Bài học

Phương trình logarit cơ bản — ĐKXĐ là trọng tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em giải được phương trình logarit cơ bản, và — quan trọng nhất — luôn đặt ĐKXĐ trước khi biến đổi và đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ sau khi giải xong.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại định nghĩa và các quy tắc logarit (Chương 2), cùng tính đơn điệu (song ánh) của hàm số logarit (Chương 3): $\log_a x = \log_a y \iff x=y$ (với $x,y>0$ ), vì $y=\log_a x$ đơn điệu trên $(0;+\infty)$ .

Bài học dùng lại định nghĩa và các quy tắc logarit (Chương 2), cùng tính đơn điệu (song ánh) của hàm số logarit (Chương 3): $\log_a x = \log_a y \iff x=y$ (với $x,y>0$), vì $y=\log_a x$ đơn điệu trên $(0;+\infty)$.

Câu hỏi mở đầu

Giải phương trình $\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2$ , một học sinh cộng hai logarit thành $\log_3\left[(x-2)(x+2)\right]=2$ , giải ra được $x=\pm\sqrt{13}$ , và nộp bài với hai đáp số. Bài này có đúng hoàn toàn không? Câu trả lời nằm ở một bước học sinh đó đã bỏ qua ngay từ đầu.

Giải phương trình $\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2$, một học sinh cộng hai logarit thành $\log_3\left[(x-2)(x+2)\right]=2$, giải ra được $x=\pm\sqrt{13}$, và nộp bài với hai đáp số. Bài này có đúng hoàn toàn không? Câu trả lời nằm ở một bước học sinh đó đã bỏ qua ngay từ đầu.

Đây là chương mà lưu ý quan trọng nhất của toàn khóa học xuất hiện: trong tất cả các nội dung về mũ và logarit, ĐKXĐ của logarit là bẫy thi cử số một. Không phải vì các bước biến đổi đại số của phương trình logarit khó hơn phương trình mũ — thực ra hai bên khá tương tự — mà vì logarit có điều kiện tồn tại chặt chẽ hơn nhiều: một lũy thừa $a^x$ luôn có nghĩa với mọi $x$ , còn $\log_a x$ chỉ có nghĩa khi $x>0$ . Bất kỳ phép biến đổi nào gộp, tách, hay đổi cơ số logarit đều có nguy cơ "mở rộng" miền xác định một cách âm thầm, sinh ra nghiệm ngoại lai nếu không kiểm soát bằng ĐKXĐ.

Đây là chương mà lưu ý quan trọng nhất của toàn khóa học xuất hiện: trong tất cả các nội dung về mũ và logarit, ĐKXĐ của logarit là bẫy thi cử số một. Không phải vì các bước biến đổi đại số của phương trình logarit khó hơn phương trình mũ — thực ra hai bên khá tương tự — mà vì logarit có điều kiện tồn tại chặt chẽ hơn nhiều: một lũy thừa $a^x$ luôn có nghĩa với mọi $x$, còn $\log_a x$ chỉ có nghĩa khi $x>0$. Bất kỳ phép biến đổi nào gộp, tách, hay đổi cơ số logarit đều có nguy cơ "mở rộng" miền xác định một cách âm thầm, sinh ra nghiệm ngoại lai nếu không kiểm soát bằng ĐKXĐ.

Nguyên tắc số một: ĐKXĐ trước, biến đổi sau

Trước khi biến đổi bất kỳ phương trình logarit nào, phải xác định ĐKXĐ: mọi biểu thức nằm trong dấu $\log$ phải dương (và nếu cơ số chứa ẩn, cơ số phải dương và khác $1$ ). Đây là bước bắt buộc, không phải bước tùy chọn — bỏ qua nó là nguyên nhân số một khiến bài logarit bị trừ điểm hoặc sai hoàn toàn, vì phép biến đổi cộng/gộp logarit ở bước sau có thể tạo ra nghiệm ngoại lai (nghiệm không thỏa mãn phương trình gốc).

Trước khi biến đổi bất kỳ phương trình logarit nào, phải xác định ĐKXĐ: mọi biểu thức nằm trong dấu $\log$ phải dương (và nếu cơ số chứa ẩn, cơ số phải dương và khác $1$). Đây là bước bắt buộc, không phải bước tùy chọn — bỏ qua nó là nguyên nhân số một khiến bài logarit bị trừ điểm hoặc sai hoàn toàn, vì phép biến đổi cộng/gộp logarit ở bước sau có thể tạo ra nghiệm ngoại lai (nghiệm không thỏa mãn phương trình gốc).

Hai dạng phương trình logarit cơ bản

Dạng 1 — logarit bằng một hằng số: $\log_a x = m$ ( $a>0$ , $a\neq 1$ ). Theo định nghĩa logarit (Chương 2), phương trình này tương đương $x=a^m$ . Vì $a^m>0$ luôn đúng, nghiệm $x=a^m$ tự động thỏa ĐKXĐ $x>0$ — nhưng nếu biểu thức trong log phức tạp hơn (ví dụ $\log_a(x+1)=m$ ), ta vẫn phải nêu ĐKXĐ của biểu thức đó ( $x+1>0$ ) trước khi giải.

