Bài học

Hàm số logarit y=log_a x và quan hệ nghịch đảo với hàm số mũ

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em nêu được tập xác định, tập giá trị của hàm số logarit $y=\log_a x$ , giải thích được vì sao hàm số mũ và hàm số logarit là hai hàm số ngược của nhau, và đọc được vì sao đồ thị của chúng đối xứng qua đường thẳng $y=x$ .

Sau bài học này, em nêu được tập xác định, tập giá trị của hàm số logarit $y=\log_a x$, giải thích được vì sao hàm số mũ và hàm số logarit là hai hàm số ngược của nhau, và đọc được vì sao đồ thị của chúng đối xứng qua đường thẳng $y=x$.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại định nghĩa logarit (Chương 2) và hàm số mũ (bài trước). Quan hệ $\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha}=b$ chính là chìa khóa để hiểu hai hàm số này là nghịch đảo của nhau.

Câu hỏi mở đầu

Hàm số mũ $y=2^x$ nhận một số thực $x$ bất kỳ và trả về một số dương $y$ . Nếu biết $y$ , làm sao tìm lại $x$ ? Câu trả lời chính là logarit: $x=\log_2 y$ . Hai hàm số $y=2^x$ và $y=\log_2 x$ vì vậy "ngược" nhau — điều này không chỉ là một tính chất đại số, nó còn có một hình ảnh hình học rất đẹp trên đồ thị.

Hàm số mũ $y=2^x$ nhận một số thực $x$ bất kỳ và trả về một số dương $y$. Nếu biết $y$, làm sao tìm lại $x$? Câu trả lời chính là logarit: $x=\log_2 y$. Hai hàm số $y=2^x$ và $y=\log_2 x$ vì vậy "ngược" nhau — điều này không chỉ là một tính chất đại số, nó còn có một hình ảnh hình học rất đẹp trên đồ thị.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm số logarit

Hàm số logarit cơ số $a$ là hàm số $y=\log_a x$ với $a>0$ , $a\neq 1$ . Vì logarit chỉ xác định khi biểu thức trong log dương (ĐKXĐ, Chương 2), tập xác định của hàm số logarit là $D=(0;+\infty)$ — khác hẳn với hàm số mũ có tập xác định là toàn bộ $\mathbb{R}$ . Ngược lại, tập giá trị của hàm số logarit là toàn bộ $\mathbb{R}$ — với bất kỳ số thực $y$ nào, luôn tồn tại $x>0$ sao cho $\log_a x = y$ (chính là $x=a^y$ ).

Hàm số logarit cơ số $a$ là hàm số $y=\log_a x$ với $a>0$, $a\neq 1$. Vì logarit chỉ xác định khi biểu thức trong log dương (ĐKXĐ, Chương 2), tập xác định của hàm số logarit là $D=(0;+\infty)$ — khác hẳn với hàm số mũ có tập xác định là toàn bộ $\mathbb{R}$. Ngược lại, tập giá trị của hàm số logarit là toàn bộ $\mathbb{R}$ — với bất kỳ số thực $y$ nào, luôn tồn tại $x>0$ sao cho $\log_a x = y$ (chính là $x=a^y$).

Đồ thị hàm số logarit luôn đi qua điểm $(1;0)$ (vì $\log_a 1 = 0$ ) và điểm $(a;1)$ (vì $\log_a a = 1$ ), nằm hoàn toàn bên phải trục tung, và có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=0$ (trục tung): khi $x\to 0^{+}$ , $\log_a x$ tiến ra $-\infty$ (nếu $a>1$ ) hoặc $+\infty$ (nếu $0<a<1$ ). Tính đơn điệu cũng theo đúng quy luật của cơ số: $a>1$ cho hàm số đồng biến, $0<a<1$ cho hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$ .

