Bài học

Ghép điện trở song song và mạch hỗn hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được điện trở tương đương của mạch song song, và biết quy một mạch hỗn hợp — có cả phần nối tiếp lẫn phần song song — về một điện trở duy nhất bằng cách thu gọn dần từng lớp của mạch.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học mạch nối tiếp: một đường dẫn duy nhất, dòng điện như nhau ở mọi điểm, $R_{\text{tđ}} = R_1 + R_2$ . Bài này xét kiểu ghép còn lại — song song — rồi kết hợp cả hai để giải các mạch phức tạp hơn.

Bài trước đã học mạch nối tiếp: một đường dẫn duy nhất, dòng điện như nhau ở mọi điểm, $R_{\text{tđ}} = R_1 + R_2$. Bài này xét kiểu ghép còn lại — song song — rồi kết hợp cả hai để giải các mạch phức tạp hơn.

Khởi động

Hai bóng đèn được mắc song song vào cùng một nguồn — nghĩa là hai đầu mỗi bóng nối chung vào đúng hai điểm của nguồn. Nếu một bóng bị đứt dây tóc, bóng còn lại có tắt theo không. So sánh câu trả lời của em với bài trước, khi hai bóng mắc nối tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Dòng điện đi tới điểm chung rồi tách ra chạy theo từng nhánh; theo định luật bảo toàn điện tích tại một điểm nối, tổng dòng điện đi vào bằng tổng dòng điện đi ra, nên cường độ dòng điện toàn mạch bằng tổng cường độ dòng điện qua từng nhánh: $I = I_1 + I_2 + \dots + I_n$ . Áp dụng định luật Ôm cho từng nhánh, $I_k = U/R_k$ , ta có $I = U\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}\right)$ . Mặt khác $I = U/R_{\text{tđ}}$ , so sánh hai vế ta rút ra:

$\frac{1}{R_{\text{tđ}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$

Với đúng hai điện trở, công thức trên rút gọn thành $R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ . Nhận xét quan trọng: điện trở tương đương của mạch song song luôn NHỎ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất, vì thêm một nhánh là thêm một đường cho dòng điện đi qua, khiến toàn mạch dẫn điện dễ hơn.

Khi một mạch vừa có phần nối tiếp vừa có phần song song — gọi là mạch hỗn hợp — cách giải là thu gọn dần: tìm cụm điện trở ghép song song thuần túy, thay cụm đó bằng một điện trở tương đương duy nhất, khi đó mạch trở thành đơn giản hơn (thường là một mạch nối tiếp), rồi cộng nối tiếp phần còn lại. Lặp lại việc "thu gọn từng lớp" cho tới khi cả mạch chỉ còn một điện trở.

Nếu mắc nối tiếp giống một đường ống hẹp nối dài, thì mắc song song giống việc mở thêm một làn đường mới bên cạnh cho xe cộ lưu thông. Nhiều làn đường hơn thì tổng lượng xe qua được trong cùng một khoảng thời gian tăng lên, dù mỗi làn xe riêng vẫn chạy y như trước khi có làn mới — đúng như cường độ dòng điện toàn mạch tăng lên ( $I = I_1+I_2+\dots$ ) trong khi hiệu điện thế trên mỗi nhánh không hề đổi.

