Phần

Đòn bẩy với nhiều lực và điểm tựa chưa biết

Em sẽ làm được gì?

Lớp 8 chuẩn chỉ cho em bài toán 2 lực: $F_1 d_1 = F_2 d_2$ . Bài này nâng lên hệ nhiều hơn hai lực cùng tác dụng trên một thanh, và vị trí điểm tựa cũng là ẩn số — chính đề thi HSG hay hỏi kiểu này vì nó buộc em viết phương trình tổng quát thay vì áp công thức có sẵn.

Lớp 8 chuẩn chỉ cho em bài toán 2 lực: $F_1 d_1 = F_2 d_2$. Bài này nâng lên hệ **nhiều hơn hai lực** cùng tác dụng trên một thanh, và **vị trí điểm tựa cũng là ẩn số** — chính đề thi HSG hay hỏi kiểu này vì nó buộc em viết phương trình tổng quát thay vì áp công thức có sẵn.

Cần nhớ trước

Điều kiện cân bằng đòn bẩy (Lớp 8): tổng moment làm quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng moment làm quay ngược chiều kim đồng hồ, tức $\sum M = 0$ khi tính đúng dấu. Em cần nhớ lại cách chọn trục quay và gán dấu cho moment.

**Điều kiện cân bằng đòn bẩy (Lớp 8):** tổng moment làm quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng moment làm quay ngược chiều kim đồng hồ, tức $\sum M = 0$ khi tính đúng dấu. Em cần nhớ lại cách chọn trục quay và gán dấu cho moment.

Bập bênh hai người thì dễ: ai nặng hơn ngồi gần điểm tựa hơn. Nhưng nếu trên một thanh cứng có ba, bốn vật nặng treo ở các vị trí khác nhau, và người ta chỉ hỏi "đặt điểm tựa ở đâu để thanh nằm ngang" — không có sẵn công thức hai lực nào áp được ngay. Em phải quay lại gốc: viết phương trình tổng moment bằng 0, với vị trí điểm tựa là ẩn số $x_p$ .

Bập bênh hai người thì dễ: ai nặng hơn ngồi gần điểm tựa hơn. Nhưng nếu trên một thanh cứng có **ba, bốn vật nặng** treo ở các vị trí khác nhau, và người ta chỉ hỏi "đặt điểm tựa ở đâu để thanh nằm ngang" — không có sẵn công thức hai lực nào áp được ngay. Em phải quay lại gốc: viết phương trình tổng moment bằng 0, với vị trí điểm tựa là ẩn số $x_p$.

Tổng quát hoá điều kiện cân bằng cho nhiều lực

$\sum_i F_i (x_i - x_p) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_p = \dfrac{\sum_i F_i x_i}{\sum_i F_i}$

Công thức này có ý nghĩa vật lý rõ ràng: $x_p$ chính là trung bình có trọng số của các vị trí, trọng số là độ lớn từng lực — đúng bằng vị trí trọng tâm của cả hệ lực. Với hai lực, công thức này thu gọn lại đúng thành $F_1 d_1 = F_2 d_2$ quen thuộc.

Đặt trục toạ độ dọc theo thanh, gốc tại một đầu. Một lực $F_i$ đặt tại vị trí $x_i$ tạo ra moment đối với điểm tựa $x_p$ có độ lớn $F_i \cdot |x_i - x_p|$, với dấu dương nếu lực gây quay theo một chiều, âm nếu quay chiều ngược lại. Khi tất cả các lực đều **thẳng đứng, cùng hướng xuống** (ví dụ đều là trọng lượng), điều kiện cân bằng $\sum M = 0$ viết gọn thành: $$\sum_i F_i (x_i - x_p) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_p = \dfrac{\sum_i F_i x_i}{\sum_i F_i}$$ Công thức này có ý nghĩa vật lý rõ ràng: $x_p$ chính là **trung bình có trọng số** của các vị trí, trọng số là độ lớn từng lực — đúng bằng vị trí trọng tâm của cả hệ lực. Với hai lực, công thức này thu gọn lại đúng thành $F_1 d_1 = F_2 d_2$ quen thuộc.

Vì sao không thể "nhìn là đoán" điểm tựa

Một sai lầm phổ biến là đoán điểm tựa nằm ở khoảng giữa các vị trí lực, hoặc ở vị trí lực lớn nhất. Cả hai đều sai: điểm tựa lệch về phía có tổng trọng số lớn hơn, không nhất thiết trùng vị trí bất kỳ lực nào. Cách chắc chắn duy nhất là lập phương trình $\sum F_i(x_i - x_p) = 0$ rồi giải cho $x_p$ — làm đúng một lần, áp dụng được cho mọi số lực.

Một sai lầm phổ biến là đoán điểm tựa nằm ở khoảng giữa các vị trí lực, hoặc ở vị trí lực lớn nhất. Cả hai đều sai: điểm tựa lệch về phía có **tổng trọng số lớn hơn**, không nhất thiết trùng vị trí bất kỳ lực nào. Cách chắc chắn duy nhất là lập phương trình $\sum F_i(x_i - x_p) = 0$ rồi giải cho $x_p$ — làm đúng một lần, áp dụng được cho mọi số lực.

