Bài học

Ôn tập tổng hợp: hàm số, hàm số bậc hai và ứng dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vận dụng tổng hợp toàn bộ các kỹ năng của khoá — tìm tập xác định, xét biến thiên và tính chẵn lẻ, xác định đỉnh và bảng biến thiên, vẽ đồ thị, giải bài toán tối ưu, và xét tương giao — trong một đề ôn tập có cấu trúc giống một đề kiểm tra thật.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kiến thức mới — nó ghép lại đúng những công thức và kỹ thuật đã học ở năm bài trước của khoá, theo đúng thứ tự một đề kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thường gặp trong trường.

Khởi động

Một chiếc cổng hình parabol ở một số công trình công cộng luôn đối xứng hoàn hảo qua đường thẳng đứng chính giữa, dù người thợ xây không hề đo đạc riêng từng bên. Vì sao kiến trúc dạng này lại tự động đảm bảo được tính đối xứng đó, chỉ nhờ bản chất của hàm số bậc hai?

Ôn lại các mốc quan trọng

Trước khi làm đề ôn tập, hãy điểm lại bốn con số quyết định mọi bài toán về hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ ( $a\ne0$ ): $\Delta=b^2-4ac$ , hoành độ đỉnh $x_0=-b/2a$ , tung độ đỉnh $y_0=-\Delta/4a$ , và dấu của $a$ quyết định hướng bề lõm cùng việc $y_0$ là GTNN hay GTLN. Với một hàm số bất kỳ, tính chẵn kiểm tra bằng $f(-x)=f(x)$ , tính lẻ bằng $f(-x)=-f(x)$ . Với giao điểm của $(P)$ và một đường thẳng $d$ , mọi thứ quy về giải phương trình hoành độ giao điểm rồi xét dấu $\Delta$ của chính phương trình đó.

Trước khi làm đề ôn tập, hãy điểm lại bốn con số quyết định mọi bài toán về hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$): $\Delta=b^2-4ac$, hoành độ đỉnh $x_0=-b/2a$, tung độ đỉnh $y_0=-\Delta/4a$, và dấu của $a$ quyết định hướng bề lõm cùng việc $y_0$ là GTNN hay GTLN. Với một hàm số bất kỳ, tính chẵn kiểm tra bằng $f(-x)=f(x)$, tính lẻ bằng $f(-x)=-f(x)$. Với giao điểm của $(P)$ và một đường thẳng $d$, mọi thứ quy về giải phương trình hoành độ giao điểm rồi xét dấu $\Delta$ của chính phương trình đó.

Cũng nên nhớ lại tập xác định: với hàm số bậc hai, đa thức luôn cho $D=\mathbb{R}$ , nhưng khoá này bắt đầu từ những hàm số tổng quát hơn có căn hoặc có mẫu, nơi $D$ phải tính riêng qua hai điều kiện quen thuộc. Một đề ôn tập tổng hợp thường trộn cả hai loại câu hỏi này trong cùng một đề — kỹ năng nhận diện nhanh loại hàm số nào đang gặp phải, để áp dụng đúng quy trình, quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức.

Cũng nên nhớ lại tập xác định: với hàm số bậc hai, đa thức luôn cho $D=\mathbb{R}$, nhưng khoá này bắt đầu từ những hàm số tổng quát hơn có căn hoặc có mẫu, nơi $D$ phải tính riêng qua hai điều kiện quen thuộc. Một đề ôn tập tổng hợp thường trộn cả hai loại câu hỏi này trong cùng một đề — kỹ năng nhận diện nhanh loại hàm số nào đang gặp phải, để áp dụng đúng quy trình, quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức.

Đề ôn tập dưới đây gộp một bài toán khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ — tập xác định, đỉnh, bảng biến thiên, giao điểm — với một bài toán ứng dụng gắn liền với tính chẵn: một chiếc cổng parabol đối xứng. Làm quen với dạng đề gộp nhiều ý nhỏ như thế này chính là điều một đề kiểm tra giữa kỳ hay cuối kỳ lớp 10 thường yêu cầu.