Dạng 1 — logarit bằng một hằng số: $\log_a x = m$ ($a>0$, $a\neq 1$). Theo định nghĩa logarit (Chương 2), phương trình này tương đương $x=a^m$. Vì $a^m>0$ luôn đúng, nghiệm $x=a^m$ tự động thỏa ĐKXĐ $x>0$ — nhưng nếu biểu thức trong log phức tạp hơn (ví dụ $\log_a(x+1)=m$), ta vẫn phải nêu ĐKXĐ của biểu thức đó ($x+1>0$) trước khi giải.

Dạng 2 — hai logarit cùng cơ số bằng nhau: $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ . Vì $y=\log_a x$ đơn điệu (song ánh) trên $(0;+\infty)$ (Chương 3), phương trình này tương đương $f(x)=g(x)$ , với điều kiện $f(x)>0$ (hoặc $g(x)>0$ , hai điều kiện này tương đương khi $f(x)=g(x)$ đã được giải). Cả hai dạng đều cần ĐKXĐ nêu trước và đối chiếu sau.

Dạng 2 — hai logarit cùng cơ số bằng nhau: $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Vì $y=\log_a x$ đơn điệu (song ánh) trên $(0;+\infty)$ (Chương 3), phương trình này tương đương $f(x)=g(x)$, với điều kiện $f(x)>0$ (hoặc $g(x)>0$, hai điều kiện này tương đương khi $f(x)=g(x)$ đã được giải). Cả hai dạng đều cần ĐKXĐ nêu trước và đối chiếu sau.

Nhiều phương trình logarit thoạt nhìn không thuộc hẳn dạng 1 hay dạng 2, mà là tổng của hai hay nhiều logarit cùng cơ số cộng lại bằng một hằng số — như ví dụ mở đầu bài. Cách xử lý là dùng quy tắc tích của logarit (Chương 2) để gộp tổng đó thành một logarit duy nhất, đưa về đúng dạng 1. Bước gộp này chính là nơi nghiệm ngoại lai có thể len vào: biểu thức gộp $\log_a\left[f(x)g(x)\right]$ chỉ cần $f(x)g(x)>0$ để có nghĩa (tích hai số cùng dấu), một điều kiện lỏng hơn nhiều so với điều kiện ban đầu $f(x)>0$ và $g(x)>0$ đồng thời. Đây chính là lý do ĐKXĐ phải đặt từ đầu bài toán, trước khi gộp — không thể suy ra ĐKXĐ đúng chỉ bằng cách nhìn vào biểu thức đã gộp.

ĐKXĐ xuất hiện ở cả bước đầu (đặt điều kiện) và bước gần cuối (đối chiếu nghiệm) — đây là khác biệt lớn nhất so với phương trình mũ.

Ví dụ

Giải phương trình logarit cơ bản dạng log_a x = m

1
Đề bài: giải phương trình $\log_2(x+1)=3$ . ĐKXĐ: $x+1>0 \iff x>-1$ .
Đề bài: giải phương trình $\log_2(x+1)=3$. ĐKXĐ: $x+1>0 \iff x>-1$.
2
$\log_2(x+1)=3 \iff x+1=2^3=8$ .
$\log_2(x+1)=3 \iff x+1=2^3=8$.
3
$x+1=8 \iff x=7$ .
$x+1=8 \iff x=7$.
4
$x=7$ thỏa $x>-1$ (TMĐK).
$x=7$ thỏa $x>-1$ (TMĐK).
5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=7$ .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=7$.

Ví dụ

Bẫy ĐKXĐ kinh điển: gộp hai logarit rồi phải loại nghiệm ngoại lai

1
Đề bài: giải phương trình $\log_3(x-2) + \log_3(x+2) = 2$ . Cần $x-2>0$ và $x+2>0$ , tức là $x>2$ (điều kiện $x>2$ đã bao hàm $x>-2$ ).
Đề bài: giải phương trình $\log_3(x-2) + \log_3(x+2) = 2$. Cần $x-2>0$ và $x+2>0$, tức là $x>2$ (điều kiện $x>2$ đã bao hàm $x>-2$).
2
Theo quy tắc tích: $\log_3(x-2)+\log_3(x+2) = \log_3\left[(x-2)(x+2)\right] = \log_3\left(x^2-4\right) = 2$ .
Theo quy tắc tích: $\log_3(x-2)+\log_3(x+2) = \log_3\left[(x-2)(x+2)\right] = \log_3\left(x^2-4\right) = 2$.
3
$x^2-4 = 3^2 = 9 \iff x^2 = 13 \iff x = \pm\sqrt{13}$ .
$x^2-4 = 3^2 = 9 \iff x^2 = 13 \iff x = \pm\sqrt{13}$.
4
$\sqrt{13}\approx 3,606 > 2$ (TMĐK), nhưng $-\sqrt{13}\approx -3,606$ không thỏa $x>2$ , nên phải loại.
$\sqrt{13}\approx 3,606 > 2$ (TMĐK), nhưng $-\sqrt{13}\approx -3,606$ không thỏa $x>2$, nên phải loại.
5
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=\sqrt{13}$ .
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=\sqrt{13}$.

