Bài học

Vận dụng phương trình trạng thái: khí cầu thời tiết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng thành thạo phương trình trạng thái khí lí tưởng cho một quá trình biến đổi nhiều bước, biết chọn đúng cặp trạng thái đầu — cuối cần so sánh, và kiểm tra kết quả bằng cách tính qua một trạng thái trung gian.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã thiết lập phương trình trạng thái $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ (same-grade bridge). Bài này không thêm công thức mới, mà luyện cách dùng đúng công thức đó cho một tình huống áp suất khí quyển giảm dần theo độ cao — kiến thức về khí quyển em đã biết từ môn Địa lí và Khoa học tự nhiên: càng lên cao, không khí càng loãng và lạnh hơn.

Khởi động

Một khí cầu thời tiết được bơm căng một phần ở mặt đất rồi thả lên cao để đo khí quyển. Khi lên đến độ cao hàng chục kilômét, khí cầu phình to hơn hẳn — có khi gấp nhiều lần kích thước lúc phóng — dù không ai bơm thêm khí vào. Điều gì đã xảy ra với khối khí bên trong?

Kiến thức trọng tâm

Với một quá trình dài, nhiều giai đoạn như vậy, cách làm an toàn nhất là: xác định rõ trạng thái đầu (thường là mặt đất, nơi biết đủ cả $p$ , $V$ , $T$ ) và trạng thái cuối cần tìm (nơi đã biết hai trong ba đại lượng), rồi áp dụng trực tiếp phương trình trạng thái nối hai trạng thái đó — không cần quan tâm khí cầu đã trải qua bao nhiêu độ cao trung gian, vì phương trình trạng thái chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối, không phụ thuộc đường đi ở giữa. Nếu đề bài cho thêm một trạng thái trung gian, em hoàn toàn có thể tính qua hai bước rồi so sánh với cách tính trực tiếp một bước — hai cách phải luôn cho cùng một kết quả, đây chính là cách tự kiểm tra bài làm hiệu quả nhất.

Khi khí cầu thời tiết bay lên cao, ba điều xảy ra đồng thời: áp suất khí quyển bên ngoài giảm dần (làm khí cầu phình to để cân bằng áp suất bên trong với bên ngoài), nhiệt độ không khí giảm dần theo độ cao, và thể tích khí cầu tăng lên theo đúng mức phình to đó. Đây là ví dụ điển hình của một quá trình mà CẢ BA đại lượng cùng thay đổi — không thể dùng riêng lẻ Boyle, đẳng tích hay đẳng áp, mà phải dùng đúng phương trình trạng thái tổng quát. Với một quá trình dài, nhiều giai đoạn như vậy, cách làm an toàn nhất là: xác định rõ trạng thái đầu (thường là mặt đất, nơi biết đủ cả $p$, $V$, $T$) và trạng thái cuối cần tìm (nơi đã biết hai trong ba đại lượng), rồi áp dụng trực tiếp phương trình trạng thái nối hai trạng thái đó — không cần quan tâm khí cầu đã trải qua bao nhiêu độ cao trung gian, vì phương trình trạng thái chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối, không phụ thuộc đường đi ở giữa. Nếu đề bài cho thêm một trạng thái trung gian, em hoàn toàn có thể tính qua hai bước rồi so sánh với cách tính trực tiếp một bước — hai cách phải luôn cho cùng một kết quả, đây chính là cách tự kiểm tra bài làm hiệu quả nhất.

Đây cũng là lí do vì sao khí cầu thời tiết thật KHÔNG được bơm căng hết cỡ ngay tại mặt đất, mà chỉ bơm đầy một phần nhỏ vỏ khí cầu. Nếu bơm căng hết ngay từ đầu, khi bay lên cao và thể tích khí có xu hướng tăng theo đúng quy luật vừa học, lớp vỏ đã căng hết mức sẽ không còn chỗ giãn thêm và khí cầu sẽ vỡ ở độ cao còn thấp, trước khi tới được tầng khí quyển cần đo. Bơm chỉ một phần ở mặt đất tạo ra một biên độ giãn nở dự trữ, cho phép khí cầu phình to nhiều lần thể tích ban đầu (đúng như tính toán ở ví dụ dưới đây) trước khi vỏ chạm tới giới hạn đàn hồi và vỡ ở độ cao mong muốn.

