Phần

Khối lượng riêng trung bình của vật rỗng

Em sẽ làm được gì?

Mục tiêu bài học: phân biệt khối lượng riêng của VẬT LIỆU (tính trên thể tích chất rắn thật) với khối lượng riêng TRUNG BÌNH/BIỂU KIẾN của một vật có phần rỗng (tính trên thể tích ngoài đo được), và dùng chênh lệch đó để tìm thể tích phần rỗng hoặc phát hiện vật bị làm giả/có khuyết tật.

Cần nhớ trước

Kiến thức cần có: $D=m/V$ , phương pháp đo thể tích vật rắn không thấm nước bằng bình chia độ/bình tràn (Lớp 8 chuẩn). Phân tích vật RỖNG (có khoang trống bên trong) là mở rộng dành cho HSG — Lớp 8 chuẩn chỉ xét vật đặc.

**Kiến thức cần có:** $D=m/V$, phương pháp đo thể tích vật rắn không thấm nước bằng bình chia độ/bình tràn (Lớp 8 chuẩn). Phân tích vật RỖNG (có khoang trống bên trong) là **mở rộng dành cho HSG** — Lớp 8 chuẩn chỉ xét vật đặc.

Truyền thuyết kể Ác-si-mét được vua Hiero giao nhiệm vụ: chiếc vương miện có đúng là vàng nguyên chất hay bị thợ kim hoàn trộn thêm bạc mà không được phá hỏng nó? Ông không cân đo hình dạng phức tạp của vương miện — ông chỉ cần một phép đo: thả nó vào nước, xem nước dâng lên bao nhiêu. Bài này dựng lại chính ý tưởng đó, và áp dụng thêm cho một dạng thực tế khác: vật có khoang rỗng cố ý (như quả bóng kim loại, vỏ hộp) hay rỗng do lỗi đúc (bọt khí).

Khối lượng riêng vật liệu và khối lượng riêng trung bình — hai đại lượng khác nhau

Với một vật đặc hoàn toàn bằng một chất, $D=m/V$ cho đúng khối lượng riêng của chất đó. Nhưng nếu vật có một khoang rỗng bên trong (không khí hoặc chân không), thể tích đo được từ bên ngoài ( $V_{ngoài}$ , bằng phương pháp dời nước) lớn hơn thể tích chất rắn thật ( $V_{vật\,liệu}$ ). Khi đó:

$D_{trung\,bình} = \dfrac{m}{V_{ngoài}}$ — quyết định vật nổi hay chìm khi thả vào chất lỏng (vì lực đẩy Archimedes phụ thuộc $V_{ngoài}$ , thể tích vật chiếm chỗ).
$D_{vật\,liệu} = \dfrac{m}{V_{vật\,liệu}}$ — cho biết vật làm bằng chất gì, tra được trong bảng khối lượng riêng.

Hai đại lượng này chỉ bằng nhau khi vật đặc hoàn toàn ( $V_{ngoài}=V_{vật\,liệu}$ ).

Với một vật **đặc** hoàn toàn bằng một chất, $D=m/V$ cho đúng khối lượng riêng của chất đó. Nhưng nếu vật có một khoang rỗng bên trong (không khí hoặc chân không), thể tích **đo được từ bên ngoài** ($V_{ngoài}$, bằng phương pháp dời nước) lớn hơn thể tích chất rắn thật ($V_{vật\,liệu}$). Khi đó: - $D_{trung\,bình} = \dfrac{m}{V_{ngoài}}$ — quyết định vật **nổi hay chìm** khi thả vào chất lỏng (vì lực đẩy Archimedes phụ thuộc $V_{ngoài}$, thể tích vật chiếm chỗ). - $D_{vật\,liệu} = \dfrac{m}{V_{vật\,liệu}}$ — cho biết vật làm bằng chất gì, tra được trong bảng khối lượng riêng. Hai đại lượng này **chỉ bằng nhau khi vật đặc hoàn toàn** ($V_{ngoài}=V_{vật\,liệu}$).

