Bài học

Bài toán tối ưu qua đỉnh của hàm số bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em mô hình hoá được một tình huống thực tế bằng hàm số bậc hai và dùng toạ độ đỉnh để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của đại lượng cần tối ưu.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em công cụ: tìm đỉnh, xác định GTLN/GTNN qua dấu của $a$ . Bài này không thêm công thức mới, chỉ thêm một bước trước công thức — dịch một tình huống bằng lời sang một hàm số bậc hai (same-grade bridge). Em cũng cần nhớ lại điều đã lưu ý ở bài đỉnh và bảng biến thiên: GTLN/GTNN tại đỉnh chỉ chắc chắn đúng khi $x$ được phép chạy khắp $\mathbb{R}$ — bài này sẽ gặp cả hai tình huống, khi đỉnh nằm trong điều kiện thực tế và khi nó nằm ngoài.

Hai bài trước đã cho em công cụ: tìm đỉnh, xác định GTLN/GTNN qua dấu của $a$. Bài này không thêm công thức mới, chỉ thêm một bước trước công thức — dịch một tình huống bằng lời sang một hàm số bậc hai (same-grade bridge). Em cũng cần nhớ lại điều đã lưu ý ở bài đỉnh và bảng biến thiên: GTLN/GTNN tại đỉnh chỉ chắc chắn đúng khi $x$ được phép chạy khắp $\mathbb{R}$ — bài này sẽ gặp cả hai tình huống, khi đỉnh nằm trong điều kiện thực tế và khi nó nằm ngoài.

Khởi động

Một hộ nông dân có sẵn 40 mét lưới thép, muốn quây một mảnh vườn hình chữ nhật sát một bức tường đã có, chỉ cần rào ba cạnh còn lại. Chiều dài các cạnh có thể chọn tuỳ ý, miễn tổng chiều dài lưới thép dùng đúng 40 mét. Nên chọn kích thước nào để diện tích vườn lớn nhất — và vì sao câu trả lời lại liên quan đến đỉnh của một parabol?

Dịch tình huống thực tế thành hàm số bậc hai

Rất nhiều bài toán tối ưu — diện tích lớn nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí thấp nhất — đều có chung một cấu trúc: gọi một đại lượng chưa biết là $x$ , biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$ , và nếu biểu thức thu được là một tam thức bậc hai, giá trị tối ưu chính là tung độ đỉnh $-\Delta/4a$ , đạt được tại $x=-b/2a$ .

Rất nhiều bài toán tối ưu — diện tích lớn nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí thấp nhất — đều có chung một cấu trúc: gọi một đại lượng chưa biết là $x$, biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$, và nếu biểu thức thu được là một tam thức bậc hai, giá trị tối ưu chính là tung độ đỉnh $-\Delta/4a$, đạt được tại $x=-b/2a$.

Bước khó nhất không nằm ở công thức đỉnh — đó là bước đầu: dịch câu chuyện bằng lời sang một hàm số. Với bài toán hàng rào ở trên, gọi $x$ (mét) là chiều dài mỗi cạnh vuông góc với tường, thì cạnh song song với tường dùng hết phần lưới còn lại: $40-2x$ . Diện tích vườn là $S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$ — một hàm số bậc hai của $x$ , với điều kiện $0<x<20$ để cả hai cạnh đều dương.

Bước khó nhất không nằm ở công thức đỉnh — đó là bước đầu: dịch câu chuyện bằng lời sang một hàm số. Với bài toán hàng rào ở trên, gọi $x$ (mét) là chiều dài mỗi cạnh vuông góc với tường, thì cạnh song song với tường dùng hết phần lưới còn lại: $40-2x$. Diện tích vườn là $S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$ — một hàm số bậc hai của $x$, với điều kiện $0<x<20$ để cả hai cạnh đều dương.