Đồ thị hàm số logarit luôn đi qua điểm $(1;0)$ (vì $\log_a 1 = 0$) và điểm $(a;1)$ (vì $\log_a a = 1$), nằm hoàn toàn bên phải trục tung, và có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=0$ (trục tung): khi $x\to 0^{+}$, $\log_a x$ tiến ra $-\infty$ (nếu $a>1$) hoặc $+\infty$ (nếu $0<a<1$). Tính đơn điệu cũng theo đúng quy luật của cơ số: $a>1$ cho hàm số đồng biến, $0<a<1$ cho hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$.

Để ý sự "hoán đổi" giữa hai hàm số: hàm số mũ có tiệm cận NGANG $y=0$ , còn hàm số logarit có tiệm cận ĐỨNG $x=0$ — trục hoành của hàm này trở thành trục tung của hàm kia. Tương tự, tập xác định $\mathbb{R}$ của hàm số mũ trở thành tập giá trị $\mathbb{R}$ của hàm số logarit, còn tập giá trị $(0;+\infty)$ của hàm số mũ trở thành tập xác định $(0;+\infty)$ của hàm số logarit. Mọi đặc điểm đều hoán đổi thành đúng "đối tác" của nó — đây không phải sự trùng hợp mà là hệ quả tất yếu của việc hai hàm số là nghịch đảo của nhau, như phần tiếp theo sẽ giải thích bằng ngôn ngữ tọa độ.

Để ý sự "hoán đổi" giữa hai hàm số: hàm số mũ có tiệm cận NGANG $y=0$, còn hàm số logarit có tiệm cận ĐỨNG $x=0$ — trục hoành của hàm này trở thành trục tung của hàm kia. Tương tự, tập xác định $\mathbb{R}$ của hàm số mũ trở thành tập giá trị $\mathbb{R}$ của hàm số logarit, còn tập giá trị $(0;+\infty)$ của hàm số mũ trở thành tập xác định $(0;+\infty)$ của hàm số logarit. Mọi đặc điểm đều hoán đổi thành đúng "đối tác" của nó — đây không phải sự trùng hợp mà là hệ quả tất yếu của việc hai hàm số là nghịch đảo của nhau, như phần tiếp theo sẽ giải thích bằng ngôn ngữ tọa độ.

Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Hàm số mũ $y=a^x$ và hàm số logarit $y=\log_a x$ là hai hàm số ngược của nhau: nếu điểm $(m;n)$ nằm trên đồ thị $y=a^x$ (tức là $a^m=n$ ), thì theo đúng định nghĩa logarit, $\log_a n = m$ , nghĩa là điểm $(n;m)$ nằm trên đồ thị $y=\log_a x$ . Điểm $(n;m)$ chính là điểm $(m;n)$ sau khi đổi chỗ hoành độ và tung độ cho nhau — về mặt hình học, đó đúng là phép đối xứng qua đường thẳng $y=x$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba). Vì vậy, với mọi cơ số $a$ hợp lệ, đồ thị của $y=a^x$ và $y=\log_a x$ luôn là ảnh đối xứng của nhau qua đường thẳng $y=x$ — dù $a>1$ hay $0<a<1$ .

Hàm số mũ $y=a^x$ và hàm số logarit $y=\log_a x$ là hai hàm số ngược của nhau: nếu điểm $(m;n)$ nằm trên đồ thị $y=a^x$ (tức là $a^m=n$), thì theo đúng định nghĩa logarit, $\log_a n = m$, nghĩa là điểm $(n;m)$ nằm trên đồ thị $y=\log_a x$. Điểm $(n;m)$ chính là điểm $(m;n)$ sau khi đổi chỗ hoành độ và tung độ cho nhau — về mặt hình học, đó đúng là phép đối xứng qua đường thẳng $y=x$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba). Vì vậy, với mọi cơ số $a$ hợp lệ, đồ thị của $y=a^x$ và $y=\log_a x$ luôn là ảnh đối xứng của nhau qua đường thẳng $y=x$ — dù $a>1$ hay $0<a<1$.