Ví dụ

Giải phương trình dạng hai logarit cùng cơ số bằng nhau

1
Đề bài: giải phương trình $\log_5(2x-1) = \log_5(x+4)$ . Cần $2x-1>0 \iff x>\frac{1}{2}$ và $x+4>0 \iff x>-4$ ; hợp hai điều kiện là $x>\frac{1}{2}$ .
Đề bài: giải phương trình $\log_5(2x-1) = \log_5(x+4)$. Cần $2x-1>0 \iff x>\frac{1}{2}$ và $x+4>0 \iff x>-4$; hợp hai điều kiện là $x>\frac{1}{2}$.
2
Vì $y=\log_5 x$ đơn điệu (song ánh) trên $(0;+\infty)$ , hai logarit cùng cơ số bằng nhau kéo theo hai biểu thức bên trong bằng nhau: $2x-1=x+4$ .
Vì $y=\log_5 x$ đơn điệu (song ánh) trên $(0;+\infty)$, hai logarit cùng cơ số bằng nhau kéo theo hai biểu thức bên trong bằng nhau: $2x-1=x+4$.
3
$2x-1=x+4 \iff x=5$ .
$2x-1=x+4 \iff x=5$.
4
$x=5$ thỏa $x>\frac{1}{2}$ (TMĐK).
$x=5$ thỏa $x>\frac{1}{2}$ (TMĐK).
5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$ .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: sau khi gộp logarit và giải ra phương trình đại số, học sinh coi mọi nghiệm tìm được là nghiệm của bài toán mà quên đối chiếu lại ĐKXĐ đã đặt ra từ đầu. ĐKXĐ của logarit là bẫy thi cử số một — luôn thực hiện đủ hai bước: đặt điều kiện trước khi biến đổi, và đối chiếu (TMĐK/loại) sau khi giải.

Tóm tắt

Phương trình logarit cơ bản giải bằng định nghĩa ( $\log_a x=m \iff x=a^m$ ) hoặc bằng tính đơn điệu ( $\log_a f(x)=\log_a g(x) \iff f(x)=g(x)$ , với ĐKXĐ). Nguyên tắc bắt buộc xuyên suốt: đặt ĐKXĐ trước khi biến đổi, và đối chiếu lại ĐKXĐ sau khi giải — nghiệm không thỏa ĐKXĐ phải bị loại, dù phép tính đại số có đúng đến đâu.

Phương trình logarit cơ bản giải bằng định nghĩa ($\log_a x=m \iff x=a^m$) hoặc bằng tính đơn điệu ($\log_a f(x)=\log_a g(x) \iff f(x)=g(x)$, với ĐKXĐ). Nguyên tắc bắt buộc xuyên suốt: đặt ĐKXĐ trước khi biến đổi, và đối chiếu lại ĐKXĐ sau khi giải — nghiệm không thỏa ĐKXĐ phải bị loại, dù phép tính đại số có đúng đến đâu.

So với phương trình mũ ở Chương 4, phương trình logarit có một khác biệt cốt lõi cần khắc ghi: phương trình mũ không bao giờ tạo ra nghiệm ngoại lai (vì $a^x>0$ luôn tự động đúng), nhưng phương trình logarit thì có, chính vì miền xác định của logarit bị giới hạn ngặt hơn nhiều. Đây là lý do bước "đối chiếu ĐKXĐ" bắt buộc phải xuất hiện ở mọi bài logarit, trong khi ở bài mũ nó chỉ cần cho bước trung gian (điều kiện $t>0$ của ẩn phụ), không phải cho nghiệm cuối cùng. Ghi nhớ khác biệt này giúp em phân bổ đúng sự cẩn trọng khi làm bài: với phương trình mũ, trọng tâm là chọn đúng kỹ thuật (cùng cơ số hay đặt ẩn phụ); với phương trình logarit, trọng tâm là không bỏ sót bước ĐKXĐ ở cả hai đầu bài toán — trước khi biến đổi và sau khi giải.

Bài tiếp theo áp dụng đúng nguyên tắc ĐKXĐ này cho bất phương trình logarit, và khép lại chương bằng một bài toán thực tế kết hợp cả mũ lẫn logarit. Quy trình năm bước tổng kết ở trên — đặt điều kiện, biến đổi, giải, đối chiếu, kết luận — sẽ lặp lại gần như nguyên vẹn, chỉ thay dấu "=" bằng một dấu bất đẳng thức, và thêm một bước xác định chiều theo cơ số như em đã luyện ở bài bất phương trình mũ.