Bài học

Ứng dụng giải tam giác vào bài toán thực tế

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em biết dựng mô hình tam giác cho một tình huống đo đạc thực tế — khi không thể đo trực tiếp một khoảng cách hay chiều cao — rồi dùng định lý sin và định lý cosin để tính đại lượng cần đo.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã trang bị đủ công cụ: định lý cosin, định lý sin và các công thức diện tích. Bài này không thêm công thức mới, mà tập trung vào một kỹ năng riêng — dịch một tình huống có thật (một con sông, một cái tháp) thành một tam giác trên giấy, với đúng những cạnh và góc mà công cụ đã học xử lý được. Kỹ năng dựng mô hình này luôn đi trước công thức: đề chưa cho sẵn tam giác, em phải tự nhận ra tam giác ẩn trong tình huống.

Khởi động

Muốn biết khoảng cách từ bờ sông này sang một cái cây ở bờ bên kia, nhưng không thể lội qua sông để đo trực tiếp. Chỉ đứng ở bờ mình, có cách nào tính được khoảng cách đó không?

Từ tình huống thực tế đến mô hình tam giác

Khi không thể đo trực tiếp một đoạn (vì có sông, vực, hoặc không tới được chân một công trình), cách làm chung là: chọn một đoạn đo được dễ dàng làm cạnh đáy, đo hai góc nhìn từ hai đầu đoạn đó tới điểm cần tìm khoảng cách, rồi dựng một tam giác có đủ một cạnh và hai góc (ASA) — đúng dạng dữ kiện định lý sin xử lý tốt nhất. Điểm mấu chốt là: khoảng cách cần tìm không phải là dữ kiện đề cho, mà là một cạnh của tam giác vừa dựng, tính được sau khi áp dụng định lý sin.

Kỹ thuật này trong trắc địa gọi là phương pháp giao hội: hai đường ngắm từ hai điểm biết trước "giao nhau" tại điểm cần định vị, và cạnh đáy đo được càng dài so với khoảng cách cần tìm thì góc đo càng ít nhạy với sai số dụng cụ — đây là lý do người đo thực địa luôn cố chọn hai điểm cách xa nhau khi có thể, thay vì đứng sát nhau rồi ngắm một góc gần như bẹt. Về bản chất toán học, đo hai góc thay vì một là bắt buộc: chỉ một góc và một cạnh không đủ xác định tam giác (còn thiếu một bậc tự do), trong khi một cạnh và hai góc (ASA) xác định tam giác duy nhất, đúng điều kiện định lý sin cần.

Quy trình chung cho mọi bài toán đo khoảng cách hoặc chiều cao không tới được trực tiếp.

Ví dụ 1: đo khoảng cách qua sông

Lời giải có hình

Đo khoảng cách qua sông bằng hai điểm ngắm cùng bờ

Bước 1

Hai điểm A, B nằm trên cùng một bờ sông, cách nhau AB = 40 m. Cần tìm khoảng cách từ A (hoặc B) sang một điểm C bên kia sông.

