Bài học

Đạo hàm — ôn tập và kết hợp mũ, logarit

Mục tiêu ôn tập

Bài này ôn lại đạo hàm: định nghĩa, ý nghĩa hình học (hệ số góc tiếp tuyến) và vật lí (vận tốc tức thời, tốc độ thay đổi), các quy tắc tính (tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) và đạo hàm cấp hai. Thay vì ôn từng quy tắc rời rạc bằng những ví dụ tách biệt, bốn ví dụ dưới đây đều lấy chính các hàm mũ và hàm lôgarit vừa ôn ở bài trước làm đối tượng tính đạo hàm — công cụ mới áp lên chất liệu cũ, để thấy đạo hàm không phải một chương độc lập mà là một lớp câu hỏi mới đặt lên những hàm số đã quen.

Kiến thức nền em cần: đạo hàm của $x^n$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ , $\ln x$ ; quy tắc tổng, tích, thương; quy tắc đạo hàm hàm hợp, đặc biệt $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ và $(e^u)'=u'\cdot e^u$ ; ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm là hệ số góc tiếp tuyến; và đạo hàm cấp hai $f''(x)$ cho biết đồ thị đang lồi hay lõm.

Kiến thức nền em cần: đạo hàm của $x^n$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$; quy tắc tổng, tích, thương; quy tắc đạo hàm hàm hợp, đặc biệt $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ và $(e^u)'=u'\cdot e^u$; ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm là hệ số góc tiếp tuyến; và đạo hàm cấp hai $f''(x)$ cho biết đồ thị đang lồi hay lõm.

Ví dụ 1 — đạo hàm hàm hợp viết tiếp tuyến cho hàm lôgarit

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=\ln(2x-1)

tại điểm có hoành độ

x=1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\ln(2x-1)$ tại điểm có hoành độ $x=1$

1
$y=\ln(2x-1)$ là hàm hợp: hàm ngoài $\ln u$ với $u=2x-1$ là hàm trong. Công cụ đúng là quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ , kết hợp với ý nghĩa hình học của đạo hàm — giá trị $y'(x_0)$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ .
$y=\ln(2x-1)$ là hàm hợp: hàm ngoài $\ln u$ với $u=2x-1$ là hàm trong. Công cụ đúng là quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$, kết hợp với ý nghĩa hình học của đạo hàm — giá trị $y'(x_0)$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$.
2
Với $u=2x-1$ , $u'=2$ : $y'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{2}{2x-1}$ .
Với $u=2x-1$, $u'=2$: $y'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{2}{2x-1}$.
3
$y(1)=\ln(2\cdot1-1)=\ln 1=0$ . Hệ số góc: $y'(1)=\dfrac{2}{2\cdot1-1}=\dfrac{2}{1}=2$ .
$y(1)=\ln(2\cdot1-1)=\ln 1=0$. Hệ số góc: $y'(1)=\dfrac{2}{2\cdot1-1}=\dfrac{2}{1}=2$.
4
Tiếp tuyến tại điểm $(1;0)$ với hệ số góc $2$ : $y-0=2(x-1)$ , tức $y=2x-2$ . Kiểm tra nhanh: tiếp tuyến phải đi qua đúng điểm $(1;0)$ — thay $x=1$ vào $y=2x-2$ cho $y=0$ , khớp với $y(1)=0$ đã tính ở bước trước.
Tiếp tuyến tại điểm $(1;0)$ với hệ số góc $2$: $y-0=2(x-1)$, tức $y=2x-2$. Kiểm tra nhanh: tiếp tuyến phải đi qua đúng điểm $(1;0)$ — thay $x=1$ vào $y=2x-2$ cho $y=0$, khớp với $y(1)=0$ đã tính ở bước trước.

Ví dụ 2 — đạo hàm cấp hai chỉ ra điểm uốn

Ví dụ

Tìm đạo hàm cấp hai của

y=x\cdot e^{-x}

và dùng dấu của nó để xét tính lồi, lõm quanh

x=2

Tìm đạo hàm cấp hai của $y=x\cdot e^{-x}$ và dùng dấu của nó để xét tính lồi, lõm quanh $x=2$

