Bài học

Định nghĩa logarit và các quy tắc tính logarit

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em phát biểu được định nghĩa logarit, nêu đúng điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một biểu thức logarit, và áp dụng đúng các quy tắc tính logarit cùng công thức đổi cơ số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dựa trên lũy thừa với số mũ thực (bài trước): logarit chính là phép toán ngược của lũy thừa, nên mọi quy tắc logarit đều bắt nguồn từ quy tắc lũy thừa tương ứng.

Câu hỏi mở đầu

Ở bài trước, em đã biết $2^3=8$ . Vậy nếu đề bài hỏi ngược lại: "số mũ nào của $2$ cho kết quả $8$ ?", câu trả lời hiển nhiên là $3$ . Nhưng nếu đề hỏi "số mũ nào của $2$ cho kết quả $5$ ?" thì câu trả lời không còn là một số nguyên hay phân số quen thuộc nữa. Logarit là công cụ đặt tên và tính toán chính xác cho câu trả lời đó.

Ở bài trước, em đã biết $2^3=8$. Vậy nếu đề bài hỏi ngược lại: "số mũ nào của $2$ cho kết quả $8$?", câu trả lời hiển nhiên là $3$. Nhưng nếu đề hỏi "số mũ nào của $2$ cho kết quả $5$?" thì câu trả lời không còn là một số nguyên hay phân số quen thuộc nữa. Logarit là công cụ đặt tên và tính toán chính xác cho câu trả lời đó.

Định nghĩa logarit

Cho $a>0$ , $a\neq 1$ và $b>0$ . Logarit cơ số $a$ của $b$ , ký hiệu $\log_a b$ , là số thực $\alpha$ duy nhất sao cho $a^{\alpha}=b$ :

$\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha} = b.$

Ba điều kiện xác định (ĐKXĐ) phải nhớ ngay từ đầu, trước khi biến đổi bất kỳ biểu thức logarit nào: cơ số $a>0$ , cơ số $a\neq 1$ , và biểu thức dưới dấu logarit $b>0$ . Thiếu một trong ba điều kiện này, $\log_a b$ không có nghĩa — đây là điều em phải kiểm tra trước tiên trong mọi bài toán logarit, không chỉ ở bài này mà xuyên suốt các bài sau về phương trình và bất phương trình logarit.

Cho $a>0$, $a\neq 1$ và $b>0$. Logarit cơ số $a$ của $b$, ký hiệu $\log_a b$, là số thực $\alpha$ duy nhất sao cho $a^{\alpha}=b$: $$\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha} = b.$$ Ba điều kiện xác định (ĐKXĐ) phải nhớ ngay từ đầu, trước khi biến đổi bất kỳ biểu thức logarit nào: cơ số $a>0$, cơ số $a\neq 1$, và biểu thức dưới dấu logarit $b>0$. Thiếu một trong ba điều kiện này, $\log_a b$ không có nghĩa — đây là điều em phải kiểm tra trước tiên trong mọi bài toán logarit, không chỉ ở bài này mà xuyên suốt các bài sau về phương trình và bất phương trình logarit.

Từ định nghĩa suy ra ngay hai giá trị đặc biệt: $\log_a 1 = 0$ (vì $a^0=1$ ) và $\log_a a = 1$ (vì $a^1=a$ ). Hai cơ số được dùng phổ biến nhất có ký hiệu riêng: $\log b$ (không ghi cơ số) nghĩa là $\log_{10} b$ — logarit thập phân, dùng nhiều trong khoa học và máy tính cầm tay; còn $\ln b$ là logarit cơ số $e$ , với $e \approx 2,71828\ldots$ là một hằng số đặc biệt quan trọng trong toán học (em sẽ gặp lại $e$ khi học đạo hàm của hàm số mũ ở khóa sau). Trong bài này, ta chỉ cần biết ký hiệu và dùng $\log$ , $\ln$ như hai cơ số đặc biệt của $\log_a$ .