Quy trình chung cho mọi bài toán vật rỗng: đo thể tích ngoài bằng dời nước, trừ đi thể tích vật liệu suy từ khối lượng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tìm thể tích khoang rỗng của một quả cầu sắt

1
Thả một quả cầu sắt ( $D_{sắt}=7800$ kg/m³) nghi có khoang rỗng vào một bình hình trụ tiết diện đáy 50 cm², mực nước dâng thêm 4 cm. Cân quả cầu được 316 g. Tính thể tích khoang rỗng, và cho biết quả cầu nổi hay chìm trong nước.
Thả một quả cầu sắt ($D_{sắt}=7800$ kg/m³) nghi có khoang rỗng vào một bình hình trụ tiết diện đáy 50 cm², mực nước dâng thêm 4 cm. Cân quả cầu được 316 g. Tính thể tích khoang rỗng, và cho biết quả cầu nổi hay chìm trong nước.
2
Độ dâng mực nước × diện tích đáy bình cho đúng thể tích PHẦN NGOÀI của quả cầu (kể cả khoang rỗng) — đây là phép đo dời nước áp dụng cho vật rỗng, không khác gì vật đặc.
3
$V_{ngoài} = S \cdot \Delta h = 50\times4 = 200$ cm³.
$V_{ngoài} = S \cdot \Delta h = 50\times4 = 200$ cm³.
4
$V_{sắt} = \dfrac{m}{D_{sắt}} = \dfrac{316\text{ g}}{7800} \approx 40.51$ cm³.
$V_{sắt} = \dfrac{m}{D_{sắt}} = \dfrac{316\text{ g}}{7800} \approx 40.51$ cm³.
5
$V_{rỗng} = V_{ngoài}-V_{sắt} \approx 200-40.51 \approx 159.49$ cm³ — khoảng 80% thể tích ngoài là rỗng.
$V_{rỗng} = V_{ngoài}-V_{sắt} \approx 200-40.51 \approx 159.49$ cm³ — khoảng 80% thể tích ngoài là rỗng.
6
$D_{trung\,bình} = \dfrac{m}{V_{ngoài}} \approx 1580$ kg/m³ $> 1000$ kg/m³ (nước). Vậy quả cầu vẫn CHÌM dù đã rỗng — khoang rỗng chưa đủ lớn.
$D_{trung\,bình} = \dfrac{m}{V_{ngoài}} \approx 1580$ kg/m³ $> 1000$ kg/m³ (nước). Vậy quả cầu vẫn **CHÌM** dù đã rỗng — khoang rỗng chưa đủ lớn.
7
Muốn quả cầu (cùng khối lượng 316 g) vừa đủ lơ lửng, cần $D_{trung\,bình}=1000$ , tức $V_{ngoài} \ge \dfrac{m}{D_{nước}} \approx 316$ cm³, nghĩa là khoang rỗng phải đạt ít nhất $\approx 275.49$ cm³ — lớn hơn hẳn khoang hiện tại. Đây là dạng câu hỏi ngược hay gặp trong đề HSG.
Muốn quả cầu (cùng khối lượng 316 g) vừa đủ lơ lửng, cần $D_{trung\,bình}=1000$, tức $V_{ngoài} \ge \dfrac{m}{D_{nước}} \approx 316$ cm³, nghĩa là khoang rỗng phải đạt ít nhất $\approx 275.49$ cm³ — lớn hơn hẳn khoang hiện tại. Đây là dạng câu hỏi ngược hay gặp trong đề HSG.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Vương miện vàng bạc: phát hiện gian lận

