Bài học

Khối lượng riêng của hợp kim và hỗn hợp

Em sẽ làm được gì?

Mục tiêu bài học: tính khối lượng riêng của một hợp kim/hỗn hợp hai chất khi biết tỉ lệ khối lượng hoặc tỉ lệ thể tích của từng thành phần, và làm ngược lại — tìm khối lượng mỗi chất khi biết khối lượng riêng và thể tích đo được của hỗn hợp.

Cần nhớ trước

Kiến thức cần có: công thức $D = \dfrac{m}{V}$ và bảng khối lượng riêng một số chất quen thuộc (nước 1000 kg/m³, sắt 7800 kg/m³, nhôm 2700 kg/m³, dầu ăn 800 kg/m³) — Lớp 8 chuẩn. Bài này KHÔNG có trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 8, đây là mở rộng dành cho HSG dựng trên chính công thức đó.

**Kiến thức cần có:** công thức $D = \dfrac{m}{V}$ và bảng khối lượng riêng một số chất quen thuộc (nước 1000 kg/m³, sắt 7800 kg/m³, nhôm 2700 kg/m³, dầu ăn 800 kg/m³) — Lớp 8 chuẩn. Bài này KHÔNG có trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 8, đây là **mở rộng dành cho HSG** dựng trên chính công thức đó.

Một chiếc nhẫn nói là vàng nguyên chất — làm sao biết có bị pha bạc hay không mà không cần nung chảy nó ra? Câu trả lời nằm ở một sự thật đơn giản: khối lượng riêng của hợp kim không phải trung bình cộng đơn giản của hai kim loại thành phần. Đồng có $D = 8900$ kg/m³, kẽm có $D = 7100$ kg/m³ — nếu trộn theo khối lượng bằng nhau, khối lượng riêng hợp kim không bằng $\dfrac{8900+7100}{2}$ . Vì sao? Vì hai kim loại đóng góp thể tích khác nhau ứng với cùng một khối lượng. Bài này dựng lại phép tính đúng, và chỉ ra đúng chỗ học sinh hay tính sai.

Một chiếc nhẫn nói là vàng nguyên chất — làm sao biết có bị pha bạc hay không mà không cần nung chảy nó ra? Câu trả lời nằm ở một sự thật đơn giản: khối lượng riêng của hợp kim **không phải trung bình cộng đơn giản** của hai kim loại thành phần. Đồng có $D = 8900$ kg/m³, kẽm có $D = 7100$ kg/m³ — nếu trộn theo khối lượng bằng nhau, khối lượng riêng hợp kim **không** bằng $\dfrac{8900+7100}{2}$. Vì sao? Vì hai kim loại đóng góp thể tích khác nhau ứng với cùng một khối lượng. Bài này dựng lại phép tính đúng, và chỉ ra đúng chỗ học sinh hay tính sai.

Trộn theo khối lượng — thể tích mới cộng được, khối lượng riêng thì không

Khi nung chảy hai kim loại thành một hợp kim, khối lượng được bảo toàn tuyệt đối; thể tích thì coi như cộng được (bỏ qua co ngót khi đông đặc — một giả thiết cần nêu rõ trong bài làm, vì thực tế có sai số nhỏ). Từ đó suy ra quy trình ba bước:

Từ khối lượng $m_1, m_2$ của từng kim loại, tính thể tích riêng: $V_1 = \dfrac{m_1}{D_1}$ , $V_2 = \dfrac{m_2}{D_2}$ .
Cộng thể tích: $V = V_1 + V_2$ .
Khối lượng riêng hợp kim: $D_{hk} = \dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}$ .

Khi nung chảy hai kim loại thành một hợp kim, khối lượng được bảo toàn tuyệt đối; thể tích thì **coi như cộng được** (bỏ qua co ngót khi đông đặc — một giả thiết cần nêu rõ trong bài làm, vì thực tế có sai số nhỏ). Từ đó suy ra quy trình ba bước: 1. Từ khối lượng $m_1, m_2$ của từng kim loại, tính thể tích riêng: $V_1 = \dfrac{m_1}{D_1}$, $V_2 = \dfrac{m_2}{D_2}$. 2. Cộng thể tích: $V = V_1 + V_2$. 3. Khối lượng riêng hợp kim: $D_{hk} = \dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}$.

Bẫy thường gặp

Bẫy kinh điển: lấy trung bình cộng $\dfrac{D_1+D_2}{2}$ . Cách này chỉ đúng khi trộn theo thể tích bằng nhau, không phải khối lượng bằng nhau. Trộn theo khối lượng luôn cho công thức dạng $D_{hk} = \dfrac{m_1+m_2}{m_1/D_1 + m_2/D_2}$ — về bản chất là một trung bình điều hòa có trọng số, luôn khác trung bình cộng của hai khối lượng riêng.

