Bài học

Ôn tập: giải tam giác tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện đúng dữ kiện đề cho (SAS, SSS, hay ASA/AAS) để chọn công cụ phù hợp — định lý cosin, định lý sin hay công thức diện tích — và giải trọn vẹn một tam giác: đủ ba cạnh, đủ ba góc và diện tích.

Nhắc lại toàn chương

Bốn bài trước đã cho em ba công cụ tách rời: định lý cosin cho dạng SAS/SSS, định lý sin cho dạng ASA/AAS, và các công thức diện tích. "Giải tam giác" — tìm đủ mọi cạnh, mọi góc và diện tích của một tam giác — thường cần phối hợp cả ba công cụ đó trong cùng một bài, theo đúng thứ tự dữ kiện cho phép.

Cụm từ "giải tam giác" trong đề thi có nghĩa cụ thể: tìm cho đủ sáu đại lượng của một tam giác — ba cạnh, ba góc — dù đề chỉ cho một phần trong số đó ban đầu. Bài này luyện đúng kỹ năng đó trên một dữ kiện SAS quen thuộc, rồi mở rộng sang dữ kiện SSS ở ví dụ thứ hai, để em có đủ cả hai khuôn mẫu trước khi bước sang bài Ôn tập cuối cùng.

Khởi động

Một tam giác có $CB=a=8$ , $CA=b=5$ và góc $C=120°$ xen giữa. Đề chỉ cho hai cạnh và một góc — làm sao đi từ đó ra đủ cạnh thứ ba, hai góc còn lại và cả diện tích?

Một tam giác có $CB=a=8$, $CA=b=5$ và góc $C=120°$ xen giữa. Đề chỉ cho hai cạnh và một góc — làm sao đi từ đó ra đủ cạnh thứ ba, hai góc còn lại và cả diện tích?

Chọn đúng công cụ theo dữ kiện

Khi đề cho hai cạnh và góc xen giữa (SAS), bước đầu tiên luôn là định lý cosin để tìm cạnh thứ ba — không có cách nào khác đi thẳng tới cạnh đó. Sau khi đã có đủ ba cạnh, định lý sin (hoặc định lý cosin đảo ngược) cho hai góc còn lại. Diện tích thì tính được ngay từ bước đầu bằng $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ , không cần chờ cạnh thứ ba — một công thức chạy song song, không phụ thuộc thứ tự các bước kia.

Khi đề cho hai cạnh và góc xen giữa (SAS), bước đầu tiên luôn là định lý cosin để tìm cạnh thứ ba — không có cách nào khác đi thẳng tới cạnh đó. Sau khi đã có đủ ba cạnh, định lý sin (hoặc định lý cosin đảo ngược) cho hai góc còn lại. Diện tích thì tính được ngay từ bước đầu bằng $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$, không cần chờ cạnh thứ ba — một công thức chạy song song, không phụ thuộc thứ tự các bước kia.

Tổng kết lại, một tam giác có thể cho theo đúng ba kiểu dữ kiện, và mỗi kiểu có một điểm khởi đầu bắt buộc: cho hai cạnh và góc xen giữa (SAS) thì bắt đầu bằng cosin để tìm cạnh còn lại (ví dụ dưới đây); cho cả ba cạnh (SSS) thì cũng bắt đầu bằng cosin, nhưng dùng để tìm góc thay vì cạnh (như ví dụ 2 sau đây); còn cho một cạnh và hai góc (ASA/AAS) thì đi thẳng bằng định lý sin, không cần cosin ở bước nào cả — đây chính là dạng bài đã luyện kỹ ở bài Định lý sin. Nhận diện đúng dữ kiện thuộc kiểu nào là bước quyết định, trước cả khi chạm vào công thức.

Ví dụ: giải trọn vẹn một tam giác SAS

Lời giải có hình

Giải tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS)

Bước 1

Tam giác ABC có CB = a = 8, CA = b = 5 và góc C = 120° xen giữa.

