Bài học

Vẽ và đọc đồ thị hàm số bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vẽ được đồ thị một hàm số bậc hai qua các bước chuẩn, và đọc/khôi phục lại được công thức hàm số từ đồ thị cho trước, kể cả khi đề bài chỉ cho vài điểm rời rạc chứ không cho đỉnh.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em đỉnh, trục đối xứng, và bảng biến thiên của $y=x^2-4x+3$ (same-grade bridge, nối tiếp trực tiếp). Bài này dùng lại đúng những con số đó để hoàn thiện bức tranh: vẽ ra đồ thị đầy đủ. Em cũng cần nhớ lại cách giải phương trình bậc hai bằng $\Delta$ từ lớp 9 (prior-grade review), vì tìm giao điểm với trục hoành chính là giải lại phương trình đó.

Khởi động

Chỉ với hai thông tin — toạ độ đỉnh và một điểm bất kỳ mà đồ thị đi qua — liệu có đủ để dựng lại toàn bộ công thức của một hàm số bậc hai, không cần biết trước $a$ , $b$ , $c$ ? Bài học hôm nay trả lời bằng chính ví dụ đã quen từ bài trước, rồi mở rộng sang trường hợp khó hơn: chỉ biết ba điểm rời rạc, không hề biết đỉnh ở đâu.

Chỉ với hai thông tin — toạ độ đỉnh và một điểm bất kỳ mà đồ thị đi qua — liệu có đủ để dựng lại toàn bộ công thức của một hàm số bậc hai, không cần biết trước $a$, $b$, $c$? Bài học hôm nay trả lời bằng chính ví dụ đã quen từ bài trước, rồi mở rộng sang trường hợp khó hơn: chỉ biết ba điểm rời rạc, không hề biết đỉnh ở đâu.

Các bước vẽ đồ thị

Để vẽ đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ , ta thực hiện theo thứ tự: xác định toạ độ đỉnh $I(-b/2a;-\Delta/4a)$ và vẽ trục đối xứng $x=-b/2a$ ; tìm giao điểm với trục tung bằng cách thay $x=0$ , được điểm $(0;c)$ ; tìm giao điểm với trục hoành, nếu có, bằng cách giải $ax^2+bx+c=0$ ; lấy thêm một điểm đối xứng qua trục đối xứng với điểm giao $Oy$ để có đủ dữ liệu; cuối cùng nối các điểm bằng một đường cong trơn, không phải các đoạn thẳng gấp khúc. Thứ tự này không tuỳ tiện: đỉnh và trục đối xứng luôn tìm được (mọi parabol đều có), trong khi giao điểm với trục hoành thì không — nên xác định đỉnh trước giúp em không bị phụ thuộc vào một bước có thể không tồn tại.

Để vẽ đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$, ta thực hiện theo thứ tự: xác định toạ độ đỉnh $I(-b/2a;-\Delta/4a)$ và vẽ trục đối xứng $x=-b/2a$; tìm giao điểm với trục tung bằng cách thay $x=0$, được điểm $(0;c)$; tìm giao điểm với trục hoành, nếu có, bằng cách giải $ax^2+bx+c=0$; lấy thêm một điểm đối xứng qua trục đối xứng với điểm giao $Oy$ để có đủ dữ liệu; cuối cùng nối các điểm bằng một đường cong trơn, không phải các đoạn thẳng gấp khúc. Thứ tự này không tuỳ tiện: đỉnh và trục đối xứng luôn tìm được (mọi parabol đều có), trong khi giao điểm với trục hoành thì không — nên xác định đỉnh trước giúp em không bị phụ thuộc vào một bước có thể không tồn tại.

Giao điểm với trục hoành chính là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ — có thể có hai nghiệm phân biệt ( $\Delta>0$ ), một nghiệm kép tức đồ thị tiếp xúc trục hoành đúng tại đỉnh ( $\Delta=0$ ), hoặc không có nghiệm thực nào, tức đồ thị không cắt trục hoành ( $\Delta<0$ ). Ba trường hợp này khớp chính xác với ba trường hợp của $\Delta$ mà em đã gặp khi giải phương trình bậc hai.

Giao điểm với trục hoành chính là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ — có thể có hai nghiệm phân biệt ($\Delta>0$), một nghiệm kép tức đồ thị tiếp xúc trục hoành đúng tại đỉnh ($\Delta=0$), hoặc không có nghiệm thực nào, tức đồ thị không cắt trục hoành ($\Delta<0$). Ba trường hợp này khớp chính xác với ba trường hợp của $\Delta$ mà em đã gặp khi giải phương trình bậc hai.

