Bài học

Cấp số, giới hạn và tính liên tục — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu ôn tập

Chương này gộp lại mạch dãy số và giới hạn: cấp số cộng, cấp số nhân (kể cả cấp số nhân lùi vô hạn), giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và tính liên tục. Hai mảng này tưởng tách rời nhưng thực ra cấp số nhân lùi vô hạn chỉ có nghĩa nhờ giới hạn — bài đầu tiên dưới đây sẽ nối trực tiếp hai công thức đó lại với nhau.

Kiến thức nền em cần: số hạng tổng quát và tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân; công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ với $|q|<1$ ; các kỹ thuật tính giới hạn dãy số (chia cho lũy thừa cao nhất của $n$ , nhân biểu thức liên hợp); giới hạn hàm số tại một điểm và tại vô cực; ba điều kiện của hàm số liên tục tại một điểm; và định lí giá trị trung gian để khẳng định một phương trình có nghiệm trong một khoảng, không cần giải ra nghiệm đó. Tất cả những công cụ này từng đứng riêng ở hai chương khác nhau trong khóa học; nhiệm vụ của bài ôn tập này là ghép chúng lại đúng chỗ.

Kiến thức nền em cần: số hạng tổng quát và tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân; công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ với $|q|<1$; các kỹ thuật tính giới hạn dãy số (chia cho lũy thừa cao nhất của $n$, nhân biểu thức liên hợp); giới hạn hàm số tại một điểm và tại vô cực; ba điều kiện của hàm số liên tục tại một điểm; và định lí giá trị trung gian để khẳng định một phương trình có nghiệm trong một khoảng, không cần giải ra nghiệm đó. Tất cả những công cụ này từng đứng riêng ở hai chương khác nhau trong khóa học; nhiệm vụ của bài ôn tập này là ghép chúng lại đúng chỗ.

Ba ví dụ dưới đây khai thác ba tình huống em sẽ gặp trong một đề kiểm tra tổng hợp: một đại lượng có thể tính bằng hai công cụ khác nhau nên phải biết dùng công cụ này để tự kiểm tra công cụ kia, một hàm số cho bởi nhiều công thức nên phải xét riêng từng phía trước khi kết luận, và một phương trình không giải được trực tiếp nên phải chuyển sang chứng minh sự tồn tại và đếm số nghiệm thay vì tìm nghiệm chính xác. Cả ba đều bắt đầu từ cùng một câu hỏi: đại lượng đề bài hỏi có nằm gọn trong một công thức, hay phải quy về một giới hạn mới trả lời được.

Ví dụ 1 — hai cách nhìn cùng một tổng vô hạn

Ví dụ

Một cấp số nhân lùi vô hạn có

u_1=1

và tổng

S=4

. Tìm công bội

q

, rồi kiểm chứng lại bằng giới hạn của dãy tổng riêngMột cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=1$ và tổng $S=4$. Tìm công bội $q$, rồi kiểm chứng lại bằng giới hạn của dãy tổng riêng

1
Đề đã cho sẵn tổng vô hạn $S$ của một cấp số nhân lùi vô hạn — công cụ trực tiếp là công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ để tìm $q$ . Nhưng vì công thức đó vốn chỉ là một cách viết gọn của một giới hạn, ta dùng thêm định nghĩa $S=\lim_{n\to\infty}S_n$ (giới hạn của dãy tổng riêng) để kiểm tra lại — đúng kỹ năng chọn công cụ: khi hai chương học đều có thể trả lời cùng một câu hỏi, dùng công cụ thứ hai để tự kiểm chứng công cụ thứ nhất.
Đề đã cho sẵn tổng vô hạn $S$ của một cấp số nhân lùi vô hạn — công cụ trực tiếp là công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ để tìm $q$. Nhưng vì công thức đó vốn chỉ là một cách viết gọn của một giới hạn, ta dùng thêm định nghĩa $S=\lim_{n\to\infty}S_n$ (giới hạn của dãy tổng riêng) để kiểm tra lại — đúng kỹ năng chọn công cụ: khi hai chương học đều có thể trả lời cùng một câu hỏi, dùng công cụ thứ hai để tự kiểm chứng công cụ thứ nhất.
2
$S=\dfrac{u_1}{1-q}\Rightarrow 4=\dfrac{1}{1-q}\Rightarrow 1-q=\dfrac14\Rightarrow q=\dfrac34$ . Vì $\left|\dfrac34\right|<1$ (TMĐK để cấp số nhân lùi vô hạn có tổng).
$S=\dfrac{u_1}{1-q}\Rightarrow 4=\dfrac{1}{1-q}\Rightarrow 1-q=\dfrac14\Rightarrow q=\dfrac34$. Vì $\left|\dfrac34\right|<1$ (TMĐK để cấp số nhân lùi vô hạn có tổng).
3
$S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac34\right)^n}{\frac14}=4-4\left(\dfrac34\right)^n$ .
$S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac34\right)^n}{\frac14}=4-4\left(\dfrac34\right)^n$.
4
Vì $\left|\dfrac34\right|<1$ nên $\left(\dfrac34\right)^n\to 0$ khi $n\to\infty$ . Suy ra $\lim_{n\to\infty}S_n=4-4\cdot 0=4$ .
Vì $\left|\dfrac34\right|<1$ nên $\left(\dfrac34\right)^n\to 0$ khi $n\to\infty$. Suy ra $\lim_{n\to\infty}S_n=4-4\cdot 0=4$.
5
Giới hạn của dãy tổng riêng đúng bằng $4$ — khớp với tổng $S$ đề bài cho. Vậy $q=\dfrac34$ , và hai công cụ (công thức cấp số nhân lùi vô hạn, định nghĩa giới hạn dãy tổng riêng) cho cùng một kết quả.
Giới hạn của dãy tổng riêng đúng bằng $4$ — khớp với tổng $S$ đề bài cho. Vậy $q=\dfrac34$, và hai công cụ (công thức cấp số nhân lùi vô hạn, định nghĩa giới hạn dãy tổng riêng) cho cùng một kết quả.