Đáng chú ý là công thức $x_p = \sum F_ix_i/\sum F_i$ không hề mới với em, dù công thức trông lạ: đây chính là cách tính trọng tâm của một hệ nhiều vật mà em đã gặp khi học về khối lượng riêng và cân bằng vật nổi. Ở đó, trọng tâm quyết định vật nổi hay chìm theo hướng nào; ở đây, trọng tâm của hệ lực quyết định điểm tựa phải đặt ở đâu để cân bằng. Nhận ra sự liên hệ này giúp em nhớ công thức lâu hơn — nó không phải một công thức tách biệt, mà là một ứng dụng khác của cùng một ý tưởng "trung bình có trọng số" đã gặp trước đó.

Đáng chú ý là công thức $x_p = \sum F_ix_i/\sum F_i$ không hề mới với em, dù công thức trông lạ: đây chính là cách tính **trọng tâm** của một hệ nhiều vật mà em đã gặp khi học về khối lượng riêng và cân bằng vật nổi. Ở đó, trọng tâm quyết định vật nổi hay chìm theo hướng nào; ở đây, trọng tâm của hệ lực quyết định điểm tựa phải đặt ở đâu để cân bằng. Nhận ra sự liên hệ này giúp em nhớ công thức lâu hơn — nó không phải một công thức tách biệt, mà là một ứng dụng khác của cùng một ý tưởng "trung bình có trọng số" đã gặp trước đó.

Điểm tựa tại 1,1 m không trùng vị trí của F1 (0 m), F2 (1 m) hay F3 (2 m) — nó là trung bình có trọng số của cả ba lực.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Ba lực, tìm vị trí điểm tựa

1
Một thanh dài 2 m mang ba vật nặng: $20$ N tại đầu $A$ ( $x=0$ ), $50$ N tại $x=1$ m, và $30$ N tại đầu $B$ ( $x=2$ m). Tìm vị trí điểm tựa để thanh cân bằng nằm ngang.
Một thanh dài 2 m mang ba vật nặng: $20$ N tại đầu $A$ ($x=0$), $50$ N tại $x=1$ m, và $30$ N tại đầu $B$ ($x=2$ m). Tìm vị trí điểm tựa để thanh cân bằng nằm ngang.
2
Theo công thức tổng quát: $x_p = \dfrac{20 \times 0 + 50 \times 1 + 30 \times 2}{20+50+30} = \dfrac{0+50+60}{100} = \dfrac{110}{100}$ .
Theo công thức tổng quát: $x_p = \dfrac{20 \times 0 + 50 \times 1 + 30 \times 2}{20+50+30} = \dfrac{0+50+60}{100} = \dfrac{110}{100}$.
3
$x_p = 1{,}1$ m.
$x_p = 1{,}1$ m.
4
Thay vào $\sum F_i(x_i-x_p)$ : $20(0-1{,}1) + 50(1-1{,}1) + 30(2-1{,}1) = -22 - 5 + 27 = 0$ (1). Khớp điều kiện cân bằng.
Thay vào $\sum F_i(x_i-x_p)$: $20(0-1{,}1) + 50(1-1{,}1) + 30(2-1{,}1) = -22 - 5 + 27 = 0$ (1). Khớp điều kiện cân bằng.
5
Vậy điểm tựa cách đầu $A$ đúng $1{,}1$ m.
Vậy điểm tựa cách đầu $A$ đúng $1{,}1$ m.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Thêm một lực thứ tư (Mở rộng dành cho HSG: hệ bốn lực)

1
Mở rộng dành cho HSG: bài toán bốn lực đồng thời vượt khỏi phạm vi hai-lực chuẩn của Lớp 8, nhưng dùng đúng công thức tổng quát ở mục 1. Vẫn thanh dài 2 m như Ví dụ 1, nay treo thêm vật nặng $50$ N tại $x=1{,}4$ m. Tìm điểm tựa mới.
Mở rộng dành cho HSG: bài toán bốn lực đồng thời vượt khỏi phạm vi hai-lực chuẩn của Lớp 8, nhưng dùng đúng công thức tổng quát ở mục 1. Vẫn thanh dài 2 m như Ví dụ 1, nay treo thêm vật nặng $50$ N tại $x=1{,}4$ m. Tìm điểm tựa mới.
2
$x_p = \dfrac{20\times 0 + 50\times 1 + 30\times 2 + 50\times 1{,}4}{20+50+30+50} = \dfrac{0+50+60+70}{150} = \dfrac{180}{150}$ .
$x_p = \dfrac{20\times 0 + 50\times 1 + 30\times 2 + 50\times 1{,}4}{20+50+30+50} = \dfrac{0+50+60+70}{150} = \dfrac{180}{150}$.
3
$x_p = 1{,}2$ m.
$x_p = 1{,}2$ m.
4
So với Ví dụ 1 ( $x_p=1{,}1$ m), thêm một vật nặng ở phía $B$ (bên phải điểm tựa cũ) đã kéo điểm tựa dịch về phía $B$ thêm $0{,}1$ m — đúng logic "trọng số lệch bên nào, điểm tựa dịch về bên đó".
So với Ví dụ 1 ($x_p=1{,}1$ m), thêm một vật nặng ở phía $B$ (bên phải điểm tựa cũ) đã kéo điểm tựa dịch về phía $B$ thêm $0{,}1$ m — đúng logic "trọng số lệch bên nào, điểm tựa dịch về bên đó".
5
Vậy điểm tựa mới cách $A$ đúng $1{,}2$ m.
Vậy điểm tựa mới cách $A$ đúng $1{,}2$ m.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Bài toán ngược: biết điểm tựa, tìm một lực còn thiếu

