Bài học

Cầu Wheatstone cân bằng và không đối xứng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra cầu cân bằng và giải được cầu lệch bằng điện thế nút, kể cả dòng rất nhỏ qua nhánh cầu.

Kiến thức cần có

Cần định luật Ohm, Kirchhoff nút, điện thế nút và điều kiện hai điểm đồng thế.

Mở rộng dành cho HSG. YCCĐ Vật lí 11 giải mạch một vòng, ghép nguồn quen thuộc và công suất điện. Khóa này thêm mạch cầu không đối xứng, biến đổi sao–tam giác, tối ưu công suất, tối ưu cách ghép nguồn theo ước nguyên và nhánh tụ ở trạng thái ổn định. Mỗi kĩ thuật ngoài chuẩn được giới thiệu từ định luật Kirchhoff, Ohm, bảo toàn năng lượng hoặc điện tích; tiền đề là Course 1–4 và đại số phổ thông, không dùng số phức hay phương trình vi phân mạch.

**Mở rộng dành cho HSG.** YCCĐ Vật lí 11 giải mạch một vòng, ghép nguồn quen thuộc và công suất điện. Khóa này thêm mạch cầu không đối xứng, biến đổi sao–tam giác, tối ưu công suất, tối ưu cách ghép nguồn theo ước nguyên và nhánh tụ ở trạng thái ổn định. Mỗi kĩ thuật ngoài chuẩn được giới thiệu từ định luật Kirchhoff, Ohm, bảo toàn năng lượng hoặc điện tích; tiền đề là Course 1–4 và đại số phổ thông, không dùng số phức hay phương trình vi phân mạch.

Câu hỏi mở đầu

Một điện trở cầu 5 Ω có chắc chắn mang dòng lớn vì điện trở nhỏ không?

Ý tưởng cốt lõi

Mạch cầu có hai nhánh $(R_1,R_2)$ và $(R_3,R_4)$ giữa A,B, điện trở $R_5$ nối hai trung điểm P,Q. Nếu $R_1/R_2=R_3/R_4$ , hay $R_1R_4=R_2R_3$ , hai bộ chia áp cho $V_P=V_Q$ nên $I_5=0$ bất kể R5. Khi tích chéo không bằng, R5 có dòng và làm thay đổi cả VP,VQ; không được bỏ nó rồi tính hiệu hai bộ chia độc lập. Đặt VA=U, VB=0 và viết Kirchhoff tại P,Q là đường giải chắc chắn.

Mạch cầu có hai nhánh $(R_1,R_2)$ và $(R_3,R_4)$ giữa A,B, điện trở $R_5$ nối hai trung điểm P,Q. Nếu $R_1/R_2=R_3/R_4$, hay $R_1R_4=R_2R_3$, hai bộ chia áp cho $V_P=V_Q$ nên $I_5=0$ bất kể R5. Khi tích chéo không bằng, R5 có dòng và làm thay đổi cả VP,VQ; không được bỏ nó rồi tính hiệu hai bộ chia độc lập. Đặt VA=U, VB=0 và viết Kirchhoff tại P,Q là đường giải chắc chắn.

Điều kiện cân bằng được kiểm trước; chỉ cầu lệch mới cần hệ nút đầy đủ.

Đào sâu và chuyển giao

Phương trình nút P là $(V_P-U)/R_1+V_P/R_2+(V_P-V_Q)/R_5=0$ ; nút Q tương tự. Dấu của $I_5=(V_P-V_Q)/R_5$ cho chiều thật. Nếu kết quả âm so với chiều giả sử, không lấy trị tuyệt đối rồi giữ mũi tên cũ; phải nói dòng chạy ngược. Ở gần cân bằng, I5 có thể rất nhỏ dù R5 nhỏ vì điện áp cầu gần 0.

Phương trình nút P là $(V_P-U)/R_1+V_P/R_2+(V_P-V_Q)/R_5=0$; nút Q tương tự. Dấu của $I_5=(V_P-V_Q)/R_5$ cho chiều thật. Nếu kết quả âm so với chiều giả sử, không lấy trị tuyệt đối rồi giữ mũi tên cũ; phải nói dòng chạy ngược. Ở gần cân bằng, I5 có thể rất nhỏ dù R5 nhỏ vì điện áp cầu gần 0.