1
Một chiếc vương miện nặng 965 g được thợ kim hoàn khẳng định là vàng nguyên chất ( $D_{vàng}=19300$ kg/m³). Thả vào bình chia độ, thể tích nước dâng lên đo được 56 cm³. Vương miện có phải vàng nguyên chất không? Nếu bị pha bạc ( $D_{bạc}=10500$ kg/m³), tính khối lượng mỗi kim loại.
Một chiếc vương miện nặng 965 g được thợ kim hoàn khẳng định là vàng nguyên chất ($D_{vàng}=19300$ kg/m³). Thả vào bình chia độ, thể tích nước dâng lên đo được 56 cm³. Vương miện có phải vàng nguyên chất không? Nếu bị pha bạc ($D_{bạc}=10500$ kg/m³), tính khối lượng mỗi kim loại.
2
Nếu là vàng nguyên chất, thể tích phải bằng $\dfrac{m}{D_{vàng}} = \dfrac{965\text{ g}}{19300} \approx 50$ cm³ — nhỏ hơn hẳn 56 cm³ đo được. Thể tích đo được LỚN hơn dự đoán ⇒ có lẫn kim loại nhẹ hơn (bạc) ⇒ không phải vàng nguyên chất.
Nếu là vàng nguyên chất, thể tích phải bằng $\dfrac{m}{D_{vàng}} = \dfrac{965\text{ g}}{19300} \approx 50$ cm³ — nhỏ hơn hẳn 56 cm³ đo được. Thể tích đo được LỚN hơn dự đoán ⇒ có lẫn kim loại nhẹ hơn (bạc) ⇒ **không phải vàng nguyên chất**.
3
Gọi $m_v, m_b$ là khối lượng vàng, bạc. $m_v+m_b=965$ (g) $\ (1)$ ; $\dfrac{m_v}{D_{vàng}}+\dfrac{m_b}{D_{bạc}}=56$ cm³ $\ (2)$ — cùng dạng hệ phương trình như hợp kim ở bài trước, chỉ đổi tên chất.
Gọi $m_v, m_b$ là khối lượng vàng, bạc. $m_v+m_b=965$ (g) $\ (1)$; $\dfrac{m_v}{D_{vàng}}+\dfrac{m_b}{D_{bạc}}=56$ cm³ $\ (2)$ — cùng dạng hệ phương trình như hợp kim ở bài trước, chỉ đổi tên chất.
4
Giải (1) và (2) được $m_v \approx 826.8$ g, $m_b \approx 138.2$ g.
Giải (1) và (2) được $m_v \approx 826.8$ g, $m_b \approx 138.2$ g.
5
Vậy vương miện chỉ chứa khoảng 86% khối lượng là vàng thật, còn lại 14% là bạc — thợ kim hoàn đã gian lận.
6
Điểm mấu chốt: KHÔNG cần biết hình dạng vương miện, chỉ cần khối lượng (cân) và thể tích (dời nước) — đúng nguyên lí ông dùng khi chạy khỏi bồn tắm hô "Eureka".