**Bẫy kinh điển:** lấy trung bình cộng $\dfrac{D_1+D_2}{2}$. Cách này chỉ đúng khi trộn theo **thể tích bằng nhau**, không phải khối lượng bằng nhau. Trộn theo khối lượng luôn cho công thức dạng $D_{hk} = \dfrac{m_1+m_2}{m_1/D_1 + m_2/D_2}$ — về bản chất là một **trung bình điều hòa có trọng số**, luôn khác trung bình cộng của hai khối lượng riêng.

Hợp kim 300 g đồng + 100 g kẽm cho

D_{hk} \approx 8369,5

kg/m³ — lệch hẳn khỏi trung bình cộng

\dfrac{8900+7100}{2} = 8000

kg/m³.Hợp kim 300 g đồng + 100 g kẽm cho $D_{hk} \approx 8369,5$ kg/m³ — lệch hẳn khỏi trung bình cộng $\dfrac{8900+7100}{2} = 8000$ kg/m³.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính khối lượng riêng hợp kim từ tỉ lệ khối lượng

1
Một hợp kim gồm 100 g kẽm ( $D_2 = 7100$ kg/m³) và 300 g đồng ( $D_1 = 8900$ kg/m³), nung chảy trộn đều, coi thể tích cộng được. Tính khối lượng riêng hợp kim.
Một hợp kim gồm 100 g kẽm ($D_2 = 7100$ kg/m³) và 300 g đồng ($D_1 = 8900$ kg/m³), nung chảy trộn đều, coi thể tích cộng được. Tính khối lượng riêng hợp kim.
2
Đề không cho thể tích hợp kim — phải suy ra thể tích qua từng kim loại thành phần rồi cộng lại, đây chính là ý tưởng cốt lõi.
3
$V_1 = \dfrac{m_1}{D_1} = \dfrac{300\text{ g}}{8900} \approx 33.71$ cm³ (đồng); $V_2 = \dfrac{m_2}{D_2} \approx 14.08$ cm³ (kẽm).
$V_1 = \dfrac{m_1}{D_1} = \dfrac{300\text{ g}}{8900} \approx 33.71$ cm³ (đồng); $V_2 = \dfrac{m_2}{D_2} \approx 14.08$ cm³ (kẽm).
4
Tổng thể tích $V = V_1+V_2 \approx 47.79$ cm³. Tổng khối lượng $m = 400$ g.
Tổng thể tích $V = V_1+V_2 \approx 47.79$ cm³. Tổng khối lượng $m = 400$ g.
5
$D_{hk} = \dfrac{m}{V} \approx 8369,5$ kg/m³. Vậy khối lượng riêng hợp kim đồng-kẽm này xấp xỉ 8369,5 kg/m³, nằm giữa $D_1$ và $D_2$ nhưng gần $D_1$ hơn vì đồng chiếm khối lượng lớn hơn.
$D_{hk} = \dfrac{m}{V} \approx 8369,5$ kg/m³. Vậy khối lượng riêng hợp kim đồng-kẽm này xấp xỉ 8369,5 kg/m³, nằm giữa $D_1$ và $D_2$ nhưng **gần $D_1$ hơn** vì đồng chiếm khối lượng lớn hơn.
6
Trung bình cộng sai sẽ cho 8000 kg/m³ — cao hơn kết quả đúng khoảng -370 kg/m³, đúng như dự đoán vì trung bình điều hòa luôn nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng.

Ví dụ

Ví dụ 2 (khó hơn) — Tìm ngược thành phần hợp kim từ khối lượng và thể tích đo được

1
Một khối hợp kim đồng-thiếc (đồng $D_1=8900$ kg/m³, thiếc $D_2=7300$ kg/m³) có tổng khối lượng 400 g, đo thể tích bằng bình chia độ được 47.41 cm³. Tính khối lượng mỗi kim loại trong hợp kim.
Một khối hợp kim đồng-thiếc (đồng $D_1=8900$ kg/m³, thiếc $D_2=7300$ kg/m³) có tổng khối lượng 400 g, đo thể tích bằng bình chia độ được 47.41 cm³. Tính khối lượng mỗi kim loại trong hợp kim.
2
Đây là bài toán ngược của Ví dụ 1: biết $m, V$ tổng, chưa biết $m_1, m_2$ riêng — phải lập hệ hai phương trình hai ẩn thay vì tính trực tiếp.
Đây là bài toán **ngược** của Ví dụ 1: biết $m, V$ tổng, chưa biết $m_1, m_2$ riêng — phải lập hệ hai phương trình hai ẩn thay vì tính trực tiếp.
3
Gọi $m_1$ (đồng), $m_2$ (thiếc). Ta có $m_1+m_2 = 400$ (g) $\ (1)$ , và $\dfrac{m_1}{D_1}+\dfrac{m_2}{D_2} = V \ (2)$ .
Gọi $m_1$ (đồng), $m_2$ (thiếc). Ta có $m_1+m_2 = 400$ (g) $\ (1)$, và $\dfrac{m_1}{D_1}+\dfrac{m_2}{D_2} = V \ (2)$.
4
Từ (1): $m_2 = 400 - m_1$ . Thay vào (2) và giải ra $m_1 \approx 300.0$ g, $m_2 \approx 100.0$ g.
Từ (1): $m_2 = 400 - m_1$. Thay vào (2) và giải ra $m_1 \approx 300.0$ g, $m_2 \approx 100.0$ g.
5
Vậy hợp kim gồm khoảng 300.0 g đồng và 100.0 g thiếc (kiểm tra: tổng $\approx 400$ g, khớp đề).
Vậy hợp kim gồm khoảng 300.0 g đồng và 100.0 g thiếc (kiểm tra: tổng $\approx 400$ g, khớp đề).
6
Nếu đề cho tỉ lệ phần trăm khối lượng thay vì thể tích đo được, cách làm giống hệt — chỉ khác dữ kiện nào là ẩn, dữ kiện nào đã biết. Luôn xác định rõ ẩn số trước khi lập hệ.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Trộn chất lỏng theo thể tích (khác hẳn trộn theo khối lượng)