1
Một thanh dài 2,4 m có ba lực: $20$ N tại $x=0$ , một lực $F$ chưa biết tại $x=1{,}2$ m, và $45$ N tại $x=2{,}2$ m. Biết thanh cân bằng khi điểm tựa đặt tại $x_p = 1{,}4$ m. Tìm $F$ .
Một thanh dài 2,4 m có ba lực: $20$ N tại $x=0$, một lực $F$ chưa biết tại $x=1{,}2$ m, và $45$ N tại $x=2{,}2$ m. Biết thanh cân bằng khi điểm tựa đặt tại $x_p = 1{,}4$ m. Tìm $F$.
2
$20(0-1{,}4) + F(1{,}2-1{,}4) + 45(2{,}2-1{,}4) = 0$ .
$20(0-1{,}4) + F(1{,}2-1{,}4) + 45(2{,}2-1{,}4) = 0$.
3
$-28 - 0{,}2F + 36 = 0 \;\Rightarrow\; 0{,}2F = 8 \;\Rightarrow\; F = 40$ N. Kiểm tra lại: $20(-1{,}4)+40(-0{,}2)+45(0{,}8) = -28-8+36=0$ (2) — khớp.
$-28 - 0{,}2F + 36 = 0 \;\Rightarrow\; 0{,}2F = 8 \;\Rightarrow\; F = 40$ N. Kiểm tra lại: $20(-1{,}4)+40(-0{,}2)+45(0{,}8) = -28-8+36=0$ (2) — khớp.
4
Vậy $F = 40$ N. Ghi nhớ: khi biết điểm tựa, phương trình $\sum F_i(x_i-x_p)=0$ trở thành phương trình bậc nhất một ẩn cho lực còn thiếu — không cần dò lại từ đầu.
Vậy $F = 40$ N. **Ghi nhớ:** khi biết điểm tựa, phương trình $\sum F_i(x_i-x_p)=0$ trở thành phương trình bậc nhất một ẩn cho lực còn thiếu — không cần dò lại từ đầu.

Luyện tập

Bẫy thường gặp

Với hệ nhiều lực, học sinh hay quên dấu khi lực nằm ở hai phía khác nhau so với điểm tựa dự đoán — nếu điểm tựa dự đoán sai phía, phương trình vẫn giải ra nghiệm nhưng vô lý (âm hoặc ngoài thanh). Luôn thử lại nghiệm bằng cách thay vào $\sum F_i(x_i-x_p)$ và kiểm tra tổng bằng 0.

Với hệ nhiều lực, học sinh hay quên **dấu** khi lực nằm ở hai phía khác nhau so với điểm tựa dự đoán — nếu điểm tựa dự đoán sai phía, phương trình vẫn giải ra nghiệm nhưng vô lý (âm hoặc ngoài thanh). Luôn thử lại nghiệm bằng cách thay vào $\sum F_i(x_i-x_p)$ và kiểm tra tổng bằng 0.

Tóm lại: với nhiều lực song song cùng chiều trên một thanh nhẹ tựa tại một điểm, vị trí điểm tựa cân bằng là trung bình có trọng số $x_p = \sum F_ix_i / \sum F_i$ . Khi biết điểm tựa và thiếu một lực, phương trình $\sum F_i(x_i-x_p)=0$ trở thành phương trình bậc nhất giải trực tiếp.

**Tóm lại:** với nhiều lực song song cùng chiều trên một thanh nhẹ tựa tại một điểm, vị trí điểm tựa cân bằng là trung bình có trọng số $x_p = \sum F_ix_i / \sum F_i$. Khi biết điểm tựa và thiếu một lực, phương trình $\sum F_i(x_i-x_p)=0$ trở thành phương trình bậc nhất giải trực tiếp.

Bài tiếp theo xử lý một chi tiết mà đề bài trên đã lờ đi: bản thân thanh cũng có trọng lượng. Khi thanh không còn "nhẹ", trọng lượng của chính nó cũng phải được tính như một lực đặt tại trung điểm.