Ví dụ

Đo khoảng cách từ A sang điểm C bên kia sông

1
Hai điểm A, B nằm trên cùng một bờ sông, cách nhau $AB=40$ m. Từ A và B, ngắm về một điểm C bên kia sông, đo được góc $\widehat{CAB}=50°$ và góc $\widehat{CBA}=60°$ . Tính khoảng cách $AC$ .
Hai điểm A, B nằm trên cùng một bờ sông, cách nhau $AB=40$ m. Từ A và B, ngắm về một điểm C bên kia sông, đo được góc $\widehat{CAB}=50°$ và góc $\widehat{CBA}=60°$. Tính khoảng cách $AC$.
2
Ba điểm A, B, C lập thành một tam giác với một cạnh đo được (AB) và hai góc kề nó — dạng dữ kiện góc-cạnh-góc, đúng sở trường của định lý sin.
3
Ta có $\widehat{ACB}=180°-50°-60°=70°$ .
Ta có $\widehat{ACB}=180°-50°-60°=70°$.
4
Ta có $\dfrac{AC}{\sin\widehat{CBA}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}$ , suy ra $AC=\dfrac{AB\times\sin60°}{\sin70°}\approx36,86$ m.
Ta có $\dfrac{AC}{\sin\widehat{CBA}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}$, suy ra $AC=\dfrac{AB\times\sin60°}{\sin70°}\approx36,86$ m.
5
Góc B (60°) lớn hơn góc A (50°) nên cạnh AC (đối diện góc B) phải lớn hơn cạnh BC (đối diện góc A) — điều này khớp khi tính thêm $BC=\dfrac{AB\times\sin50°}{\sin70°}\approx32,61$ m, nhỏ hơn AC. Vậy khoảng cách $AC\approx36,86$ m.
Góc B (60°) lớn hơn góc A (50°) nên cạnh AC (đối diện góc B) phải lớn hơn cạnh BC (đối diện góc A) — điều này khớp khi tính thêm $BC=\dfrac{AB\times\sin50°}{\sin70°}\approx32,61$ m, nhỏ hơn AC. Vậy khoảng cách $AC\approx36,86$ m.

Từ tam giác vừa dựng, em còn tính thêm được bề rộng thật của khúc sông tại vị trí gần nhất — chính là đường cao hạ từ C xuống đường bờ AB. Đây là một dữ kiện phụ, không phải mục tiêu chính của đề, nhưng cho thấy một tam giác đã giải xong còn "trả lời" được nhiều câu hỏi khác ngoài câu hỏi ban đầu.

Ví dụ

Tính thêm bề rộng sông tại vị trí gần nhất

1
Hạ đường cao $CH\perp AB$ tại H — đoạn CH chính là khoảng cách ngắn nhất từ C đến bờ chứa A, B, tức bề rộng sông tại vị trí đó.
Hạ đường cao $CH\perp AB$ tại H — đoạn CH chính là khoảng cách ngắn nhất từ C đến bờ chứa A, B, tức bề rộng sông tại vị trí đó.
2
Trong tam giác vuông ACH (vuông tại H), $CH=AC\times\sin\widehat{CAB}\approx36,86\times\sin50°\approx28,24$ m.
Trong tam giác vuông ACH (vuông tại H), $CH=AC\times\sin\widehat{CAB}\approx36,86\times\sin50°\approx28,24$ m.
3
Tính theo phía B: $CH=BC\times\sin\widehat{CBA}\approx32,61\times\sin60°\approx28,24$ m — hai cách tính từ hai tam giác vuông khác nhau cho cùng một kết quả.
Tính theo phía B: $CH=BC\times\sin\widehat{CBA}\approx32,61\times\sin60°\approx28,24$ m — hai cách tính từ hai tam giác vuông khác nhau cho cùng một kết quả.
4
Vậy bề rộng sông tại vị trí gần nhất là $CH\approx28,24$ m.
Vậy bề rộng sông tại vị trí gần nhất là $CH\approx28,24$ m.

Ví dụ 2: đo chiều cao một tháp không tới được chân

Lời giải có hình

Đo chiều cao tháp bằng góc nâng từ hai điểm trên mặt đất

Bước 1

Hai điểm A, B nằm trên mặt đất, thẳng hàng với chân tháp, cách nhau AB = 30 m.