Hai hình minh họa dưới đây thể hiện đúng điều này cho cả hai trường hợp cơ số. Với $a=2>1$ (hình thứ nhất), cả hai đồ thị đều đồng biến, và cặp điểm $(1;2)$ — $(2;1)$ là ảnh của nhau qua $y=x$ . Với $a=\frac{1}{2}$ , tức $0<a<1$ (hình thứ hai), cả hai đồ thị đều nghịch biến, nhưng phép đối xứng qua $y=x$ vẫn đúng — cặp điểm $(-1;2)$ — $(2;-1)$ minh họa điều đó. Đường thẳng $y=x$ (nét đứt) đóng vai trò như một tấm gương: gấp hình theo đường này, đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit sẽ trùng khít lên nhau.

Hai hình minh họa dưới đây thể hiện đúng điều này cho cả hai trường hợp cơ số. Với $a=2>1$ (hình thứ nhất), cả hai đồ thị đều đồng biến, và cặp điểm $(1;2)$ — $(2;1)$ là ảnh của nhau qua $y=x$. Với $a=\frac{1}{2}$, tức $0<a<1$ (hình thứ hai), cả hai đồ thị đều nghịch biến, nhưng phép đối xứng qua $y=x$ vẫn đúng — cặp điểm $(-1;2)$ — $(2;-1)$ minh họa điều đó. Đường thẳng $y=x$ (nét đứt) đóng vai trò như một tấm gương: gấp hình theo đường này, đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit sẽ trùng khít lên nhau.

Trường hợp a=2>1: cả hai hàm số đồng biến, và (1;2) trên đồ thị hàm mũ ứng với (2;1) trên đồ thị hàm logarit — hai điểm đối xứng qua y=x.

Trường hợp 0<a=1/2<1: cả hai hàm số nghịch biến, nhưng vẫn đối xứng qua y=x — (-1;2) trên đồ thị hàm mũ ứng với (2;-1) trên đồ thị hàm logarit.

Ví dụ

Tìm tập xác định của hàm số logarit

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_2(x-1)$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_2(x-1)$.
2
Biểu thức trong log phải dương: $x-1>0 \iff x>1$ .
Biểu thức trong log phải dương: $x-1>0 \iff x>1$.
3
Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty)$ .
Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty)$.

Ví dụ

Tìm tập xác định với biểu thức bậc hai trong log (dạng đề kiểm tra)

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_3(4-x^2)$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_3(4-x^2)$.
2
Biểu thức trong log phải dương: $4-x^2>0 \iff x^2<4$ .
Biểu thức trong log phải dương: $4-x^2>0 \iff x^2<4$.
3
$x^2<4 \iff -2<x<2$ (vì $x^2<4$ nghĩa là $x$ nằm giữa $-\sqrt{4}$ và $\sqrt{4}$ ).
$x^2<4 \iff -2<x<2$ (vì $x^2<4$ nghĩa là $x$ nằm giữa $-\sqrt{4}$ và $\sqrt{4}$).
4
Vậy tập xác định là $D=(-2;2)$ .
Vậy tập xác định là $D=(-2;2)$.