Ví dụ

Giải tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa

1
Tam giác ABC có $CB=a=8$ , $CA=b=5$ và góc $C=120°$ . Tìm cạnh $c=AB$ , hai góc A, B và diện tích S.
Tam giác ABC có $CB=a=8$, $CA=b=5$ và góc $C=120°$. Tìm cạnh $c=AB$, hai góc A, B và diện tích S.
2
Ta có $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=64+25-2\times8\times5\times\cos120°=89-80\times(-0{,}5)=89+40=129$ , suy ra $c=\sqrt{129}\approx11,36$ .
Ta có $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=64+25-2\times8\times5\times\cos120°=89-80\times(-0{,}5)=89+40=129$, suy ra $c=\sqrt{129}\approx11,36$.
3
Ta có $\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{8\times\sin120°}{11,36}\approx0,61$ , suy ra $A\approx37,59°$ (nhọn, hợp lý vì góc C đã tù nên A, B đều phải nhọn).
Ta có $\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{8\times\sin120°}{11,36}\approx0,61$, suy ra $A\approx37,59°$ (nhọn, hợp lý vì góc C đã tù nên A, B đều phải nhọn).
4
Ta có $B=180°-120°-37,59°\approx22,41°$ .
Ta có $B=180°-120°-37,59°\approx22,41°$.
5
Ta có $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times8\times5\times\sin120°\approx17,32$ . Hạ đường cao $CH\perp AB$ : $CH=\dfrac{2S}{c}\approx3,05$ , và $\dfrac{1}{2}\times c\times CH\approx17,32$ — khớp với S vừa tính.
Ta có $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times8\times5\times\sin120°\approx17,32$. Hạ đường cao $CH\perp AB$: $CH=\dfrac{2S}{c}\approx3,05$, và $\dfrac{1}{2}\times c\times CH\approx17,32$ — khớp với S vừa tính.
6
Vậy tam giác đã giải xong: $c\approx11,36$ , $A\approx37,59°$ , $B\approx22,41°$ , $S\approx17,32$ (đơn vị tương ứng).
Vậy tam giác đã giải xong: $c\approx11,36$, $A\approx37,59°$, $B\approx22,41°$, $S\approx17,32$ (đơn vị tương ứng).

Cạnh c dài nhất, phù hợp với việc góc C=120° đối diện nó là góc lớn nhất trong tam giác.

Cách trình bày trên là mẫu chung cho dạng SAS: xác định dữ kiện thuộc dạng nào, dùng định lý cosin để lấp đúng chỗ thiếu (cạnh thứ ba), rồi dùng định lý sin cho phần còn lại (các góc), và luôn kiểm tra chéo diện tích bằng một cách tính khác. Còn khi đề chỉ cho ba cạnh (SSS) mà không cho góc nào, thứ tự đảo ngược lại: định lý cosin phải dùng trước để tính từng góc, rồi diện tích tính sau bằng Heron hoặc bằng chính góc vừa tìm.

Ví dụ 2: giải trọn vẹn một tam giác SSS

Ví dụ

Giải tam giác biết cả ba cạnh

1
Tam giác ABC có ba cạnh $a=7$ , $b=8$ , $c=9$ . Tìm ba góc A, B, C và diện tích S.
Tam giác ABC có ba cạnh $a=7$, $b=8$, $c=9$. Tìm ba góc A, B, C và diện tích S.
2
Ta có $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{64+81-49}{144}=\dfrac{96}{144}\approx0{,}6667$ , suy ra $A\approx48,19°$ .
Ta có $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{64+81-49}{144}=\dfrac{96}{144}\approx0{,}6667$, suy ra $A\approx48,19°$.
3
Ta có $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{49+81-64}{126}=\dfrac{66}{126}\approx0{,}5238$ , suy ra $B\approx58,41°$ .
Ta có $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{49+81-64}{126}=\dfrac{66}{126}\approx0{,}5238$, suy ra $B\approx58,41°$.
4
Ta có $C=180°-A-B\approx180°-48,19°-58,41°\approx73,4°$ .
Ta có $C=180°-A-B\approx180°-48,19°-58,41°\approx73,4°$.
5
Nửa chu vi $p=\dfrac{7+8+9}{2}=12$ , Heron cho $S=\sqrt{12\times5\times4\times3}=\sqrt{720}\approx26,83$ . Kiểm tra bằng $\dfrac{1}{2}ab\sin C\approx\dfrac{1}{2}\times7\times8\times\sin73,4°\approx26,83$ — khớp nhau.
Nửa chu vi $p=\dfrac{7+8+9}{2}=12$, Heron cho $S=\sqrt{12\times5\times4\times3}=\sqrt{720}\approx26,83$. Kiểm tra bằng $\dfrac{1}{2}ab\sin C\approx\dfrac{1}{2}\times7\times8\times\sin73,4°\approx26,83$ — khớp nhau.
6
Vậy $A\approx48,19°$ , $B\approx58,41°$ , $C\approx73,4°$ , $S\approx26,83$ . Với dữ kiện SSS, cosin luôn đi trước (để có góc) và diện tích tính sau — ngược thứ tự với dạng SAS ở ví dụ 1.
Vậy $A\approx48,19°$, $B\approx58,41°$, $C\approx73,4°$, $S\approx26,83$. Với dữ kiện SSS, cosin luôn đi trước (để có góc) và diện tích tính sau — ngược thứ tự với dạng SAS ở ví dụ 1.

