khối lượng tăng từ $m=0{,}1$ kg lên $m=0{,}4$ kg (gấp 4 lần), chu kì tăng từ $T_1=0{,}314$ s lên $T_2=0{,}628$ s (gấp $\sqrt{4}=2$ lần) — khối lượng có ảnh hưởng rõ rệt. Trong khi đó, với một con lắc đơn dài $\ell=1$ m tại nơi có $g=9{,}8$ m/s², chu kì luôn xấp xỉ $2{,}007$ s dù treo quả cầu nặng $0{,}1$ kg hay $1$ kg — khối lượng hoàn toàn không xuất hiện trong kết quả. Về năng lượng, cả hai loại con lắc đều có động năng và thế năng biến đổi ngược pha, cùng cộng lại thành một cơ năng không đổi khi bỏ qua ma sát — nhưng chương trình phổ thông chỉ yêu cầu tính toán số liệu cụ thể với công thức năng lượng của con lắc lò xo ($W_t=\frac12kx^2$), vì thế năng của con lắc đơn có dạng phức tạp hơn về mặt lượng giác. Chiến lược chung khi gặp một bài toán tổng hợp về dao động cơ học: trước tiên xác định đúng loại con lắc (lò xo hay đơn) để chọn đúng công thức chu kì; sau đó, nếu đề hỏi về năng lượng, viết biểu thức $W=W_đ+W_t=\frac12kA^2$ và xác định đại lượng nào đã biết, đại lượng nào cần tìm, rồi giải bằng đại số; cuối cùng luôn kiểm tra lại đơn vị và tính hợp lí của con số kết quả trước khi kết luận. Một dấu hiệu để phát hiện nhầm lẫn ngay khi đang làm bài: nếu đề cho khối lượng và độ cứng lò xo mà công thức tính ra không cần dùng đến khối lượng, khả năng cao em đã áp nhầm công thức của con lắc đơn, và ngược lại. Một dạng câu hỏi tổng hợp khác thường gặp trong đề kiểm tra là yêu cầu tính đại lượng ở một thời điểm KHÔNG đặc biệt (không phải biên, không phải vị trí cân bằng), buộc phải phối hợp công thức năng lượng thay vì công thức về pha dao động. Ví dụ, nếu biết cơ năng $W$ và độ cứng $k$, muốn tìm li độ $x$ tại vị trí động năng gấp đôi thế năng ($W_đ=2W_t$), ta lập luận: vì $W_đ+W_t=W$ và $W_đ=2W_t$, suy ra $3W_t=W$, tức $W_t=W/3$. Từ $W_t=\frac12kx^2=W/3$, giải ra $x=\sqrt{2W/(3k)}$ — hoàn toàn không cần biết tốc độ hay thời điểm nào, chỉ cần đại số quen thuộc từ bài Cơ năng. Đây chính là kiểu suy luận mà đề thi tốt nghiệp THPT thường khai thác: cho một điều kiện tỉ lệ giữa hai dạng năng lượng, rồi yêu cầu tìm lại li độ hoặc tốc độ tương ứng, thay vì hỏi thẳng công thức.