1
$y=x\cdot e^{-x}$ là tích của hai hàm nên cần quy tắc đạo hàm của một tích, áp dụng hai lần liên tiếp (một lần cho $y'$ , một lần nữa cho $y''$ ). Dấu của $y''$ tại một điểm cho biết đồ thị lồi (nếu âm) hay lõm (nếu dương) quanh điểm đó — đây là công cụ đúng để trả lời câu hỏi, không cần vẽ đồ thị.
$y=x\cdot e^{-x}$ là tích của hai hàm nên cần quy tắc đạo hàm của một tích, áp dụng hai lần liên tiếp (một lần cho $y'$, một lần nữa cho $y''$). Dấu của $y''$ tại một điểm cho biết đồ thị lồi (nếu âm) hay lõm (nếu dương) quanh điểm đó — đây là công cụ đúng để trả lời câu hỏi, không cần vẽ đồ thị.
2
$y'=(x)'e^{-x}+x\left(e^{-x}\right)'=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$ .
$y'=(x)'e^{-x}+x\left(e^{-x}\right)'=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$.
3
$y''=\left(e^{-x}\right)'(1-x)+e^{-x}(1-x)'=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=-e^{-x}\left[(1-x)+1\right]=-e^{-x}(2-x)$ .
$y''=\left(e^{-x}\right)'(1-x)+e^{-x}(1-x)'=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=-e^{-x}\left[(1-x)+1\right]=-e^{-x}(2-x)$.
4
Tại $x=2$ : $y''(2)=-e^{-2}(2-2)=0$ . Tại $x=1<2$ : $y''(1)=-e^{-1}(2-1)=-e^{-1}<0$ . Tại $x=3>2$ : $y''(3)=-e^{-3}(2-3)=e^{-3}>0$ .
Tại $x=2$: $y''(2)=-e^{-2}(2-2)=0$. Tại $x=1<2$: $y''(1)=-e^{-1}(2-1)=-e^{-1}<0$. Tại $x=3>2$: $y''(3)=-e^{-3}(2-3)=e^{-3}>0$.
5
$y''$ đổi dấu từ âm sang dương đúng tại $x=2$ : đồ thị lồi (hướng xuống) khi $x<2$ , lõm (hướng lên) khi $x>2$ . Vậy $x=2$ là điểm uốn của đồ thị, với tung độ $y(2)=2e^{-2}\approx 0{,}271$ .
$y''$ đổi dấu từ âm sang dương đúng tại $x=2$: đồ thị lồi (hướng xuống) khi $x<2$, lõm (hướng lên) khi $x>2$. Vậy $x=2$ là điểm uốn của đồ thị, với tung độ $y(2)=2e^{-2}\approx 0{,}271$.

Bên trái x=2 đồ thị lồi (cong xuống), bên phải lõm (cong lên) — đúng như dấu của y'' ở Ví dụ 2.

y''=0 chưa chắc là điểm uốn

Nhiều học sinh dừng lại ngay khi $y''(2)=0$ và kết luận luôn đó là điểm uốn — trong khi $y''=0$ chỉ là ĐIỀU KIỆN CẦN. Phải kiểm tra thêm $y''$ đổi dấu thực sự qua điểm đó (như bước 4 vừa làm với $x=1$ và $x=3$ ); nếu $y''$ giữ nguyên dấu ở cả hai phía, điểm đó không phải điểm uốn dù $y''$ bằng không tại đó.

Nhiều học sinh dừng lại ngay khi $y''(2)=0$ và kết luận luôn đó là điểm uốn — trong khi $y''=0$ chỉ là ĐIỀU KIỆN CẦN. Phải kiểm tra thêm $y''$ đổi dấu thực sự qua điểm đó (như bước 4 vừa làm với $x=1$ và $x=3$); nếu $y''$ giữ nguyên dấu ở cả hai phía, điểm đó không phải điểm uốn dù $y''$ bằng không tại đó.

Ví dụ 3 — đạo hàm chứng minh chặt chẽ điều bài trước mới quan sát

Ví dụ

Chứng minh hàm số

f(x)=3^x-2^x

đồng biến trên

(0;+\infty)