Ví dụ

Vận dụng tính chất hai hàm số ngược nhau để rút gọn nhanh

1
Không cần bấm máy tính, tính $\log_5\left(5^7\right)$ và $3^{\log_3 8}$ .
Không cần bấm máy tính, tính $\log_5\left(5^7\right)$ và $3^{\log_3 8}$.
2
Vì $y=\log_a x$ là hàm số ngược của $y=a^x$ , hai phép toán "triệt tiêu" lẫn nhau khi cùng cơ số: $\log_a(a^k)=k$ và $a^{\log_a k}=k$ .
Vì $y=\log_a x$ là hàm số ngược của $y=a^x$, hai phép toán "triệt tiêu" lẫn nhau khi cùng cơ số: $\log_a(a^k)=k$ và $a^{\log_a k}=k$.
3
Vậy $\log_5\left(5^7\right) = 7$ và $3^{\log_3 8} = 8$ — không cần tính giá trị trung gian nào.
Vậy $\log_5\left(5^7\right) = 7$ và $3^{\log_3 8} = 8$ — không cần tính giá trị trung gian nào.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: nhầm tập xác định của hàm số logarit ( $x>0$ hoặc biểu thức trong log dương) với tập xác định của hàm số mũ (luôn là $\mathbb{R}$ ) — hai hàm số tuy ngược nhau nhưng có tập xác định và tập giá trị hoán đổi cho nhau, không phải giống hệt nhau. Một sai lầm khác: quên đối chiếu ĐKXĐ khi biểu thức trong log không đơn giản là $x$ mà là một biểu thức chứa $x$ (như $x-1$ hay $4-x^2$ trong hai ví dụ trên) — luôn giải bất phương trình "biểu thức $>0$ " trước khi kết luận tập xác định, không được suy đoán bằng cảm tính.

Sai lầm thường gặp: nhầm tập xác định của hàm số logarit ($x>0$ hoặc biểu thức trong log dương) với tập xác định của hàm số mũ (luôn là $\mathbb{R}$) — hai hàm số tuy ngược nhau nhưng có tập xác định và tập giá trị hoán đổi cho nhau, không phải giống hệt nhau. Một sai lầm khác: quên đối chiếu ĐKXĐ khi biểu thức trong log không đơn giản là $x$ mà là một biểu thức chứa $x$ (như $x-1$ hay $4-x^2$ trong hai ví dụ trên) — luôn giải bất phương trình "biểu thức $>0$" trước khi kết luận tập xác định, không được suy đoán bằng cảm tính.

Ghi nhớ tính chất nghịch đảo này theo hai chiều — không chỉ $\log_a(a^k)=k$ mà cả $a^{\log_a k}=k$ — sẽ giúp em rút gọn rất nhanh trong Chương 6 (bài ôn tập), nơi các biểu thức phối hợp cả lũy thừa lẫn logarit xuất hiện thường xuyên trong một bài toán. Hai công thức này cũng là chìa khóa để giải phương trình mũ và phương trình logarit ở hai chương tiếp theo — về bản chất, "giải" một phương trình mũ hay logarit chính là dùng đúng phép "triệt tiêu" này để đưa ẩn $x$ ra khỏi vị trí số mũ hoặc khỏi dấu logarit.

Tóm tắt

Hàm số logarit $y=\log_a x$ ( $a>0$ , $a\neq 1$ ) xác định trên $(0;+\infty)$ , nhận mọi giá trị thực, và là hàm số ngược của hàm số mũ $y=a^x$ . Vì vậy đồ thị của chúng luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ , dù cơ số $a$ lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ . Tính chất nghịch đảo này ( $\log_a(a^k)=k$ , $a^{\log_a k}=k$ ) là công cụ rút gọn quan trọng cho các bài phương trình sắp tới.

Hàm số logarit $y=\log_a x$ ($a>0$, $a\neq 1$) xác định trên $(0;+\infty)$, nhận mọi giá trị thực, và là hàm số ngược của hàm số mũ $y=a^x$. Vì vậy đồ thị của chúng luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$, dù cơ số $a$ lớn hơn hay nhỏ hơn $1$. Tính chất nghịch đảo này ($\log_a(a^k)=k$, $a^{\log_a k}=k$) là công cụ rút gọn quan trọng cho các bài phương trình sắp tới.

Hai chương tiếp theo dùng chính hai hàm số này để giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit — bắt đầu với phương trình và bất phương trình mũ.

Mục tiêu bài học

Câu hỏi mở đầu

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm số logarit

Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y=xy=xy=xVì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Tóm tắt

Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$