Ví dụ

Khí cầu thời tiết bay lên tầng cao

1
Một khí cầu thời tiết ở mặt đất chứa $V_1 = 4$ m³ khí ở $p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa, $T_1 = 27^\circ$ C. Khi lên đến tầng cao, khí cầu phình to đến $V_2 = 16$ m³, nhiệt độ khí giảm còn $T_2 = -33^\circ$ C. Tính áp suất khí trong khí cầu ở tầng cao.
Một khí cầu thời tiết ở mặt đất chứa $V_1 = 4$ m³ khí ở $p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa, $T_1 = 27^\circ$C. Khi lên đến tầng cao, khí cầu phình to đến $V_2 = 16$ m³, nhiệt độ khí giảm còn $T_2 = -33^\circ$C. Tính áp suất khí trong khí cầu ở tầng cao.
2
$T_1 = 27 + 273 = 300$ K; $T_2 = -33 + 273 = 240$ K.
$T_1 = 27 + 273 = 300$ K; $T_2 = -33 + 273 = 240$ K.
3
$p_2 = \dfrac{p_1V_1T_2}{T_1V_2} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 4 \times 240}{300 \times 16} = \dfrac{9{,}6 \times 10^7}{4800} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa.
$p_2 = \dfrac{p_1V_1T_2}{T_1V_2} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 4 \times 240}{300 \times 16} = \dfrac{9{,}6 \times 10^7}{4800} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa.
4
Thể tích tăng gấp 4 lần (một mình yếu tố này sẽ làm áp suất giảm còn 1/4) trong khi nhiệt độ tuyệt đối giảm còn $240/300 = 4/5$ (một mình yếu tố này làm áp suất giảm thêm còn 4/5). Kết hợp cả hai: $p_2 = p_1 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5} = 1{,}0 \times 10^5 \times \dfrac{1}{5} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa — khớp kết quả. Vậy áp suất khí trong khí cầu ở tầng cao là $p_2 = 2{,}0 \times 10^4$ Pa, chỉ bằng 1/5 áp suất ở mặt đất — giải thích vì sao khí cầu phải phình to rất nhiều mới cân bằng được với áp suất khí quyển loãng ở trên cao.
Thể tích tăng gấp 4 lần (một mình yếu tố này sẽ làm áp suất giảm còn 1/4) trong khi nhiệt độ tuyệt đối giảm còn $240/300 = 4/5$ (một mình yếu tố này làm áp suất giảm thêm còn 4/5). Kết hợp cả hai: $p_2 = p_1 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5} = 1{,}0 \times 10^5 \times \dfrac{1}{5} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa — khớp kết quả. Vậy áp suất khí trong khí cầu ở tầng cao là $p_2 = 2{,}0 \times 10^4$ Pa, chỉ bằng 1/5 áp suất ở mặt đất — giải thích vì sao khí cầu phải phình to rất nhiều mới cân bằng được với áp suất khí quyển loãng ở trên cao.

Trạng thái ở mỗi giai đoạn đều thoả

pV/T = 1{,}0 \times 10^5 \times 4/300 \approx 1333

, không đổi dọc đường bay.Trạng thái ở mỗi giai đoạn đều thoả $pV/T = 1{,}0 \times 10^5 \times 4/300 \approx 1333$, không đổi dọc đường bay.

Ví dụ

Kiểm tra qua trạng thái trung gian (dạng đề thi)