Từ định nghĩa suy ra ngay hai giá trị đặc biệt: $\log_a 1 = 0$ (vì $a^0=1$) và $\log_a a = 1$ (vì $a^1=a$). Hai cơ số được dùng phổ biến nhất có ký hiệu riêng: $\log b$ (không ghi cơ số) nghĩa là $\log_{10} b$ — logarit thập phân, dùng nhiều trong khoa học và máy tính cầm tay; còn $\ln b$ là logarit cơ số $e$, với $e \approx 2,71828\ldots$ là một hằng số đặc biệt quan trọng trong toán học (em sẽ gặp lại $e$ khi học đạo hàm của hàm số mũ ở khóa sau). Trong bài này, ta chỉ cần biết ký hiệu và dùng $\log$, $\ln$ như hai cơ số đặc biệt của $\log_a$.

Một cách hình dung trực quan: nếu lũy thừa $a^{\alpha}$ trả lời câu hỏi " $a$ nhân với chính nó theo kiểu tổng quát $\alpha$ lần thì được bao nhiêu", thì logarit $\log_a b$ trả lời câu hỏi ngược lại "phải nhân $a$ theo kiểu đó bao nhiêu lần để được $b$ ". Vì hai câu hỏi này ngược nhau, quan hệ $\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha}=b$ hoạt động theo cả hai chiều: biết $\alpha$ và $a$ thì tính $b$ bằng lũy thừa; biết $b$ và $a$ thì tính $\alpha$ bằng logarit. Cách nhìn này giải thích vì sao mọi quy tắc logarit ở phần sau đều là một "bản dịch" của một quy tắc lũy thừa tương ứng, chỉ đổi vai trò giữa cơ số và số mũ.

Một cách hình dung trực quan: nếu lũy thừa $a^{\alpha}$ trả lời câu hỏi "$a$ nhân với chính nó theo kiểu tổng quát $\alpha$ lần thì được bao nhiêu", thì logarit $\log_a b$ trả lời câu hỏi ngược lại "phải nhân $a$ theo kiểu đó bao nhiêu lần để được $b$". Vì hai câu hỏi này ngược nhau, quan hệ $\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha}=b$ hoạt động theo cả hai chiều: biết $\alpha$ và $a$ thì tính $b$ bằng lũy thừa; biết $b$ và $a$ thì tính $\alpha$ bằng logarit. Cách nhìn này giải thích vì sao mọi quy tắc logarit ở phần sau đều là một "bản dịch" của một quy tắc lũy thừa tương ứng, chỉ đổi vai trò giữa cơ số và số mũ.

Các quy tắc tính logarit

Với $a>0$ , $a\neq 1$ , $x>0$ , $y>0$ và $k\in\mathbb{R}$ bất kỳ, các quy tắc logarit sau đây được suy trực tiếp từ quy tắc lũy thừa tương ứng ở bài trước:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a\left(x^k\right) = k\log_a x.$

Ba quy tắc này đúng là ba mặt của cùng một quy tắc lũy thừa $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ , chỉ nhìn từ phía số mũ thay vì phía cơ số. Điều kiện $x>0$ , $y>0$ luôn phải đi kèm — nếu áp dụng quy tắc cộng logarit mà bỏ qua điều kiện dương của từng biểu thức bên trong, có thể tạo ra nghiệm ngoại lai (nghiệm không thỏa ĐKXĐ ban đầu), một lỗi rất phổ biến ở các bài kiểm tra.