1
Trộn 2 lít cồn ( $D = 790$ kg/m³) với 3 lít nước ( $D = 1000$ kg/m³), coi thể tích hỗn hợp bằng tổng hai thể tích. Tính khối lượng riêng hỗn hợp.
Trộn 2 lít cồn ($D = 790$ kg/m³) với 3 lít nước ($D = 1000$ kg/m³), coi thể tích hỗn hợp bằng tổng hai thể tích. Tính khối lượng riêng hỗn hợp.
2
Ở đây đề cho thể tích từng chất trực tiếp, không phải khối lượng — nên bây giờ chính khối lượng mới phải suy ra từ $m = D \cdot V$ , còn thể tích cộng thẳng.
Ở đây đề cho **thể tích** từng chất trực tiếp, không phải khối lượng — nên bây giờ chính khối lượng mới phải suy ra từ $m = D \cdot V$, còn thể tích cộng thẳng.
3
$m_1 = D_1V_1 = 790\times 2 = 1580$ (đơn vị tỉ lệ với kg, vì lít quy đổi m³ có cùng hệ số nên tỉ lệ giữ nguyên); $m_2 = D_2V_2 = 1000\times3 = 3000$ .
$m_1 = D_1V_1 = 790\times 2 = 1580$ (đơn vị tỉ lệ với kg, vì lít quy đổi m³ có cùng hệ số nên tỉ lệ giữ nguyên); $m_2 = D_2V_2 = 1000\times3 = 3000$.
4
$D_{hh} = \dfrac{D_1V_1+D_2V_2}{V_1+V_2} = \dfrac{1580+3000}{5} = 916$ kg/m³.
$D_{hh} = \dfrac{D_1V_1+D_2V_2}{V_1+V_2} = \dfrac{1580+3000}{5} = 916$ kg/m³.
5
Vậy khối lượng riêng hỗn hợp là 916 kg/m³ — lần này đúng là trung bình có trọng số theo thể tích, khác hẳn công thức trọng số-theo-khối-lượng của Ví dụ 1.

Luyện tập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên đổi đơn vị (cm³ ↔ m³, g ↔ kg) trước khi thay vào công thức, khiến kết quả sai hàng nghìn lần. Luôn đổi về cùng hệ đơn vị trước khi tính, và ghi rõ đơn vị ở từng bước.

Ghi nhớ

Tóm tắt: trộn theo khối lượng → quy đổi ra thể tích rồi cộng, dùng $D_{hk}=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}$ . Trộn theo thể tích → cộng thể tích thẳng, dùng $D_{hh}=\dfrac{D_1V_1+D_2V_2}{V_1+V_2}$ . Luôn hỏi "đề cho khối lượng hay thể tích của từng phần?" trước khi chọn công thức.

**Tóm tắt:** trộn theo khối lượng → quy đổi ra thể tích rồi cộng, dùng $D_{hk}=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}$. Trộn theo thể tích → cộng thể tích thẳng, dùng $D_{hh}=\dfrac{D_1V_1+D_2V_2}{V_1+V_2}$. Luôn hỏi "đề cho khối lượng hay thể tích của từng phần?" trước khi chọn công thức.

Bắc cầu sang bài sau: kỹ thuật "suy ra thể tích từ khối lượng riêng đã biết" ở bài này còn dùng được cho một dạng vật thể khác — vật có phần rỗng bên trong. Bài tiếp theo dùng đúng ý tưởng đó để tính khối lượng riêng trung bình của một vật rỗng, và phát hiện gian lận kiểu "vương miện vua Hiero".