Kiểm tích chéo là bước chẩn đoán, không phải công thức trang trí. Nó còn cho biết nhánh đo trong cầu cảm biến có thể xem như không tải. Nếu nguồn có điện trở trong, điều kiện cân bằng tỉ số vẫn giữ vì nó chỉ phụ thuộc tỉ lệ hai nhánh, nhưng dòng tổng và điện áp A–B đổi. Nếu dụng cụ đo có điện trở hữu hạn, nó chính là R5.

Bài chuẩn chỉ có nối tiếp–song song; bài HSG bắt chọn giữa đường tắt cân bằng và hệ hai ẩn. Kiểm ngược bằng tổng dòng tại P,Q và công suất nguồn bằng tổng công suất điện trở. Một lời giải dùng Kirchhoff cho cầu cân bằng vẫn đúng nhưng dài; lời giải bỏ R5 ở cầu lệch là sai mô hình.

Bản đồ phương pháp

Trước khi tính, tô màu các nút và viết trạng thái mạch. Kiểm xem có nhánh bằng 0, phần tử nối tiếp/song song thật sự hay không. Chỉ sau đó chọn công cụ: cầu cân bằng để rút gọn; Kirchhoff cho cầu lệch; sao–tam giác cho mạng không rút trực tiếp; AM–GM cho cực trị; liệt kê ước cho ghép nguồn; hở mạch cho tụ ở trạng thái ổn định. Một công thức đúng nhưng dùng trước bước nhận dạng vẫn có thể sai toàn bài.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, đặt chiều dòng và điện thế nút rõ ràng; nêu định luật trước phương trình; đánh số các hệ thức dùng lại. Bài cực trị phải ghi miền dương và điều kiện dấu bằng. Bài tối ưu rời rạc phải liệt kê mọi cặp ước hợp lệ, không chỉ làm tròn nghiệm liên tục. Mỗi phần kết thúc bằng “Vậy …” với A, V, Ω, W hoặc μC đúng đơn vị và có kiểm ngược.

Trong **Hướng dẫn giải**, đặt chiều dòng và điện thế nút rõ ràng; nêu định luật trước phương trình; đánh số các hệ thức dùng lại. Bài cực trị phải ghi miền dương và điều kiện dấu bằng. Bài tối ưu rời rạc phải liệt kê mọi cặp ước hợp lệ, không chỉ làm tròn nghiệm liên tục. Mỗi phần kết thúc bằng “Vậy …” với A, V, Ω, W hoặc μC đúng đơn vị và có kiểm ngược.

Kiểm ngược

Kiểm ngược bằng một đường khác: thế điện thế nút vào mọi nhánh; so điện trở tương đương sao–tam giác giữa từng cặp cực; cho tải tiến về 0 hoặc vô hạn; tính lại dòng từ suất điện động và điện trở tương đương; kiểm $mn=N$ ; hoặc xác nhận nhánh tụ có I=0 nhưng U có thể khác 0. Kết quả tối ưu phải thắng hoặc hòa mọi phương án lân cận.

Kiểm ngược bằng một đường khác: thế điện thế nút vào mọi nhánh; so điện trở tương đương sao–tam giác giữa từng cặp cực; cho tải tiến về 0 hoặc vô hạn; tính lại dòng từ suất điện động và điện trở tương đương; kiểm $mn=N$; hoặc xác nhận nhánh tụ có I=0 nhưng U có thể khác 0. Kết quả tối ưu phải thắng hoặc hòa mọi phương án lân cận.

Error-log

Error-log ghi nguyên nhân sớm nhất: bỏ nhánh cầu khi chưa cân bằng, dùng sai mẫu số sao–tam giác, nhớ máy móc R=r khi còn điện trở cố định, chọn m=n dù N không là số chính phương, hay coi tụ ổn định là dây nối. Mỗi lỗi gắn với thao tác sửa: kiểm tích chéo, vẽ lại ba nút, đưa mạch về Thévenin, lập bảng ước, hoặc vẽ nhánh tụ hở.