Với $a>0$, $a\neq 1$, $x>0$, $y>0$ và $k\in\mathbb{R}$ bất kỳ, các quy tắc logarit sau đây được suy trực tiếp từ quy tắc lũy thừa tương ứng ở bài trước: $$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a\left(x^k\right) = k\log_a x.$$ Ba quy tắc này đúng là ba mặt của cùng một quy tắc lũy thừa $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$, chỉ nhìn từ phía số mũ thay vì phía cơ số. Điều kiện $x>0$, $y>0$ luôn phải đi kèm — nếu áp dụng quy tắc cộng logarit mà bỏ qua điều kiện dương của từng biểu thức bên trong, có thể tạo ra nghiệm ngoại lai (nghiệm không thỏa ĐKXĐ ban đầu), một lỗi rất phổ biến ở các bài kiểm tra.

Công thức đổi cơ số

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$

Công thức này cho phép quy mọi phép tính logarit về một cơ số duy nhất, và là công cụ quan trọng khi giải phương trình, bất phương trình logarit có nhiều cơ số khác nhau ở các bài sau.

Khi cần tính logarit ở một cơ số không thuận tiện (ví dụ $\log_2 5$, khó tính trực tiếp), ta đổi sang một cơ số quen thuộc hơn (thường là $10$ hoặc $e$, vì máy tính cầm tay có sẵn hai phím này) bằng công thức đổi cơ số: với $a,c>0$, $a\neq 1$, $c\neq 1$, $b>0$: $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$$ Công thức này cho phép quy mọi phép tính logarit về một cơ số duy nhất, và là công cụ quan trọng khi giải phương trình, bất phương trình logarit có nhiều cơ số khác nhau ở các bài sau.

Công thức đổi cơ số còn cho một hệ quả gọn: đảo ngược vai trò cơ số và biểu thức trong log, $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ (với $a,b>0$ , $a\neq 1$ , $b\neq 1$ ) — có thể kiểm chứng bằng cách đổi cả hai về cùng cơ số $10$ rồi rút gọn. Hệ quả này không xuất hiện trong đề kiểm tra thường xuyên, nhưng cho thấy công thức đổi cơ số không chỉ là công cụ tính toán mà còn phản ánh đúng bản chất logarit là phép toán ngược của lũy thừa theo cả hai chiều cơ số.

Công thức đổi cơ số còn cho một hệ quả gọn: đảo ngược vai trò cơ số và biểu thức trong log, $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ (với $a,b>0$, $a\neq 1$, $b\neq 1$) — có thể kiểm chứng bằng cách đổi cả hai về cùng cơ số $10$ rồi rút gọn. Hệ quả này không xuất hiện trong đề kiểm tra thường xuyên, nhưng cho thấy công thức đổi cơ số không chỉ là công cụ tính toán mà còn phản ánh đúng bản chất logarit là phép toán ngược của lũy thừa theo cả hai chiều cơ số.

Quy trình chuẩn khi làm việc với logarit: ĐKXĐ luôn được đặt trước, không phải sau.

Ví dụ

Tính giá trị logarit cơ bản

1
Tính $\log_2 32$ . Ta tìm số mũ của $2$ cho ra $32$ .
Tính $\log_2 32$. Ta tìm số mũ của $2$ cho ra $32$.
2
Vì $32 = 2^5$ , theo định nghĩa $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$ .
Vì $32 = 2^5$, theo định nghĩa $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$.
3
Vậy $\log_2 32 = 5$ .
Vậy $\log_2 32 = 5$.

Ví dụ

Áp dụng quy tắc cộng logarit

1
Tính $\log_3 9 + \log_3 27$ .
Tính $\log_3 9 + \log_3 27$.
2
Theo quy tắc $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ : $\log_3 9 + \log_3 27 = \log_3(9\cdot 27) = \log_3 243$ .
Theo quy tắc $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$: $\log_3 9 + \log_3 27 = \log_3(9\cdot 27) = \log_3 243$.
3
$243 = 3^5$ , nên $\log_3 243 = \log_3 3^5 = 5$ .
$243 = 3^5$, nên $\log_3 243 = \log_3 3^5 = 5$.
4
Vậy $\log_3 9 + \log_3 27 = 5$ .
Vậy $\log_3 9 + \log_3 27 = 5$.