Ví dụ

Đề ôn tập — khảo sát hàm số bậc hai

1
Cho hàm số $y=-x^2+4x-3$ . a) Tìm tập xác định. b) Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng. c) Lập bảng biến thiên. d) Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ.
Cho hàm số $y=-x^2+4x-3$. a) Tìm tập xác định. b) Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng. c) Lập bảng biến thiên. d) Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ.
2
Đây là một đa thức, không có căn, không có mẫu chứa biến, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$ .
Đây là một đa thức, không có căn, không có mẫu chứa biến, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$.
3
$a=-1,b=4,c=-3$ . $\Delta=16-12=4$ . $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$ . $y_0=-\dfrac{4}{4\cdot(-1)}=1$ . Đỉnh $I(2;1)$ , trục đối xứng $x=2$ .
$a=-1,b=4,c=-3$. $\Delta=16-12=4$. $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$. $y_0=-\dfrac{4}{4\cdot(-1)}=1$. Đỉnh $I(2;1)$, trục đối xứng $x=2$.
4
Vì $a=-1<0$ , hàm số đồng biến trên $(-\infty;2)$ , nghịch biến trên $(2;+\infty)$ , giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=2$ .
Vì $a=-1<0$, hàm số đồng biến trên $(-\infty;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty)$, giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=2$.
5
Giao $Oy$ : thay $x=0$ , $y=-3$ , điểm $(0;-3)$ . Giao $Ox$ : giải $-x^2+4x-3=0 \iff x^2-4x+3=0 \iff x=1$ hoặc $x=3$ , hai điểm $(1;0)$ và $(3;0)$ .
Giao $Oy$: thay $x=0$, $y=-3$, điểm $(0;-3)$. Giao $Ox$: giải $-x^2+4x-3=0 \iff x^2-4x+3=0 \iff x=1$ hoặc $x=3$, hai điểm $(1;0)$ và $(3;0)$.
6
Thay $x=1$ : $-1+4-3=0$ , khớp; thay $x=3$ : $-9+12-3=0$ , khớp; thay $x=2$ : $-4+8-3=1$ , khớp với $y_0$ .
Thay $x=1$: $-1+4-3=0$, khớp; thay $x=3$: $-9+12-3=0$, khớp; thay $x=2$: $-4+8-3=1$, khớp với $y_0$.

Ví dụ

Đề ôn tập — bài toán ứng dụng gắn với tính chẵn

1
Một chiếc cổng hình parabol có phương trình $y=-0{,}5x^2+4$ (x, y tính bằng mét), gốc toạ độ đặt tại chân đường vuông góc hạ từ đỉnh cổng xuống mặt đất. Tìm chiều cao cổng, chiều rộng chân cổng, rồi xét tính chẵn – lẻ của hàm số mô tả cổng.
Một chiếc cổng hình parabol có phương trình $y=-0{,}5x^2+4$ (x, y tính bằng mét), gốc toạ độ đặt tại chân đường vuông góc hạ từ đỉnh cổng xuống mặt đất. Tìm chiều cao cổng, chiều rộng chân cổng, rồi xét tính chẵn – lẻ của hàm số mô tả cổng.
2
Chiều cao cổng là tung độ đỉnh, đạt tại $x=0$ : $y=-0{,}5\cdot0+4=4$ . Vậy cổng cao 4 m.
Chiều cao cổng là tung độ đỉnh, đạt tại $x=0$: $y=-0{,}5\cdot0+4=4$. Vậy cổng cao 4 m.
3
Chân cổng là giao điểm với mặt đất $y=0$ : $-0{,}5x^2+4=0 \iff x^2=8 \iff x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$ (xấp xỉ $\pm2{,}83$ m). Chiều rộng chân cổng là $2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx5{,}66$ m.
Chân cổng là giao điểm với mặt đất $y=0$: $-0{,}5x^2+4=0 \iff x^2=8 \iff x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$ (xấp xỉ $\pm2{,}83$ m). Chiều rộng chân cổng là $2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx5{,}66$ m.
4
$D=\mathbb{R}$ , đối xứng qua 0. $f(-x)=-0{,}5(-x)^2+4=-0{,}5x^2+4=f(x)$ với mọi $x$ . Vậy hàm số mô tả cổng là hàm số chẵn.
$D=\mathbb{R}$, đối xứng qua 0. $f(-x)=-0{,}5(-x)^2+4=-0{,}5x^2+4=f(x)$ với mọi $x$. Vậy hàm số mô tả cổng là hàm số chẵn.
5
Việc hàm số chẵn giải thích đúng vì sao cổng đối xứng hoàn hảo qua đường thẳng đứng chính giữa (trục tung) — đối xứng hình học của cổng chính là biểu hiện trực tiếp của tính chẵn vừa chứng minh.