Ví dụ

So sánh ảnh hưởng của khối lượng lên chu kì hai loại con lắc

1
Một con lắc lò xo có $k=40$ N/m và một con lắc đơn có $\ell=1$ m tại nơi $g=9{,}8$ m/s². a) Tính chu kì của con lắc lò xo khi $m=0{,}1$ kg và khi $m=0{,}4$ kg. b) Tính chu kì của con lắc đơn ứng với hai vật có khối lượng $0{,}1$ kg và $1$ kg. c) Nhận xét về ảnh hưởng của khối lượng lên chu kì mỗi loại con lắc.
Một con lắc lò xo có $k=40$ N/m và một con lắc đơn có $\ell=1$ m tại nơi $g=9{,}8$ m/s². a) Tính chu kì của con lắc lò xo khi $m=0{,}1$ kg và khi $m=0{,}4$ kg. b) Tính chu kì của con lắc đơn ứng với hai vật có khối lượng $0{,}1$ kg và $1$ kg. c) Nhận xét về ảnh hưởng của khối lượng lên chu kì mỗi loại con lắc.
2
$T_1=2\pi\sqrt{0{,}1/40}=2\pi\times0{,}05\approx0{,}314$ s. $T_2=2\pi\sqrt{0{,}4/40}=2\pi\times0{,}1\approx0{,}628$ s.
$T_1=2\pi\sqrt{0{,}1/40}=2\pi\times0{,}05\approx0{,}314$ s. $T_2=2\pi\sqrt{0{,}4/40}=2\pi\times0{,}1\approx0{,}628$ s.
3
Vì công thức $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ không chứa khối lượng, cả hai vật đều cho cùng một chu kì: $T=2\pi\sqrt{1/9{,}8}\approx2\pi\times0{,}3194\approx2{,}007$ s, bất kể vật nặng $0{,}1$ kg hay $1$ kg.
Vì công thức $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ không chứa khối lượng, cả hai vật đều cho cùng một chu kì: $T=2\pi\sqrt{1/9{,}8}\approx2\pi\times0{,}3194\approx2{,}007$ s, bất kể vật nặng $0{,}1$ kg hay $1$ kg.
4
Với con lắc lò xo, khối lượng tăng gấp 4 lần khiến chu kì tăng gấp $2$ lần ( $T_2=2T_1$ ). Với con lắc đơn, khối lượng tăng gấp 10 lần mà chu kì không đổi. Vậy khối lượng ảnh hưởng trực tiếp đến chu kì con lắc lò xo, nhưng hoàn toàn không ảnh hưởng đến chu kì con lắc đơn.
Với con lắc lò xo, khối lượng tăng gấp 4 lần khiến chu kì tăng gấp $2$ lần ($T_2=2T_1$). Với con lắc đơn, khối lượng tăng gấp 10 lần mà chu kì không đổi. Vậy khối lượng ảnh hưởng trực tiếp đến chu kì con lắc lò xo, nhưng hoàn toàn không ảnh hưởng đến chu kì con lắc đơn.
5
Ngược lại, nếu câu hỏi đổi thành "tăng $\ell$ gấp 4 lần" cho con lắc đơn (giữ $g$ không đổi), chu kì mới sẽ là $T'=T\sqrt{4}=2T\approx4{,}01$ s — vì lần này $\ell$ mới là đại lượng nằm trong căn, đóng đúng vai trò mà $m$ đóng ở con lắc lò xo. Đối chiếu lại: cái gì nằm trong căn của công thức chu kì mới là cái quyết định tỉ lệ thay đổi, không phải cứ đổi đại lượng nào của con lắc cũng làm chu kì đổi theo cùng một quy luật.
Ngược lại, nếu câu hỏi đổi thành "tăng $\ell$ gấp 4 lần" cho con lắc đơn (giữ $g$ không đổi), chu kì mới sẽ là $T'=T\sqrt{4}=2T\approx4{,}01$ s — vì lần này $\ell$ mới là đại lượng nằm trong căn, đóng đúng vai trò mà $m$ đóng ở con lắc lò xo. Đối chiếu lại: cái gì nằm trong căn của công thức chu kì mới là cái quyết định tỉ lệ thay đổi, không phải cứ đổi đại lượng nào của con lắc cũng làm chu kì đổi theo cùng một quy luật.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: chu kì, cơ năng và vị trí Wt=Wđ