Đoạn mạch song song là đoạn mạch trong đó các điện trở có hai đầu nối chung vào đúng hai điểm của mạch, tạo thành nhiều nhánh riêng biệt. Vì hai đầu mỗi điện trở đều là hai điểm chung đó, hiệu điện thế trên mọi nhánh bằng nhau và bằng hiệu điện thế của cả đoạn mạch: $U = U_1 = U_2 = \dots = U_n$. Dòng điện đi tới điểm chung rồi tách ra chạy theo từng nhánh; theo định luật bảo toàn điện tích tại một điểm nối, tổng dòng điện đi vào bằng tổng dòng điện đi ra, nên cường độ dòng điện toàn mạch bằng tổng cường độ dòng điện qua từng nhánh: $I = I_1 + I_2 + \dots + I_n$. Áp dụng định luật Ôm cho từng nhánh, $I_k = U/R_k$, ta có $I = U\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}\right)$. Mặt khác $I = U/R_{\text{tđ}}$, so sánh hai vế ta rút ra: $$\frac{1}{R_{\text{tđ}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$$ Với đúng hai điện trở, công thức trên rút gọn thành $R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Nhận xét quan trọng: điện trở tương đương của mạch song song luôn NHỎ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất, vì thêm một nhánh là thêm một đường cho dòng điện đi qua, khiến toàn mạch dẫn điện dễ hơn. Khi một mạch vừa có phần nối tiếp vừa có phần song song — gọi là mạch hỗn hợp — cách giải là thu gọn dần: tìm cụm điện trở ghép song song thuần túy, thay cụm đó bằng một điện trở tương đương duy nhất, khi đó mạch trở thành đơn giản hơn (thường là một mạch nối tiếp), rồi cộng nối tiếp phần còn lại. Lặp lại việc "thu gọn từng lớp" cho tới khi cả mạch chỉ còn một điện trở. Nếu mắc nối tiếp giống một đường ống hẹp nối dài, thì mắc song song giống việc mở thêm một làn đường mới bên cạnh cho xe cộ lưu thông. Nhiều làn đường hơn thì tổng lượng xe qua được trong cùng một khoảng thời gian tăng lên, dù mỗi làn xe riêng vẫn chạy y như trước khi có làn mới — đúng như cường độ dòng điện toàn mạch tăng lên ($I = I_1+I_2+\dots$) trong khi hiệu điện thế trên mỗi nhánh không hề đổi.

Khi mắc song song,

R_{\text{tđ}}

luôn nhỏ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất — ở đây nhỏ hơn cả 3 Ω.Khi mắc song song, $R_{\text{tđ}}$ luôn nhỏ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất — ở đây nhỏ hơn cả 3 Ω.

Ví dụ

Tính điện trở tương đương và dòng điện trong mạch song song

1
Cho hai điện trở $R_1 = 3$ Ω và $R_2 = 6$ Ω mắc song song, đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế $U = 6$ V. Tính điện trở tương đương và cường độ dòng điện qua mỗi nhánh, qua cả mạch.
Cho hai điện trở $R_1 = 3$ Ω và $R_2 = 6$ Ω mắc song song, đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế $U = 6$ V. Tính điện trở tương đương và cường độ dòng điện qua mỗi nhánh, qua cả mạch.
2
Áp dụng công thức hai điện trở song song: $R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{3 \times 6}{3+6} = \dfrac{18}{9} = 2$ Ω.
Áp dụng công thức hai điện trở song song: $R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{3 \times 6}{3+6} = \dfrac{18}{9} = 2$ Ω.
3
Vì mạch song song nên $U_1 = U_2 = U = 6$ V. Áp dụng định luật Ôm cho từng nhánh: $I_1 = U/R_1 = 6/3 = 2$ A; $I_2 = U/R_2 = 6/6 = 1$ A.
Vì mạch song song nên $U_1 = U_2 = U = 6$ V. Áp dụng định luật Ôm cho từng nhánh: $I_1 = U/R_1 = 6/3 = 2$ A; $I_2 = U/R_2 = 6/6 = 1$ A.
4
$I = I_1 + I_2 = 2 + 1 = 3$ A. Kiểm tra lại bằng công thức tương đương: $I = U/R_{\text{tđ}} = 6/2 = 3$ A, khớp với kết quả cộng hai nhánh. Vậy $R_{\text{tđ}} = 2$ Ω, $I_1 = 2$ A, $I_2 = 1$ A, $I = 3$ A.
$I = I_1 + I_2 = 2 + 1 = 3$ A. Kiểm tra lại bằng công thức tương đương: $I = U/R_{\text{tđ}} = 6/2 = 3$ A, khớp với kết quả cộng hai nhánh. Vậy $R_{\text{tđ}} = 2$ Ω, $I_1 = 2$ A, $I_2 = 1$ A, $I = 3$ A.