Cách đặt ẩn không phải lúc nào cũng duy nhất — có thể gọi $x$ là cạnh song song với tường thay vì cạnh vuông góc, và vẫn ra cùng một đáp số cuối cùng, chỉ khác cách trình bày trung gian. Điều quan trọng là chọn một cách đặt ẩn rồi theo nó nhất quán đến hết bài, thay vì đổi ý giữa chừng.

Ví dụ

Diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật

1
Một hộ nông dân có 40 m lưới thép để rào ba cạnh còn lại của một mảnh vườn hình chữ nhật (cạnh thứ tư đã có sẵn tường nhà). Tìm kích thước để diện tích vườn lớn nhất.
2
Gọi $x$ (m, $0<x<20$ ) là chiều dài mỗi cạnh vuông góc với tường. Cạnh song song với tường là $40-2x$ . Diện tích $S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$ .
Gọi $x$ (m, $0<x<20$) là chiều dài mỗi cạnh vuông góc với tường. Cạnh song song với tường là $40-2x$. Diện tích $S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$.
3
$a=-2$ , $b=40$ , $\Delta=1600$ . $x_0=-\dfrac{40}{2\cdot(-2)}=10$ ; $y_0=-\dfrac{1600}{4\cdot(-2)}=200$ .
$a=-2$, $b=40$, $\Delta=1600$. $x_0=-\dfrac{40}{2\cdot(-2)}=10$; $y_0=-\dfrac{1600}{4\cdot(-2)}=200$.
4
Vì $a=-2<0$ , $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $x=10$ thuộc $(0;20)$ , thoả điều kiện. Diện tích lớn nhất là 200 m², khi chiều vuông góc với tường là 10 m và chiều song song với tường là $40-20=20$ m.
Vì $a=-2<0$, $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $x=10$ thuộc $(0;20)$, thoả điều kiện. Diện tích lớn nhất là 200 m², khi chiều vuông góc với tường là 10 m và chiều song song với tường là $40-20=20$ m.
5
Thay $x=10$ : $S(10)=10(40-20)=10\cdot20=200$ m² — khớp với $y_0$ vừa tính bằng công thức đỉnh.
Thay $x=10$: $S(10)=10(40-20)=10\cdot20=200$ m² — khớp với $y_0$ vừa tính bằng công thức đỉnh.

Ví dụ

Giá bán tối ưu để lợi nhuận lớn nhất

1
Một cửa hàng bán một loại áo. Theo khảo sát, nếu bán với giá $x$ (nghìn đồng/áo, $x>100$ ) thì mỗi tháng bán được $(300-x)$ chiếc. Biết giá vốn mỗi áo là 100 nghìn đồng. Tìm giá bán để lợi nhuận trong tháng lớn nhất.
Một cửa hàng bán một loại áo. Theo khảo sát, nếu bán với giá $x$ (nghìn đồng/áo, $x>100$) thì mỗi tháng bán được $(300-x)$ chiếc. Biết giá vốn mỗi áo là 100 nghìn đồng. Tìm giá bán để lợi nhuận trong tháng lớn nhất.
2
Lợi nhuận mỗi áo là $(x-100)$ nghìn đồng, số áo bán được là $(300-x)$ . Lợi nhuận tháng: $P(x)=(x-100)(300-x)=-x^2+400x-30000$ .
Lợi nhuận mỗi áo là $(x-100)$ nghìn đồng, số áo bán được là $(300-x)$. Lợi nhuận tháng: $P(x)=(x-100)(300-x)=-x^2+400x-30000$.
3
$a=-1$ , $b=400$ , $\Delta=400^2-4\cdot(-1)\cdot(-30000)=160000-120000=40000$ . $x_0=-\dfrac{400}{2\cdot(-1)}=200$ ; $y_0=-\dfrac{40000}{4\cdot(-1)}=10000$ .
$a=-1$, $b=400$, $\Delta=400^2-4\cdot(-1)\cdot(-30000)=160000-120000=40000$. $x_0=-\dfrac{400}{2\cdot(-1)}=200$; $y_0=-\dfrac{40000}{4\cdot(-1)}=10000$.
4
Vì $a=-1<0$ , $P(x)$ lớn nhất tại đỉnh. $x_0=200$ thoả $x>100$ . Vậy giá bán 200 nghìn đồng/áo cho lợi nhuận tháng lớn nhất là 10000 nghìn đồng, tức 10 triệu đồng.
Vì $a=-1<0$, $P(x)$ lớn nhất tại đỉnh. $x_0=200$ thoả $x>100$. Vậy giá bán 200 nghìn đồng/áo cho lợi nhuận tháng lớn nhất là 10000 nghìn đồng, tức 10 triệu đồng.
5
Thay $x=200$ : $P(200)=(200-100)(300-200)=100\cdot100=10000$ , khớp với $y_0$ .
Thay $x=200$: $P(200)=(200-100)(300-200)=100\cdot100=10000$, khớp với $y_0$.