Ví dụ

Ví dụ 3 — Vỏ hộp nhôm: dùng khối lượng lý thuyết để dò khuyết tật

1
Một vỏ hộp nhôm rỗng ruột hình hộp chữ nhật, kích thước ngoài 20 × 10 × 10 cm, thành dày đều 1 cm, làm bằng nhôm ( $D=2700$ kg/m³). Cân thực tế được 2100 g. Hộp có bị khuyết (rỗ khí) trong quá trình đúc không?
Một vỏ hộp nhôm rỗng ruột hình hộp chữ nhật, kích thước ngoài 20 × 10 × 10 cm, thành dày đều 1 cm, làm bằng nhôm ($D=2700$ kg/m³). Cân thực tế được 2100 g. Hộp có bị khuyết (rỗ khí) trong quá trình đúc không?
2
Với hình hộp chữ nhật, thể tích phần vật liệu (vỏ) tính được TRỰC TIẾP bằng hình học: thể tích khối ngoài trừ thể tích khoảng rỗng bên trong — không cần đo dời nước.
3
$V_{ngoài} = 20\times10\times10 = 2000$ cm³. Khoang trong có kích thước $(20-2\times1)\times(10-2\times1)\times(10-2\times1)$ , thể tích $V_{trong}=1152$ cm³. Vậy $V_{vỏ}=V_{ngoài}-V_{trong}=848$ cm³.
$V_{ngoài} = 20\times10\times10 = 2000$ cm³. Khoang trong có kích thước $(20-2\times1)\times(10-2\times1)\times(10-2\times1)$, thể tích $V_{trong}=1152$ cm³. Vậy $V_{vỏ}=V_{ngoài}-V_{trong}=848$ cm³.
4
$m_{lý\,thuyết} = D_{nhôm}\cdot V_{vỏ} = 2700\times848\times10^{-6} \approx 2289.6$ g.
$m_{lý\,thuyết} = D_{nhôm}\cdot V_{vỏ} = 2700\times848\times10^{-6} \approx 2289.6$ g.
5
Cân thực tế chỉ được 2100 g, NHỎ hơn 2289.6 g lý thuyết — thiếu $\approx 189.6$ g vật liệu.
Cân thực tế chỉ được 2100 g, NHỎ hơn 2289.6 g lý thuyết — thiếu $\approx 189.6$ g vật liệu.
6
Vậy hộp có khuyết tật — một khoảng rỗng khí trong thành vỏ với thể tích $\approx 70.2$ cm³, tương đương một lỗ rỗ khí đáng kể — cần loại sản phẩm này.
Vậy hộp có khuyết tật — một khoảng rỗng khí trong thành vỏ với thể tích $\approx 70.2$ cm³, tương đương một lỗ rỗ khí đáng kể — cần loại sản phẩm này.

Luyện tập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nhầm $V_{ngoài}$ (đo dời nước, quyết định nổi/chìm) với $V_{vật\,liệu}$ (suy từ khối lượng riêng chuẩn, quyết định vật làm bằng gì). Dùng nhầm cái này thay cái kia sẽ cho kết luận sai hoàn toàn về nổi/chìm hoặc về chất liệu.

**Sai lầm thường gặp:** nhầm $V_{ngoài}$ (đo dời nước, quyết định nổi/chìm) với $V_{vật\,liệu}$ (suy từ khối lượng riêng chuẩn, quyết định vật làm bằng gì). Dùng nhầm cái này thay cái kia sẽ cho kết luận sai hoàn toàn về nổi/chìm hoặc về chất liệu.

Ghi nhớ

Tóm tắt: vật rỗng có HAI khối lượng riêng cần phân biệt — trung bình ( $m/V_{ngoài}$ , quyết định nổi chìm) và vật liệu ( $m/V_{vật\,liệu}$ , quyết định chất liệu). Đo $V_{ngoài}$ bằng dời nước hoặc hình học; suy $V_{vật\,liệu}$ từ khối lượng và $D$ chuẩn; hiệu hai thể tích là thể tích rỗng.

**Tóm tắt:** vật rỗng có HAI khối lượng riêng cần phân biệt — trung bình ($m/V_{ngoài}$, quyết định nổi chìm) và vật liệu ($m/V_{vật\,liệu}$, quyết định chất liệu). Đo $V_{ngoài}$ bằng dời nước hoặc hình học; suy $V_{vật\,liệu}$ từ khối lượng và $D$ chuẩn; hiệu hai thể tích là thể tích rỗng.

Bắc cầu sang chương sau: khối lượng riêng trung bình vừa học chính là chìa khóa để trả lời câu hỏi lớn hơn — một hệ NHIỀU vật gắn với nhau, hay một vật đã nổi rồi bị chất thêm tải, sẽ cân bằng ở đâu? Chương tiếp theo dùng thẳng $D_{trung\,bình}$ vào điều kiện nổi — chìm — lơ lửng cho các hệ phức tạp hơn một vật đơn lẻ.

**Bắc cầu sang chương sau:** khối lượng riêng trung bình vừa học chính là chìa khóa để trả lời câu hỏi lớn hơn — một hệ NHIỀU vật gắn với nhau, hay một vật đã nổi rồi bị chất thêm tải, sẽ cân bằng ở đâu? Chương tiếp theo dùng thẳng $D_{trung\,bình}$ vào điều kiện nổi — chìm — lơ lửng cho các hệ phức tạp hơn một vật đơn lẻ.