Trước khi giải bất kỳ tam giác SSS nào, luôn đáng kiểm tra ba cạnh có thật sự lập được một tam giác hay không — tổng hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác, đã dùng ở bài Định lý cosin). Với 7, 8, 9: $7+8=15>9$ , $7+9=16>8$ , $8+9=17>7$ , cả ba đều thoả nên tam giác tồn tại. Bỏ qua bước này là một sai lầm ẩn: nếu ba số không lập được tam giác, công thức cosin vẫn cho ra một con số (đôi khi $\cos$ rơi ra ngoài đoạn $[-1;1]$ , báo lỗi ngay; nhưng có trường hợp trùng hợp vẫn nằm trong đoạn đó), khiến học sinh tưởng nhầm mình đã giải đúng một tam giác không có thật.

Trước khi giải bất kỳ tam giác SSS nào, luôn đáng kiểm tra ba cạnh có thật sự lập được một tam giác hay không — tổng hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác, đã dùng ở bài Định lý cosin). Với 7, 8, 9: $7+8=15>9$, $7+9=16>8$, $8+9=17>7$, cả ba đều thoả nên tam giác tồn tại. Bỏ qua bước này là một sai lầm ẩn: nếu ba số không lập được tam giác, công thức cosin vẫn cho ra một con số (đôi khi $\cos$ rơi ra ngoài đoạn $[-1;1]$, báo lỗi ngay; nhưng có trường hợp trùng hợp vẫn nằm trong đoạn đó), khiến học sinh tưởng nhầm mình đã giải đúng một tam giác không có thật.

Ba dạng dữ kiện SAS, SSS, ASA vừa ôn lại đủ để giải bất kỳ tam giác nào một cách chắc chắn — không dạng đề kiểm tra lớp 10 nào về "giải tam giác" nằm ngoài ba khuôn dữ kiện này, dù số liệu cụ thể có thể khác đi rất nhiều. Nhận diện đúng khuôn dữ kiện trước khi đặt bút — bằng cách tự hỏi "đề cho hai cạnh và góc xen giữa, hay đủ ba cạnh, hay một cạnh và hai góc" — quan trọng hơn cả việc nhớ chính xác công thức, vì chọn sai điểm khởi đầu sẽ dẫn tới một lời giải dài dòng và dễ sai hơn nhiều so với chọn đúng ngay từ bước đầu.

Sai lầm thường gặp

Khi tính góc bằng định lý sin sau khi đã có định lý cosin ở bước trước, một số em quên kiểm tra xem góc vừa tìm có nhất quán với tổng ba góc bằng 180° hay không — vì $\sin\alpha=\sin(180°-\alpha)$ , phép tính $\arcsin$ luôn cho kết quả nhọn, có thể là góc đúng hoặc góc bù với nó. Cách an toàn (như ví dụ trên) là kiểm tra: nếu tam giác đã có một góc tù, hai góc còn lại chắc chắn nhọn, nên kết quả arcsin dùng được ngay không cần xét thêm.

Khi tính góc bằng định lý sin sau khi đã có định lý cosin ở bước trước, một số em quên kiểm tra xem góc vừa tìm có nhất quán với tổng ba góc bằng 180° hay không — vì $\sin\alpha=\sin(180°-\alpha)$, phép tính $\arcsin$ luôn cho kết quả nhọn, có thể là góc đúng hoặc góc bù với nó. Cách an toàn (như ví dụ trên) là kiểm tra: nếu tam giác đã có một góc tù, hai góc còn lại chắc chắn nhọn, nên kết quả arcsin dùng được ngay không cần xét thêm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giải tam giác SAS: cosin trước (tìm cạnh còn thiếu) → sin sau (tìm góc còn thiếu) → diện tích bất kỳ lúc nào bằng $\dfrac{1}{2}$ hai cạnh nhân sin góc xen giữa, luôn kiểm tra chéo bằng một công thức khác.

Bài Ôn tập cuối cùng quay lại bài toán đo đạc qua sông để hoàn tất tam giác đó và tính luôn diện tích khu đất mà nó tạo thành.