Chứng minh hàm số $f(x)=3^x-2^x$ đồng biến trên $(0;+\infty)$

1
Ở bài trước, ta mới so sánh tốc độ tăng của $2^x$ và $3^x$ bằng cách quan sát đồ thị. Đạo hàm cho một công cụ chặt chẽ hơn hẳn: xét dấu $f'(x)$ trên $(0;+\infty)$ để khẳng định tính đồng biến bằng lập luận, không chỉ bằng hình vẽ.
Ở bài trước, ta mới so sánh tốc độ tăng của $2^x$ và $3^x$ bằng cách quan sát đồ thị. Đạo hàm cho một công cụ chặt chẽ hơn hẳn: xét dấu $f'(x)$ trên $(0;+\infty)$ để khẳng định tính đồng biến bằng lập luận, không chỉ bằng hình vẽ.
2
$f'(x)=\left(3^x\right)'-\left(2^x\right)'=3^x\ln 3-2^x\ln 2$ (đạo hàm của $a^x$ là $a^x\ln a$ ).
$f'(x)=\left(3^x\right)'-\left(2^x\right)'=3^x\ln 3-2^x\ln 2$ (đạo hàm của $a^x$ là $a^x\ln a$).
3
Với $x>0$ : vì cơ số $3>2>1$ nên $3^x>2^x$ (1). Vì $3>2$ và hàm $\ln$ đồng biến nên $\ln 3>\ln 2>0$ (2). Từ (1) và (2): $3^x\ln 3>2^x\ln 3>2^x\ln 2$ (nhân (1) với $\ln 3>0$ , rồi dùng (2) để thay $\ln 3$ bằng $\ln 2$ nhỏ hơn ở vế phải).
Với $x>0$: vì cơ số $3>2>1$ nên $3^x>2^x$ (1). Vì $3>2$ và hàm $\ln$ đồng biến nên $\ln 3>\ln 2>0$ (2). Từ (1) và (2): $3^x\ln 3>2^x\ln 3>2^x\ln 2$ (nhân (1) với $\ln 3>0$, rồi dùng (2) để thay $\ln 3$ bằng $\ln 2$ nhỏ hơn ở vế phải).
4
Suy ra $f'(x)=3^x\ln 3-2^x\ln 2>2^x\ln 3-2^x\ln 2=2^x(\ln 3-\ln 2)>0$ với mọi $x>0$ (vì $2^x>0$ và $\ln 3-\ln 2>0$ ). Vậy $f'(x)>0$ trên $(0;+\infty)$ , nên $f(x)=3^x-2^x$ đồng biến trên khoảng này — hiệu $3^x-2^x$ càng lúc càng lớn khi $x$ tăng, cùng một xu hướng ' $3^x$ vượt xa $2^x$ ' mà Ví dụ 4 của bài trước mới thấy được ở hai số mũ cụ thể, còn ở đây được chứng minh đúng cho MỌI $x>0$ cùng lúc.
Suy ra $f'(x)=3^x\ln 3-2^x\ln 2>2^x\ln 3-2^x\ln 2=2^x(\ln 3-\ln 2)>0$ với mọi $x>0$ (vì $2^x>0$ và $\ln 3-\ln 2>0$). Vậy $f'(x)>0$ trên $(0;+\infty)$, nên $f(x)=3^x-2^x$ đồng biến trên khoảng này — hiệu $3^x-2^x$ càng lúc càng lớn khi $x$ tăng, cùng một xu hướng '$3^x$ vượt xa $2^x$' mà Ví dụ 4 của bài trước mới thấy được ở hai số mũ cụ thể, còn ở đây được chứng minh đúng cho MỌI $x>0$ cùng lúc.

Ví dụ 4 — ý nghĩa vật lí của đạo hàm gặp lại lôgarit

Ví dụ

Chất phóng xạ

m(t)=m_0e^{-kt}

có chu kỳ bán rã

T

năm. Tìm

k

theo

T

, rồi tính tốc độ phân rã tức thời tại

t=T

Chất phóng xạ $m(t)=m_0e^{-kt}$ có chu kỳ bán rã $T$ năm. Tìm $k$ theo $T$, rồi tính tốc độ phân rã tức thời tại $t=T$