1
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có $k=100$ N/m, $m=0{,}5$ kg, dao động điều hòa với biên độ $A=5$ cm. a) Tính chu kì $T$ . b) Tính cơ năng $W$ . c) Tính tốc độ $v$ của vật tại vị trí mà $W_t=W_đ$ .
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có $k=100$ N/m, $m=0{,}5$ kg, dao động điều hòa với biên độ $A=5$ cm. a) Tính chu kì $T$. b) Tính cơ năng $W$. c) Tính tốc độ $v$ của vật tại vị trí mà $W_t=W_đ$.
2
$T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{0{,}5/100}=2\pi\sqrt{0{,}005}\approx2\pi\times0{,}0707\approx0{,}444$ s.
$T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{0{,}5/100}=2\pi\sqrt{0{,}005}\approx2\pi\times0{,}0707\approx0{,}444$ s.
3
Đổi $A=0{,}05$ m. $W=\frac12kA^2=\frac12\times100\times0{,}05^2=50\times0{,}0025=0{,}125$ J.
Đổi $A=0{,}05$ m. $W=\frac12kA^2=\frac12\times100\times0{,}05^2=50\times0{,}0025=0{,}125$ J.
4
Vì $W_t=W_đ$ và $W_t+W_đ=W$ , mỗi phần bằng nửa cơ năng: $W_t=W_đ=W/2=0{,}0625$ J. Từ $W_t=\frac12kx^2$ , suy ra $x^2=2W_t/k=2\times0{,}0625/100=0{,}00125$ , nên $x=\sqrt{0{,}00125}\approx0{,}0354$ m $\approx3{,}54$ cm (đúng bằng $A/\sqrt2$ ).
Vì $W_t=W_đ$ và $W_t+W_đ=W$, mỗi phần bằng nửa cơ năng: $W_t=W_đ=W/2=0{,}0625$ J. Từ $W_t=\frac12kx^2$, suy ra $x^2=2W_t/k=2\times0{,}0625/100=0{,}00125$, nên $x=\sqrt{0{,}00125}\approx0{,}0354$ m $\approx3{,}54$ cm (đúng bằng $A/\sqrt2$).
5
Từ $W_đ=\frac12mv^2$ , suy ra $v=\sqrt{2W_đ/m}=\sqrt{2\times0{,}0625/0{,}5}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ m/s.
Từ $W_đ=\frac12mv^2$, suy ra $v=\sqrt{2W_đ/m}=\sqrt{2\times0{,}0625/0{,}5}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ m/s.
6
Kết quả $x\approx3{,}54$ cm nhỏ hơn biên độ $A=5$ cm (hợp lí, vì đây là vị trí trung gian, không phải biên), và $v=0{,}5$ m/s là một số tròn, dấu hiệu tính đúng. Vậy $T\approx0{,}444$ s, $W=0{,}125$ J, tại vị trí $x\approx3{,}54$ cm thì $v=0{,}5$ m/s.
Kết quả $x\approx3{,}54$ cm nhỏ hơn biên độ $A=5$ cm (hợp lí, vì đây là vị trí trung gian, không phải biên), và $v=0{,}5$ m/s là một số tròn, dấu hiệu tính đúng. Vậy $T\approx0{,}444$ s, $W=0{,}125$ J, tại vị trí $x\approx3{,}54$ cm thì $v=0{,}5$ m/s.
7
Vị trí $x\approx3{,}54$ cm tìm được ở câu c đúng bằng $A/\sqrt2=5/\sqrt2\approx3{,}54$ cm — đây không phải trùng hợp mà là một kết quả tổng quát: với BẤT KÌ con lắc lò xo nào, vị trí có $W_t=W_đ$ luôn nằm tại $x=\pm A/\sqrt2$ , không phụ thuộc vào $k$ hay $m$ cụ thể. Đây là một kết quả đáng nhớ, giúp trả lời nhanh dạng câu hỏi này mà không cần giải lại từ đầu mỗi lần gặp.
Vị trí $x\approx3{,}54$ cm tìm được ở câu c đúng bằng $A/\sqrt2=5/\sqrt2\approx3{,}54$ cm — đây không phải trùng hợp mà là một kết quả tổng quát: với BẤT KÌ con lắc lò xo nào, vị trí có $W_t=W_đ$ luôn nằm tại $x=\pm A/\sqrt2$, không phụ thuộc vào $k$ hay $m$ cụ thể. Đây là một kết quả đáng nhớ, giúp trả lời nhanh dạng câu hỏi này mà không cần giải lại từ đầu mỗi lần gặp.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp khi ôn tập tổng hợp: dùng nhầm công thức chu kì của loại con lắc này cho loại con lắc kia (ví dụ dùng $2\pi\sqrt{\ell/g}$ cho con lắc lò xo). Cách kiểm tra nhanh: nếu đề cho độ cứng $k$ thì chắc chắn là con lắc lò xo; nếu đề cho chiều dài dây $\ell$ thì chắc chắn là con lắc đơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giải bài toán tổng hợp về dao động cơ học theo đúng trình tự: xác định loại con lắc để chọn công thức chu kì, viết biểu thức cơ năng nếu cần tính năng lượng, và luôn kiểm tra lại đơn vị cùng tính hợp lí của kết quả.

Khoá học tiếp theo trong chương trình mở rộng sang các dao động chịu tác động từ bên ngoài — dao động tắt dần khi có ma sát, và dao động cưỡng bức khi có ngoại lực tuần hoàn tác dụng liên tục lên hệ.