Ví dụ

Đề ôn tập — tương giao với hàm số vừa khảo sát

1
Với hàm số $y=-x^2+4x-3$ ở câu khảo sát phía trên, tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng $d: y=x-3$ .
Với hàm số $y=-x^2+4x-3$ ở câu khảo sát phía trên, tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng $d: y=x-3$.
2
$-x^2+4x-3=x-3 \iff -x^2+3x=0 \iff x(3-x)=0$ .
$-x^2+4x-3=x-3 \iff -x^2+3x=0 \iff x(3-x)=0$.
3
$x=0$ hoặc $x=3$ .
$x=0$ hoặc $x=3$.
4
Tại $x=0$ : $y=0-3=-3$ . Tại $x=3$ : $y=3-3=0$ .
Tại $x=0$: $y=0-3=-3$. Tại $x=3$: $y=3-3=0$.
5
Vậy $d$ cắt đồ thị tại hai điểm $(0;-3)$ và $(3;0)$ .
Vậy $d$ cắt đồ thị tại hai điểm $(0;-3)$ và $(3;0)$.
6
Cả hai điểm này không hề mới: $(0;-3)$ chính là giao điểm với $Oy$ đã tìm ở câu a, còn $(3;0)$ chính là một trong hai nghiệm đã tìm được. Đường thẳng $d$ ở đây tình cờ đi qua đúng hai điểm đặc biệt đã biết của đồ thị — một lời nhắc rằng các mốc đã tìm trong một câu khảo sát vẫn hữu ích khi câu sau hỏi thêm về tương giao.
Cả hai điểm này không hề mới: $(0;-3)$ chính là giao điểm với $Oy$ đã tìm ở câu a, còn $(3;0)$ chính là một trong hai nghiệm đã tìm được. Đường thẳng $d$ ở đây tình cờ đi qua đúng hai điểm đặc biệt đã biết của đồ thị — một lời nhắc rằng các mốc đã tìm trong một câu khảo sát vẫn hữu ích khi câu sau hỏi thêm về tương giao.

Đồ thị hàm số ở câu khảo sát của đề ôn tập, ghi lại đủ bốn mốc vừa tìm được.

Đồ thị đối xứng hoàn toàn qua trục tung — đúng như tính chẵn vừa chứng minh ở ví dụ.

Sai lầm thường gặp

Trong một đề gộp nhiều ý, lỗi phổ biến nhất là làm tắt — bỏ qua bước kiểm tra dấu $\Delta$ trước khi kết luận số giao điểm, hoặc quên đổi dấu khi hàm số có hệ số $a$ âm. Một lỗi khác riêng cho bài toán cổng: quên rằng chiều rộng chân cổng là khoảng cách giữa HAI nghiệm ( $2\cdot2\sqrt{2}$ ), không phải chỉ một nghiệm dương. Một lỗi thứ ba, đặc trưng của đề ôn tập nhiều câu nhỏ: dùng nhầm kết quả của câu này sang câu khác mà không kiểm tra lại — như ở ví dụ tương giao vừa rồi, hai điểm tìm được trùng với hai mốc đã có sẵn từ câu khảo sát không phải ngẫu nhiên đúng luôn, mà cần được xác nhận lại bằng phép tính, không suy diễn vội.

Trong một đề gộp nhiều ý, lỗi phổ biến nhất là làm tắt — bỏ qua bước kiểm tra dấu $\Delta$ trước khi kết luận số giao điểm, hoặc quên đổi dấu khi hàm số có hệ số $a$ âm. Một lỗi khác riêng cho bài toán cổng: quên rằng chiều rộng chân cổng là khoảng cách giữa HAI nghiệm ($2\cdot2\sqrt{2}$), không phải chỉ một nghiệm dương. Một lỗi thứ ba, đặc trưng của đề ôn tập nhiều câu nhỏ: dùng nhầm kết quả của câu này sang câu khác mà không kiểm tra lại — như ở ví dụ tương giao vừa rồi, hai điểm tìm được trùng với hai mốc đã có sẵn từ câu khảo sát không phải ngẫu nhiên đúng luôn, mà cần được xác nhận lại bằng phép tính, không suy diễn vội.

Luyện tập tổng hợp

Tóm tắt

Đề ôn tập vừa rồi không đưa thêm kiến thức nào ngoài khoá — nó chỉ ghép lại đúng những công thức $\Delta$ , đỉnh, tính chẵn lẻ, và phương trình hoành độ giao điểm đã học suốt các bài trước, theo đúng cấu trúc một đề kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ. Nếu một câu nào trong phần luyện tập tổng hợp còn thấy khó, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng bài đã dạy kỹ thuật đó, ôn lại ví dụ mẫu, rồi mới quay lại làm câu đó lần nữa.

Đề ôn tập vừa rồi không đưa thêm kiến thức nào ngoài khoá — nó chỉ ghép lại đúng những công thức $\Delta$, đỉnh, tính chẵn lẻ, và phương trình hoành độ giao điểm đã học suốt các bài trước, theo đúng cấu trúc một đề kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ. Nếu một câu nào trong phần luyện tập tổng hợp còn thấy khó, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng bài đã dạy kỹ thuật đó, ôn lại ví dụ mẫu, rồi mới quay lại làm câu đó lần nữa.

Hoàn thành khoá này, em đã có đủ nền tảng về hàm số và hàm số bậc hai để bước sang phần tiếp theo của chương trình lớp 10: xét dấu tam thức bậc hai và giải bất phương trình bậc hai — nội dung dùng lại chính xác công thức $\Delta$ và đỉnh vừa ôn ở đây.