Ví dụ

Cầu cân bằng trong dữ kiện tưởng phức tạp

1
R1=10 Ω,R2=20 Ω,R3=15 Ω,R4=30 Ω,R5=5 Ω, U=24 V. Tìm dòng qua R5 và dòng nguồn.
2
R5 nhỏ nhưng hiệu điện thế hai đầu có thể bằng 0; phải kiểm tỉ lệ trước.
3
Tích chéo bằng nhau nên bỏ nhánh cầu có căn cứ, rồi ghép hai nhánh song song.
4
Ta có $R_1R_4=10\cdot30=300$ và $R_2R_3=20\cdot15=300$ , nên cầu cân bằng. Do đó $V_P=V_Q$ và $I_5=0$ . Nhánh trái có $R_{12}=30$ Ω, nhánh phải $R_{34}=45$ Ω; hai nhánh song song nên $R_{eq}=30\cdot45/(30+45)=18$ Ω. Dòng nguồn $I=24/18=4/3$ A. Vậy dòng qua R5 bằng 0 và dòng nguồn bằng 1,333 A.
Ta có $R_1R_4=10\cdot30=300$ và $R_2R_3=20\cdot15=300$, nên cầu cân bằng. Do đó $V_P=V_Q$ và $I_5=0$. Nhánh trái có $R_{12}=30$ Ω, nhánh phải $R_{34}=45$ Ω; hai nhánh song song nên $R_{eq}=30\cdot45/(30+45)=18$ Ω. Dòng nguồn $I=24/18=4/3$ A. Vậy dòng qua R5 bằng 0 và dòng nguồn bằng 1,333 A.
5
Dòng hai nhánh là 0,8 A và 0,533 A; sụt áp tới trung điểm đều 16 V nếu P,Q lấy phía dưới phù hợp.
6
Đổi R4 thành 25 Ω làm mất cân bằng và R5 không thể bỏ.

Ví dụ

Cầu lệch có dòng cầu nhỏ

1
Giữ R1=10,R2=20,R3=15,R5=5 Ω, đổi R4=25 Ω, U=24 V. Tìm VP,VQ và I5.
2
Hai bộ chia bị R5 ghép nên không được tính riêng rồi lấy hiệu.
3
Viết hai phương trình nút với VA=24,VB=0.
4
Tại P: $(V_P-24)/10+V_P/20+(V_P-V_Q)/5=0$ , suy ra $7V_P-4V_Q=48$ . (1) Tại Q: $(V_Q-24)/15+V_Q/25+(V_Q-V_P)/5=0$ , suy ra $-15V_P+23V_Q=120$ . (2) Giải hệ: $V_P=1584/101\approx15{,}683$ V, $V_Q=1560/101\approx15{,}446$ V. Vì vậy $I_5=(V_P-V_Q)/5=24/505\approx0{,}0475$ A, từ P sang Q. Vậy dòng cầu khoảng 47,5 mA.
Tại P: $(V_P-24)/10+V_P/20+(V_P-V_Q)/5=0$, suy ra $7V_P-4V_Q=48$. (1) Tại Q: $(V_Q-24)/15+V_Q/25+(V_Q-V_P)/5=0$, suy ra $-15V_P+23V_Q=120$. (2) Giải hệ: $V_P=1584/101\approx15{,}683$ V, $V_Q=1560/101\approx15{,}446$ V. Vì vậy $I_5=(V_P-V_Q)/5=24/505\approx0{,}0475$ A, từ P sang Q. Vậy dòng cầu khoảng 47,5 mA.
5
Thế lại (1),(2) cho sai số 0; dòng nhỏ vì cầu chỉ lệch nhẹ.
6
Nếu đổi R4 qua phía làm VQ>VP, dòng I5 đảo chiều.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không bỏ R5 trước khi kiểm tích chéo; không dùng hai bộ chia độc lập ở cầu lệch; không bỏ dấu dòng.

Chốt bài: Em đã nhận ra cầu cân bằng và giải được cầu lệch bằng điện thế nút, kể cả dòng rất nhỏ qua nhánh cầu. Bài sau xử lí mạng không có cầu cân bằng bằng biến đổi sao–tam giác.