Thu gọn một mạch hỗn hợp — từng bước một

Xét một mạch phức tạp hơn: điện trở $R_1$ mắc nối tiếp với một cụm gồm $R_2$ song song $R_3$ . Không thể cộng cả ba điện trở cùng một lúc — phải thu gọn cụm song song trước, biến nó thành một điện trở duy nhất, rồi mới cộng nối tiếp với $R_1$ . Sơ đồ dưới đây thể hiện đúng trình tự thu gọn đó, khớp với từng bước của lời giải bên dưới.

Xét một mạch phức tạp hơn: điện trở $R_1$ mắc nối tiếp với một cụm gồm $R_2$ song song $R_3$. Không thể cộng cả ba điện trở cùng một lúc — phải thu gọn cụm song song trước, biến nó thành một điện trở duy nhất, rồi mới cộng nối tiếp với $R_1$. Sơ đồ dưới đây thể hiện đúng trình tự thu gọn đó, khớp với từng bước của lời giải bên dưới.

Ví dụ

Mạch hỗn hợp — R1 nối tiếp với (R2 song song R3)

1
Một đoạn mạch gồm điện trở $R_1 = 2$ Ω mắc nối tiếp với cụm hai điện trở $R_2 = R_3 = 4$ Ω mắc song song với nhau. Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế $U = 8$ V. Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch và cường độ dòng điện mạch chính.
Một đoạn mạch gồm điện trở $R_1 = 2$ Ω mắc nối tiếp với cụm hai điện trở $R_2 = R_3 = 4$ Ω mắc song song với nhau. Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế $U = 8$ V. Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch và cường độ dòng điện mạch chính.
2
$R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3} = \dfrac{4 \times 4}{4+4} = \dfrac{16}{8} = 2$ Ω. Mạch bây giờ chỉ còn $R_1$ nối tiếp $R_{23}$ .
$R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3} = \dfrac{4 \times 4}{4+4} = \dfrac{16}{8} = 2$ Ω. Mạch bây giờ chỉ còn $R_1$ nối tiếp $R_{23}$.
3
$R_{\text{tđ}} = R_1 + R_{23} = 2 + 2 = 4$ Ω.
$R_{\text{tđ}} = R_1 + R_{23} = 2 + 2 = 4$ Ω.
4
$I = U/R_{\text{tđ}} = 8/4 = 2$ A. Đây là dòng điện đi qua $R_1$ , sau đó chia đều cho $R_2$ và $R_3$ (vì $R_2 = R_3$ ): mỗi nhánh nhận $I_2 = I_3 = 1$ A, và $I_2 + I_3 = 2$ A đúng bằng dòng điện mạch chính. Vậy $R_{\text{tđ}} = 4$ Ω, $I = 2$ A.
$I = U/R_{\text{tđ}} = 8/4 = 2$ A. Đây là dòng điện đi qua $R_1$, sau đó chia đều cho $R_2$ và $R_3$ (vì $R_2 = R_3$): mỗi nhánh nhận $I_2 = I_3 = 1$ A, và $I_2 + I_3 = 2$ A đúng bằng dòng điện mạch chính. Vậy $R_{\text{tđ}} = 4$ Ω, $I = 2$ A.