Ví dụ

Dùng công thức đổi cơ số khi cơ số không thuận tiện

1
Tính $\log_2 5$ , biết $\log_{10} 2 \approx 0,3010$ và $\log_{10} 5 \approx 0,6990$ .
Tính $\log_2 5$, biết $\log_{10} 2 \approx 0,3010$ và $\log_{10} 5 \approx 0,6990$.
2
Theo công thức đổi cơ số về cơ số $10$ : $\log_2 5 = \dfrac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$ .
Theo công thức đổi cơ số về cơ số $10$: $\log_2 5 = \dfrac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$.
3
$\log_2 5 \approx \dfrac{0,6990}{0,3010} \approx 2,3219$ .
$\log_2 5 \approx \dfrac{0,6990}{0,3010} \approx 2,3219$.
4
Vậy $\log_2 5 \approx 2,32$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vậy $\log_2 5 \approx 2,32$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Ví dụ

Kiểm tra ĐKXĐ trước khi tính giá trị biểu thức logarit

1
Đề bài: tính giá trị của $B = \log_2(x-1) + \log_2(x+1)$ tại $x=3$ . Trước khi thay số, ta nêu ĐKXĐ: cần $x-1>0$ và $x+1>0$ , tức là $x>1$ .
Đề bài: tính giá trị của $B = \log_2(x-1) + \log_2(x+1)$ tại $x=3$. Trước khi thay số, ta nêu ĐKXĐ: cần $x-1>0$ và $x+1>0$, tức là $x>1$.
2
$x=3$ thỏa $x>1$ (TMĐK), nên biểu thức có nghĩa tại $x=3$ .
$x=3$ thỏa $x>1$ (TMĐK), nên biểu thức có nghĩa tại $x=3$.
3
$B = \log_2(x-1) + \log_2(x+1) = \log_2\left[(x-1)(x+1)\right] = \log_2(x^2-1)$ . Tại $x=3$ : $B = \log_2(9-1) = \log_2 8$ .
$B = \log_2(x-1) + \log_2(x+1) = \log_2\left[(x-1)(x+1)\right] = \log_2(x^2-1)$. Tại $x=3$: $B = \log_2(9-1) = \log_2 8$.
4
$\log_2 8 = 3$ . Vậy $B=3$ tại $x=3$ (TMĐK).
$\log_2 8 = 3$. Vậy $B=3$ tại $x=3$ (TMĐK).

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên nêu ĐKXĐ trước khi cộng hai logarit thành một, dẫn tới nhận nghiệm mà thực ra biểu thức ban đầu không xác định. ĐKXĐ của logarit là bẫy thi cử số một — luôn nêu điều kiện trước khi biến đổi, và đối chiếu lại sau khi giải xong (TMĐK/loại), không được bỏ qua bước nào.

Tóm tắt

Logarit $\log_a b$ ( $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ ) là phép toán ngược của lũy thừa: trả lời câu hỏi "số mũ nào của $a$ cho ra $b$ ". Ba quy tắc tích, thương, lũy thừa và công thức đổi cơ số là công cụ tính toán chính. ĐKXĐ — cơ số dương khác $1$ , biểu thức trong log dương — phải được nêu trước mọi phép biến đổi.

Logarit $\log_a b$ ($a>0$, $a\neq 1$, $b>0$) là phép toán ngược của lũy thừa: trả lời câu hỏi "số mũ nào của $a$ cho ra $b$". Ba quy tắc tích, thương, lũy thừa và công thức đổi cơ số là công cụ tính toán chính. ĐKXĐ — cơ số dương khác $1$, biểu thức trong log dương — phải được nêu trước mọi phép biến đổi.

Bài tiếp theo dùng logarit để mô tả những đại lượng đo theo thang logarit trong khoa học và đời sống, như độ pH hay độ lớn động đất.