1
Bài toán có hai phần việc khác hẳn nhau. Tìm hằng số $k$ từ điều kiện chu kỳ bán rã là một phương trình mũ với ẩn $k$ nằm ở số mũ — cần lôgarit, đúng như Ví dụ 1 của bài trước. Tính TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TỨC THỜI tại một thời điểm cụ thể lại là ý nghĩa vật lí của đạo hàm — cùng bản chất với vận tốc tức thời từ quãng đường, chỉ khác đại lượng đang biến thiên là khối lượng thay vì vị trí.
Bài toán có hai phần việc khác hẳn nhau. Tìm hằng số $k$ từ điều kiện chu kỳ bán rã là một phương trình mũ với ẩn $k$ nằm ở số mũ — cần lôgarit, đúng như Ví dụ 1 của bài trước. Tính TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TỨC THỜI tại một thời điểm cụ thể lại là ý nghĩa vật lí của đạo hàm — cùng bản chất với vận tốc tức thời từ quãng đường, chỉ khác đại lượng đang biến thiên là khối lượng thay vì vị trí.
2
Chu kỳ bán rã: $m(T)=\dfrac{m_0}{2}\Rightarrow m_0e^{-kT}=\dfrac{m_0}{2}\Rightarrow e^{-kT}=\dfrac12$ . Lấy $\ln$ hai vế: $-kT=\ln\dfrac12=-\ln 2$ , suy ra $k=\dfrac{\ln 2}{T}$ .
Chu kỳ bán rã: $m(T)=\dfrac{m_0}{2}\Rightarrow m_0e^{-kT}=\dfrac{m_0}{2}\Rightarrow e^{-kT}=\dfrac12$. Lấy $\ln$ hai vế: $-kT=\ln\dfrac12=-\ln 2$, suy ra $k=\dfrac{\ln 2}{T}$.
3
$m'(t)=m_0\cdot(-k)e^{-kt}=-k\,m_0e^{-kt}=-k\,m(t)$ (đạo hàm hàm hợp với $u=-kt$ ). Dấu âm cho biết khối lượng đang giảm — đúng ý nghĩa vật lí: đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời, âm nghĩa là đang giảm.
$m'(t)=m_0\cdot(-k)e^{-kt}=-k\,m_0e^{-kt}=-k\,m(t)$ (đạo hàm hàm hợp với $u=-kt$). Dấu âm cho biết khối lượng đang giảm — đúng ý nghĩa vật lí: đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời, âm nghĩa là đang giảm.
4
Tại $t=T$ : $m(T)=\dfrac{m_0}{2}$ (theo định nghĩa chu kỳ bán rã), nên $m'(T)=-k\cdot\dfrac{m_0}{2}=-\dfrac{\ln 2}{T}\cdot\dfrac{m_0}{2}=-\dfrac{m_0\ln 2}{2T}$ .
Tại $t=T$: $m(T)=\dfrac{m_0}{2}$ (theo định nghĩa chu kỳ bán rã), nên $m'(T)=-k\cdot\dfrac{m_0}{2}=-\dfrac{\ln 2}{T}\cdot\dfrac{m_0}{2}=-\dfrac{m_0\ln 2}{2T}$.
5
Vậy $k=\dfrac{\ln 2}{T}$ , và tại đúng thời điểm bán rã, khối lượng đang giảm với tốc độ tức thời $\dfrac{m_0\ln 2}{2T}$ đơn vị khối lượng mỗi năm. Lôgarit tìm ra hằng số $k$ ; đạo hàm dùng hằng số đó để trả lời câu hỏi về TỐC ĐỘ, một câu hỏi mà bản thân công thức $m(t)$ không trực tiếp trả lời được.
Vậy $k=\dfrac{\ln 2}{T}$, và tại đúng thời điểm bán rã, khối lượng đang giảm với tốc độ tức thời $\dfrac{m_0\ln 2}{2T}$ đơn vị khối lượng mỗi năm. Lôgarit tìm ra hằng số $k$; đạo hàm dùng hằng số đó để trả lời câu hỏi về TỐC ĐỘ, một câu hỏi mà bản thân công thức $m(t)$ không trực tiếp trả lời được.

Tổng kết

Bốn ví dụ trên đều lấy lại chất liệu mũ – lôgarit từ bài trước rồi áp đạo hàm lên trên: hàm hợp $\ln(2x-1)$ để viết tiếp tuyến, tích $x\cdot e^{-x}$ để tìm điểm uốn bằng đạo hàm cấp hai, hiệu $3^x-2^x$ để chứng minh chặt chẽ điều Ví dụ 4 của bài trước chỉ mới quan sát bằng lôgarit hóa hai giá trị cụ thể, và một mẫu chất phóng xạ $m(t)=m_0e^{-kt}$ để thấy lôgarit và đạo hàm giải quyết hai câu hỏi khác hẳn nhau trên cùng một hàm số — lôgarit tìm hằng số, đạo hàm tìm tốc độ. Đạo hàm không thay thế mũ – lôgarit, mà cho một công cụ mạnh hơn để lập luận về CẢ MỘT KHOẢNG giá trị hoặc về tốc độ thay đổi, không chỉ tính ra một điểm hay một con số tĩnh.

Nhìn lại cả bốn ví dụ, có một mạch chung dễ bỏ sót: mỗi khi một đại lượng biến thiên theo quy luật mũ — lãi kép, phóng xạ, hay đơn giản là so sánh $3^x$ với $2^x$ — câu hỏi 'sau bao lâu / ở mức nào' luôn cần lôgarit, còn câu hỏi 'nhanh hay chậm, tại đúng thời điểm nào đó' luôn cần đạo hàm. Phân biệt được hai loại câu hỏi này chính là kỹ năng chọn công cụ mà chương này muốn rèn.

Đến đây, chương Mũ – Logarit – Đạo hàm khép lại đúng vòng: bắt đầu từ một cấp số nhân quen thuộc, đi qua lôgarit và đạo hàm, và kết thúc bằng một chứng minh đồng biến chặt chẽ hơn hẳn bước quan sát ban đầu. Chương tiếp theo rời hẳn đại số và giải tích, chuyển sang hình học không gian — nơi công cụ để chứng minh không còn là dấu của đạo hàm mà là quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng, mặt phẳng.