Ví dụ

Khi đỉnh nằm ngoài điều kiện thực tế của

x

1
Một xưởng sản xuất tối đa 30 sản phẩm mỗi ngày. Lợi nhuận theo số lượng $x$ sản phẩm ( $0\le x\le30$ ) là $L(x)=-x^2+80x-1200$ (nghìn đồng). Tìm số lượng cần sản xuất trong ngày để lợi nhuận lớn nhất.
Một xưởng sản xuất tối đa 30 sản phẩm mỗi ngày. Lợi nhuận theo số lượng $x$ sản phẩm ($0\le x\le30$) là $L(x)=-x^2+80x-1200$ (nghìn đồng). Tìm số lượng cần sản xuất trong ngày để lợi nhuận lớn nhất.
2
$a=-1,b=80$ . $x_0=-\dfrac{80}{2\cdot(-1)}=40$ .
$a=-1,b=80$. $x_0=-\dfrac{80}{2\cdot(-1)}=40$.
3
Đỉnh nằm tại $x_0=40$ , nhưng đề bài chỉ cho phép $0\le x\le30$ — đỉnh nằm NGOÀI khoảng cho phép. Không thể lấy $x_0=40$ làm đáp số.
Đỉnh nằm tại $x_0=40$, nhưng đề bài chỉ cho phép $0\le x\le30$ — đỉnh nằm NGOÀI khoảng cho phép. Không thể lấy $x_0=40$ làm đáp số.
4
Vì $a=-1<0$ , hàm số đồng biến trên $(-\infty;40)$ . Đoạn $[0;30]$ nằm hoàn toàn bên trái $x_0=40$ , nên $L(x)$ đồng biến suốt cả đoạn $[0;30]$ — giá trị lớn nhất trên đoạn này đạt tại đầu mút phải $x=30$ , không phải tại đỉnh.
Vì $a=-1<0$, hàm số đồng biến trên $(-\infty;40)$. Đoạn $[0;30]$ nằm hoàn toàn bên trái $x_0=40$, nên $L(x)$ đồng biến suốt cả đoạn $[0;30]$ — giá trị lớn nhất trên đoạn này đạt tại đầu mút phải $x=30$, không phải tại đỉnh.
5
$L(30)=-900+2400-1200=300$ . Vậy sản xuất 30 sản phẩm mỗi ngày (mức tối đa cho phép) cho lợi nhuận lớn nhất là 300 nghìn đồng.
$L(30)=-900+2400-1200=300$. Vậy sản xuất 30 sản phẩm mỗi ngày (mức tối đa cho phép) cho lợi nhuận lớn nhất là 300 nghìn đồng.
6
So sánh với đầu mút còn lại: $L(0)=-1200$ — âm, tức lỗ, hợp lý vì không sản xuất gì vẫn phải chịu chi phí cố định. $L(30)=300>L(0)$ , khớp với kết luận hàm số đồng biến suốt đoạn $[0;30]$ .
So sánh với đầu mút còn lại: $L(0)=-1200$ — âm, tức lỗ, hợp lý vì không sản xuất gì vẫn phải chịu chi phí cố định. $L(30)=300>L(0)$, khớp với kết luận hàm số đồng biến suốt đoạn $[0;30]$.