Vì sao chỉ cần năm điểm — đỉnh, hai giao điểm trục hoành (nếu có), giao điểm trục tung, và điểm đối xứng của nó — là đủ để hình dung đúng cả parabol? Vì trục đối xứng buộc hình dạng hai bên phải giống hệt nhau, nên biết một nửa parabol (từ đỉnh sang một phía) là biết luôn nửa còn lại bằng phép phản chiếu. Năm điểm đó đã trải đều trên cả hai phía của trục đối xứng, đủ để mắt hình dung đúng độ cong và vị trí của đường parabol khi nối lại.

Đọc thông tin từ một đồ thị cho trước

Ngược với việc vẽ, khi đề bài cho sẵn đồ thị — hoặc chỉ cho toạ độ đỉnh và một điểm khác — ta có thể khôi phục công thức. Cách gọn nhất là viết hàm số dưới dạng đỉnh $y=a(x-x_0)^2+y_0$ với $(x_0;y_0)$ là toạ độ đỉnh đã biết, rồi thay toạ độ điểm còn lại vào để tìm $a$ .

Nếu đề bài không cho đỉnh mà chỉ cho ba điểm bất kỳ trên đồ thị, cách làm có khác: thay lần lượt cả ba điểm vào $y=ax^2+bx+c$ để được một hệ ba phương trình với ba ẩn $a,b,c$ , rồi giải hệ đó. Cách này luôn dùng được nhưng dài hơn nhiều; dạng đỉnh chỉ nhanh hơn khi đề đã cho sẵn đỉnh — nên việc đầu tiên khi đọc một đề bài dạng này là kiểm tra xem dữ kiện có đỉnh hay không, trước khi chọn cách giải.

Nếu đề bài không cho đỉnh mà chỉ cho ba điểm bất kỳ trên đồ thị, cách làm có khác: thay lần lượt cả ba điểm vào $y=ax^2+bx+c$ để được một hệ ba phương trình với ba ẩn $a,b,c$, rồi giải hệ đó. Cách này luôn dùng được nhưng dài hơn nhiều; dạng đỉnh chỉ nhanh hơn khi đề đã cho sẵn đỉnh — nên việc đầu tiên khi đọc một đề bài dạng này là kiểm tra xem dữ kiện có đỉnh hay không, trước khi chọn cách giải.

Ví dụ

Vẽ đồ thị

y=x^2-4x+3

Vẽ đồ thị $y=x^2-4x+3$

1
Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ .
Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$.
2
Từ bài trước, đỉnh $I(2;-1)$ , trục đối xứng $x=2$ .
Từ bài trước, đỉnh $I(2;-1)$, trục đối xứng $x=2$.
3
Thay $x=0$ : $y=3$ . Điểm $(0;3)$ .
Thay $x=0$: $y=3$. Điểm $(0;3)$.
4
Giải $x^2-4x+3=0$ . $\Delta=4>0$ nên phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{4-2}{2}=1$ và $x=\dfrac{4+2}{2}=3$ . Hai điểm $(1;0)$ và $(3;0)$ .
Giải $x^2-4x+3=0$. $\Delta=4>0$ nên phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{4-2}{2}=1$ và $x=\dfrac{4+2}{2}=3$. Hai điểm $(1;0)$ và $(3;0)$.
5
Điểm $(0;3)$ đối xứng qua trục $x=2$ cho điểm $(4;3)$ — kiểm tra: $4^2-4\cdot4+3=16-16+3=3$ , đúng.
Điểm $(0;3)$ đối xứng qua trục $x=2$ cho điểm $(4;3)$ — kiểm tra: $4^2-4\cdot4+3=16-16+3=3$, đúng.
6
Nối các điểm $I(2;-1)$ , $(1;0)$ , $(3;0)$ , $(0;3)$ , $(4;3)$ bằng một đường cong trơn, bề lõm lên trên (vì $a=1>0$ ), ta được đồ thị parabol cần vẽ.
Nối các điểm $I(2;-1)$, $(1;0)$, $(3;0)$, $(0;3)$, $(4;3)$ bằng một đường cong trơn, bề lõm lên trên (vì $a=1>0$), ta được đồ thị parabol cần vẽ.

Ví dụ

Khôi phục công thức từ đỉnh và một điểm

1
Một parabol có đỉnh $(2;-1)$ và đi qua điểm $(0;3)$ . Tìm công thức của hàm số.
Một parabol có đỉnh $(2;-1)$ và đi qua điểm $(0;3)$. Tìm công thức của hàm số.
2
Đặt $y=a(x-2)^2-1$ .
Đặt $y=a(x-2)^2-1$.
3
Thay $x=0,y=3$ : $3=a(0-2)^2-1=4a-1$ , suy ra $4a=4$ , tức $a=1$ .
Thay $x=0,y=3$: $3=a(0-2)^2-1=4a-1$, suy ra $4a=4$, tức $a=1$.
4
Vậy $y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$ — đúng bằng hàm số đã dùng suốt bài trước, xác nhận cách khôi phục công thức từ đỉnh và một điểm là đáng tin cậy.
Vậy $y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$ — đúng bằng hàm số đã dùng suốt bài trước, xác nhận cách khôi phục công thức từ đỉnh và một điểm là đáng tin cậy.