Ví dụ

Đo chiều cao tháp CD bằng góc nâng từ hai điểm trên mặt đất

1
Để đo chiều cao CD của một tháp mà không thể đến chân tháp, người ta chọn hai điểm A, B trên mặt đất, thẳng hàng với chân tháp, cách nhau $AB=30$ m. Tại A, góc nâng nhìn đỉnh tháp là 40°; tại B (gần tháp hơn), góc nâng là 65°$. Tính chiều cao CD.
Để đo chiều cao CD của một tháp mà không thể đến chân tháp, người ta chọn hai điểm A, B trên mặt đất, thẳng hàng với chân tháp, cách nhau $AB=30$ m. Tại A, góc nâng nhìn đỉnh tháp là 40°; tại B (gần tháp hơn), góc nâng là 65°$. Tính chiều cao CD.
2
Gọi D là đỉnh tháp. Tam giác ABD (A, B trên mặt đất, D trên đỉnh) chứa cả hai góc nâng đã đo; tam giác vuông BCD (C là chân tháp) chứa chiều cao CD cần tìm. Phải giải tam giác ABD trước để có cạnh BD, rồi mới dùng BD trong tam giác vuông BCD.
3
Góc nâng tại B (65°) đo từ tia BC, còn góc trong tam giác ABD tại B là góc kề bù với nó theo phía A: $\widehat{ABD}=180°-65°=115°$ . Suy ra $\widehat{ADB}=180°-40°-115°=24.99999999999997°$ .
Góc nâng tại B (65°) đo từ tia BC, còn góc trong tam giác ABD tại B là góc kề bù với nó theo phía A: $\widehat{ABD}=180°-65°=115°$. Suy ra $\widehat{ADB}=180°-40°-115°=24.99999999999997°$.
4
Ta có $\dfrac{BD}{\sin\widehat{DAB}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ADB}}$ , suy ra $BD=\dfrac{AB\times\sin40°}{\sin24.99999999999997°}\approx45,63$ m.
Ta có $\dfrac{BD}{\sin\widehat{DAB}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ADB}}$, suy ra $BD=\dfrac{AB\times\sin40°}{\sin24.99999999999997°}\approx45,63$ m.
5
Trong tam giác vuông BCD (vuông tại C), $CD=BD\times\sin65°\approx45,63\times\sin65°\approx41,35$ m.
Trong tam giác vuông BCD (vuông tại C), $CD=BD\times\sin65°\approx45,63\times\sin65°\approx41,35$ m.
6
Góc nâng tại B (65°) lớn hơn tại A (40°) vì B gần chân tháp hơn — điều đó hợp lý. Vậy chiều cao tháp $CD\approx41,35$ m.
Góc nâng tại B (65°) lớn hơn tại A (40°) vì B gần chân tháp hơn — điều đó hợp lý. Vậy chiều cao tháp $CD\approx41,35$ m.
7
Trong tam giác vuông ACD (vuông tại C), $AC=\dfrac{CD}{\tan40°}\approx\dfrac{41,35}{\tan40°}\approx49,28$ m — dữ kiện đề không hỏi, nhưng tam giác đã giải xong luôn cho phép tính thêm đại lượng này nếu cần.
Trong tam giác vuông ACD (vuông tại C), $AC=\dfrac{CD}{\tan40°}\approx\dfrac{41,35}{\tan40°}\approx49,28$ m — dữ kiện đề không hỏi, nhưng tam giác đã giải xong luôn cho phép tính thêm đại lượng này nếu cần.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là lấy luôn góc nâng đo được làm góc trong tam giác cần giải mà không kiểm tra góc đó có phải là góc trong tam giác hay là góc kề bù với nó — như ở ví dụ chiều cao tháp, góc nâng tại B đo từ tia hướng về chân tháp (BC), còn góc cần dùng trong tam giác ABD lại là góc kề bù, hướng về A. Ghép nhầm hai góc này làm tổng ba góc của "tam giác" không còn bằng 180°, và toàn bộ phép tính sai từ bước đầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán đo đạc thực tế luôn theo ba bước: dựng mô hình tam giác từ tình huống (xác định đúng cạnh đáy đo được và các góc kề), giải tam giác đó bằng định lý sin hoặc cosin, rồi mới suy ra đại lượng cần đo — đôi khi phải qua thêm một tam giác vuông phụ (như đường cao) mới ra kết quả cuối cùng.

Hai bài Ôn tập tiếp theo sẽ ghép lại toàn bộ chương — định lý cosin, định lý sin, diện tích và ứng dụng đo đạc — vào những bài toán tổng hợp.