Diện tích

S(x)

tăng dần rồi giảm dần đối xứng qua

x=10

— đúng bằng hoành độ đỉnh của mô hình bậc hai.Diện tích $S(x)$ tăng dần rồi giảm dần đối xứng qua $x=10$ — đúng bằng hoành độ đỉnh của mô hình bậc hai.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất không nằm ở việc tính đỉnh mà ở bước lập hàm số: nhiều em quên đặt điều kiện cho $x$ (ở đây $0<x<20$ , hoặc $x>100$ trong bài lợi nhuận) nên có thể chấp nhận một đáp số đúng về đại số nhưng vô lý về thực tế — một cạnh âm, hoặc một mức giá bán thấp hơn giá vốn. Luôn kiểm tra $x_0$ tìm được có nằm trong điều kiện thực tế của đề hay không trước khi kết luận. Một lỗi thứ hai, dễ bỏ sót hơn: khi đỉnh nằm ngoài điều kiện cho phép (như ví dụ xưởng sản xuất ở trên), nhiều em vẫn máy móc trả lời bằng toạ độ đỉnh mà không kiểm tra nó có thuộc miền cho phép hay không — luôn hỏi câu hỏi đó trước khi chốt đáp số cuối cùng.

Sai lầm phổ biến nhất không nằm ở việc tính đỉnh mà ở bước lập hàm số: nhiều em quên đặt điều kiện cho $x$ (ở đây $0<x<20$, hoặc $x>100$ trong bài lợi nhuận) nên có thể chấp nhận một đáp số đúng về đại số nhưng vô lý về thực tế — một cạnh âm, hoặc một mức giá bán thấp hơn giá vốn. Luôn kiểm tra $x_0$ tìm được có nằm trong điều kiện thực tế của đề hay không trước khi kết luận. Một lỗi thứ hai, dễ bỏ sót hơn: khi đỉnh nằm ngoài điều kiện cho phép (như ví dụ xưởng sản xuất ở trên), nhiều em vẫn máy móc trả lời bằng toạ độ đỉnh mà không kiểm tra nó có thuộc miền cho phép hay không — luôn hỏi câu hỏi đó trước khi chốt đáp số cuối cùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Giải một bài toán tối ưu bằng hàm số bậc hai luôn theo hai bước: dịch tình huống thành một hàm số $S(x)$ hoặc $P(x)$ kèm điều kiện thực tế cho $x$ , rồi tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất bằng toạ độ đỉnh — không cần thử nhiều giá trị $x$ . Bước thứ ba, hay bị bỏ quên, là đối chiếu đỉnh với điều kiện: nếu đỉnh nằm trong miền cho phép thì đáp số chính là giá trị tại đỉnh; nếu đỉnh nằm ngoài, đáp số nằm ở đầu mút gần đỉnh nhất của miền cho phép, vì hàm số đơn điệu suốt cả miền đó.

Giải một bài toán tối ưu bằng hàm số bậc hai luôn theo hai bước: dịch tình huống thành một hàm số $S(x)$ hoặc $P(x)$ kèm điều kiện thực tế cho $x$, rồi tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất bằng toạ độ đỉnh — không cần thử nhiều giá trị $x$. Bước thứ ba, hay bị bỏ quên, là đối chiếu đỉnh với điều kiện: nếu đỉnh nằm trong miền cho phép thì đáp số chính là giá trị tại đỉnh; nếu đỉnh nằm ngoài, đáp số nằm ở đầu mút gần đỉnh nhất của miền cho phép, vì hàm số đơn điệu suốt cả miền đó.

Bài cuối cùng của chương sẽ đặt hàm số bậc hai cạnh một đường thẳng, và trả lời câu hỏi: chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm, và những điểm đó ở đâu.