Ví dụ

Khôi phục công thức khi chỉ biết ba điểm (không biết đỉnh)

1
Một parabol đi qua ba điểm $(0;1)$ , $(1;0)$ , $(2;1)$ . Tìm công thức của hàm số.
Một parabol đi qua ba điểm $(0;1)$, $(1;0)$, $(2;1)$. Tìm công thức của hàm số.
2
$(0;1)$ : $c=1$ . $(1;0)$ : $a+b+c=0$ . $(2;1)$ : $4a+2b+c=1$ .
$(0;1)$: $c=1$. $(1;0)$: $a+b+c=0$. $(2;1)$: $4a+2b+c=1$.
3
Thay $c=1$ vào hai phương trình còn lại: $a+b=-1$ và $4a+2b=0 \iff 2a+b=0$ .
Thay $c=1$ vào hai phương trình còn lại: $a+b=-1$ và $4a+2b=0 \iff 2a+b=0$.
4
Trừ hai phương trình: $(2a+b)-(a+b)=0-(-1) \iff a=1$ . Suy ra $b=-2a=-2$ .
Trừ hai phương trình: $(2a+b)-(a+b)=0-(-1) \iff a=1$. Suy ra $b=-2a=-2$.
5
Vậy $y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ — một parabol có đỉnh $(1;0)$ , dù đề bài không hề nói trước đỉnh ở đâu. Cách làm này dài hơn dạng đỉnh nhưng luôn dùng được, kể cả khi không biết đỉnh.
Vậy $y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ — một parabol có đỉnh $(1;0)$, dù đề bài không hề nói trước đỉnh ở đâu. Cách làm này dài hơn dạng đỉnh nhưng luôn dùng được, kể cả khi không biết đỉnh.

Năm điểm mốc đủ để dựng chính xác hình dạng parabol — không cần lập bảng giá trị dài.

Đồ thị hàm số

y=-x^2+2x+3

, dùng để luyện đọc đồ thị ở phần luyện tập.Đồ thị hàm số $y=-x^2+2x+3$, dùng để luyện đọc đồ thị ở phần luyện tập.

Sai lầm thường gặp

Khi vẽ, nhiều em chỉ lấy 2–3 điểm rời rạc rồi nối bằng các đoạn thẳng gấp khúc — parabol luôn là một đường cong trơn, không có góc nhọn ở đỉnh hay ở bất kỳ điểm nào khác. Khi khôi phục công thức từ đỉnh và một điểm, lỗi hay gặp là quên viết dạng $y=a(x-x_0)^2+y_0$ mà thay thẳng vào $y=ax^2+bx+c$ với ba ẩn — cách này đúng nhưng dài hơn nhiều lần so với dùng dạng đỉnh. Một lỗi khác khi giải hệ ba ẩn ở cách làm không có đỉnh: quên thay $c$ đã tìm được vào hai phương trình còn lại trước khi giải tiếp, khiến hệ hai ẩn bị nhầm thành hệ ba ẩn không cần thiết.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Vẽ đồ thị hàm số bậc hai là ghép năm mốc quen thuộc — đỉnh, trục đối xứng, giao $Oy$ , giao $Ox$ (nếu có), điểm đối xứng — thành một đường cong trơn, không phải các đoạn thẳng gấp khúc. Ngược lại, biết đỉnh và một điểm khác là đủ để khôi phục chính xác công thức, nhờ dạng $y=a(x-x_0)^2+y_0$ ; khi đề bài không cho đỉnh, hệ ba phương trình từ ba điểm bất kỳ vẫn luôn giải được, chỉ dài hơn.

Vẽ đồ thị hàm số bậc hai là ghép năm mốc quen thuộc — đỉnh, trục đối xứng, giao $Oy$, giao $Ox$ (nếu có), điểm đối xứng — thành một đường cong trơn, không phải các đoạn thẳng gấp khúc. Ngược lại, biết đỉnh và một điểm khác là đủ để khôi phục chính xác công thức, nhờ dạng $y=a(x-x_0)^2+y_0$; khi đề bài không cho đỉnh, hệ ba phương trình từ ba điểm bất kỳ vẫn luôn giải được, chỉ dài hơn.

Hai bài tiếp theo sẽ đưa hàm số bậc hai ra khỏi trang giấy: dùng đỉnh để giải bài toán tối ưu thực tế, rồi xét xem một đường thẳng cắt parabol tại bao nhiêu điểm.