1
Vẫn khí cầu ở ví dụ trên: từ mặt đất $(p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa $, V_1 = 4$ m³ $, T_1 = 300$ K $)$ , khí cầu đi qua một trạng thái giữa hành trình có $V_B = 8$ m³, $T_B = 270$ K, rồi mới lên đến tầng cao có $V_2 = 16$ m³, $T_2 = 240$ K. Tính áp suất ở trạng thái giữa hành trình, rồi từ đó suy ra áp suất ở tầng cao, và so sánh với kết quả tính trực tiếp từ mặt đất.
Vẫn khí cầu ở ví dụ trên: từ mặt đất $(p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa$, V_1 = 4$ m³$, T_1 = 300$ K$)$, khí cầu đi qua một trạng thái giữa hành trình có $V_B = 8$ m³, $T_B = 270$ K, rồi mới lên đến tầng cao có $V_2 = 16$ m³, $T_2 = 240$ K. Tính áp suất ở trạng thái giữa hành trình, rồi từ đó suy ra áp suất ở tầng cao, và so sánh với kết quả tính trực tiếp từ mặt đất.
2
Từ mặt đất đến giữa hành trình: $p_B = \dfrac{p_1V_1T_B}{T_1V_B} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 4 \times 270}{300 \times 8} = \dfrac{1{,}08 \times 10^8}{2400} = 4{,}5 \times 10^4$ Pa. (1)
Từ mặt đất đến giữa hành trình: $p_B = \dfrac{p_1V_1T_B}{T_1V_B} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 4 \times 270}{300 \times 8} = \dfrac{1{,}08 \times 10^8}{2400} = 4{,}5 \times 10^4$ Pa. (1)
3
Từ giữa hành trình đến tầng cao: $p_2 = \dfrac{p_BV_BT_2}{T_BV_2} = \dfrac{4{,}5 \times 10^4 \times 8 \times 240}{270 \times 16} = \dfrac{8{,}64 \times 10^7}{4320} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa. (2)
Từ giữa hành trình đến tầng cao: $p_2 = \dfrac{p_BV_BT_2}{T_BV_2} = \dfrac{4{,}5 \times 10^4 \times 8 \times 240}{270 \times 16} = \dfrac{8{,}64 \times 10^7}{4320} = 2{,}0 \times 10^4$ Pa. (2)
4
Kết quả ở (2) là $2{,}0 \times 10^4$ Pa, đúng bằng kết quả tính trực tiếp một bước từ mặt đất lên tầng cao ở ví dụ trước. Điều này xác nhận: phương trình trạng thái chỉ phụ thuộc trạng thái đầu và trạng thái cuối, không phụ thuộc con đường trung gian — em có thể chọn tính trực tiếp một bước cho nhanh, hoặc tính qua nhiều bước để tự kiểm tra lại kết quả.
Kết quả ở (2) là $2{,}0 \times 10^4$ Pa, đúng bằng kết quả tính trực tiếp một bước từ mặt đất lên tầng cao ở ví dụ trước. Điều này xác nhận: phương trình trạng thái chỉ phụ thuộc trạng thái đầu và trạng thái cuối, không phụ thuộc con đường trung gian — em có thể chọn tính trực tiếp một bước cho nhanh, hoặc tính qua nhiều bước để tự kiểm tra lại kết quả.

Trên thực tế, khí cầu thời tiết vẫn tiếp tục phình to khi lên cao cho tới khi vỏ chạm đúng giới hạn đàn hồi của nó và vỡ — đó chính là "độ cao vỡ" (burst altitude) mà các trạm khí tượng tính trước cho từng loại khí cầu. Sau khi vỡ, thiết bị đo (radiosonde) treo bên dưới rơi tự do có dù, tiếp tục truyền dữ liệu về áp suất, nhiệt độ, độ ẩm trong lúc rơi, cho tới khi chạm đất. Việc tính đúng thể tích khí cầu ở từng độ cao — đúng kỹ năng em vừa luyện qua phương trình trạng thái — giúp kỹ sư khí tượng ước lượng trước độ cao vỡ gần đúng, từ đó chọn lượng khí bơm ban đầu phù hợp với độ cao khảo sát mong muốn.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm phổ biến là chỉ đổi MỘT trong hai nhiệt độ sang Kelvin rồi thay số, ví dụ đổi $T_1$ đúng nhưng quên đổi $T_2$ (đặc biệt khi $T_2$ là nhiệt độ âm như $-33^\circ$ C). Luôn kiểm tra lại: cả $T_1$ và $T_2$ trong phương trình đều phải là Kelvin và đều là số dương, trước khi thay vào công thức.

Một sai lầm phổ biến là chỉ đổi MỘT trong hai nhiệt độ sang Kelvin rồi thay số, ví dụ đổi $T_1$ đúng nhưng quên đổi $T_2$ (đặc biệt khi $T_2$ là nhiệt độ âm như $-33^\circ$C). Luôn kiểm tra lại: cả $T_1$ và $T_2$ trong phương trình đều phải là Kelvin và đều là số dương, trước khi thay vào công thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với một quá trình nhiều bước, chỉ cần áp dụng phương trình trạng thái nối trạng thái đầu và trạng thái cuối — kết quả không phụ thuộc con đường trung gian. Tính qua một trạng thái giữa để kiểm tra lại kết quả là một cách tự kiểm tra bài làm đáng tin cậy.

Chương tiếp theo chuyển sang một kỹ năng khác cũng thường gặp trong đề thi: đọc và chuyển đổi giữa ba loại đồ thị p–V, V–T, p–T của cùng một quá trình hoặc một chu trình khí.