Ví dụ

Mạch hỗn hợp dạng ngược lại — R1 song song với (R2 nối tiếp R3)

1
Một đoạn mạch khác gồm điện trở $R_1 = 6$ Ω mắc song song với cụm gồm $R_2 = 2$ Ω nối tiếp $R_3 = 2$ Ω. Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch.
Một đoạn mạch khác gồm điện trở $R_1 = 6$ Ω mắc song song với cụm gồm $R_2 = 2$ Ω nối tiếp $R_3 = 2$ Ω. Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch.
2
Lần này cụm cần thu gọn trước lại là cụm nối tiếp: $R_{23} = R_2 + R_3 = 2 + 2 = 4$ Ω. Mạch bây giờ chỉ còn $R_1$ song song $R_{23}$ .
Lần này cụm cần thu gọn trước lại là cụm nối tiếp: $R_{23} = R_2 + R_3 = 2 + 2 = 4$ Ω. Mạch bây giờ chỉ còn $R_1$ song song $R_{23}$.
3
$R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_{23}}{R_1+R_{23}} = \dfrac{6 \times 4}{6+4} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$ Ω.
$R_{\text{tđ}} = \dfrac{R_1 R_{23}}{R_1+R_{23}} = \dfrac{6 \times 4}{6+4} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$ Ω.
4
Nguyên tắc "thu gọn cụm nhỏ nhất trước" áp dụng cho cả hai chiều: khi cụm cần thu gọn là song song thì dùng công thức song song trước; khi cụm cần thu gọn là nối tiếp (như ví dụ này) thì cộng nối tiếp trước, rồi mới ghép kết quả đó với phần còn lại của mạch theo đúng cách chúng được nối với nhau. Vậy $R_{\text{tđ}} = 2{,}4$ Ω.
Nguyên tắc "thu gọn cụm nhỏ nhất trước" áp dụng cho cả hai chiều: khi cụm cần thu gọn là song song thì dùng công thức song song trước; khi cụm cần thu gọn là nối tiếp (như ví dụ này) thì cộng nối tiếp trước, rồi mới ghép kết quả đó với phần còn lại của mạch theo đúng cách chúng được nối với nhau. Vậy $R_{\text{tđ}} = 2{,}4$ Ω.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp: cộng trực tiếp $R_2 + R_3$ như mạch nối tiếp dù đề cho chúng mắc song song, hoặc cộng cả ba điện trở $R_1, R_2, R_3$ trong một bước duy nhất mà quên rằng phải thu gọn cụm song song trước rồi mới cộng nối tiếp phần còn lại. Luôn thu gọn "từ trong ra ngoài": xử lý cụm nhỏ nhất trước, rồi mới ghép nó vào phần còn lại của mạch.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mạch song song: hiệu điện thế như nhau trên mọi nhánh, $\dfrac{1}{R_{\text{tđ}}} = \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dots$ , luôn nhỏ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất. Mạch hỗn hợp: thu gọn cụm song song thành một điện trở trước, rồi cộng nối tiếp phần còn lại — làm từng lớp một, từ trong ra ngoài.

Mạch song song: hiệu điện thế như nhau trên mọi nhánh, $\dfrac{1}{R_{\text{tđ}}} = \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dots$, luôn nhỏ hơn điện trở nhánh nhỏ nhất. Mạch hỗn hợp: thu gọn cụm song song thành một điện trở trước, rồi cộng nối tiếp phần còn lại — làm từng lớp một, từ trong ra ngoài.

Cách ghép song song còn giải thích vì sao các dây đèn LED trang trí hiện đại không bị tắt cả dây khi một bóng hỏng như dây đèn sợi đốt kiểu cũ ở bài trước: nhiều dây đèn LED chia mạch thành nhiều nhánh song song hoặc gắn thêm điốt vòng qua từng bóng, nên một bóng hỏng chỉ ảnh hưởng đến đúng nhánh đó, các nhánh còn lại vẫn nhận đủ hiệu điện thế và tiếp tục sáng bình thường.

Ý tưởng ghép nối tiếp và ghép song song vừa học cho điện trở áp dụng gần như nguyên vẹn cho một đối tượng khác — nguồn điện. Chương tiếp theo dùng lại đúng cách suy luận đó để ghép nhiều pin hoặc acquy thành một bộ nguồn.