Ví dụ 2 — giới hạn hàm số quyết định tính liên tục

Ví dụ

Tìm

m

để hàm số

f(x)=\begin{cases}x^2+m & x\le 1\\ 3x-1 & x>1\end{cases}

liên tục tại

x=1

Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\begin{cases}x^2+m & x\le 1\\ 3x-1 & x>1\end{cases}$ liên tục tại $x=1$

1
Hàm số cho bởi hai công thức khác nhau ở hai phía của $x=1$ , nên công cụ đúng là tính hai giới hạn một phía tại $x=1$ rồi áp dụng điều kiện liên tục: hàm liên tục tại một điểm khi và chỉ khi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm tại điểm đó đều bằng nhau.
Hàm số cho bởi hai công thức khác nhau ở hai phía của $x=1$, nên công cụ đúng là tính hai giới hạn một phía tại $x=1$ rồi áp dụng điều kiện liên tục: hàm liên tục tại một điểm khi và chỉ khi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm tại điểm đó đều bằng nhau.
2
Vì $x\le 1$ dùng công thức $x^2+m$ : $f(1)=1+m$ , và $\lim_{x\to 1^-}f(x)=1+m$ (hàm đa thức nên liên tục, thay trực tiếp).
Vì $x\le 1$ dùng công thức $x^2+m$: $f(1)=1+m$, và $\lim_{x\to 1^-}f(x)=1+m$ (hàm đa thức nên liên tục, thay trực tiếp).
3
Vì $x>1$ dùng công thức $3x-1$ : $\lim_{x\to 1^+}f(x)=3(1)-1=2$ .
Vì $x>1$ dùng công thức $3x-1$: $\lim_{x\to 1^+}f(x)=3(1)-1=2$.
4
Liên tục tại $x=1$ đòi hỏi $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=f(1)$ : $1+m=2\Rightarrow m=1$ .
Liên tục tại $x=1$ đòi hỏi $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=f(1)$: $1+m=2\Rightarrow m=1$.
5
Với $m=1$ : $f(1)=1+1=2$ (xác định), $\lim_{x\to 1^-}f(x)=2$ , $\lim_{x\to 1^+}f(x)=2$ — ba giá trị bằng nhau (TMĐK). Vậy $m=1$ , và vì hai nhánh còn lại đều là đa thức (luôn liên tục trên miền xác định của nó) nên $f$ liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$ , không chỉ riêng tại $x=1$ .
Với $m=1$: $f(1)=1+1=2$ (xác định), $\lim_{x\to 1^-}f(x)=2$, $\lim_{x\to 1^+}f(x)=2$ — ba giá trị bằng nhau (TMĐK). Vậy $m=1$, và vì hai nhánh còn lại đều là đa thức (luôn liên tục trên miền xác định của nó) nên $f$ liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$, không chỉ riêng tại $x=1$.

Ví dụ 3 — định lí giá trị trung gian đếm được cả ba nghiệm

Ba điểm đánh dấu là ba nghiệm mà Ví dụ 3 chứng minh tồn tại — vị trí số được tính bằng phương pháp chia đôi, chỉ để minh họa, không phải cách trình bày yêu cầu trong bài làm.

Ví dụ

Chứng minh phương trình

x^3-3x+1=0

có đúng ba nghiệm phân biệt trên khoảng

(-2;2)

Chứng minh phương trình $x^3-3x+1=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt trên khoảng $(-2;2)$

1
Đa thức bậc ba này không phân tích được thành nhân tử đẹp, nên không thể giải trực tiếp. Công cụ phù hợp là định lí giá trị trung gian: hàm đa thức luôn liên tục trên $\mathbb{R}$ , nên nếu $f$ đổi dấu giữa hai điểm, phương trình $f(x)=0$ chắc chắn có ít nhất một nghiệm giữa hai điểm đó. Lặp lại việc này ở nhiều cặp điểm sẽ khoanh vùng được nhiều nghiệm cùng lúc.
Đa thức bậc ba này không phân tích được thành nhân tử đẹp, nên không thể giải trực tiếp. Công cụ phù hợp là định lí giá trị trung gian: hàm đa thức luôn liên tục trên $\mathbb{R}$, nên nếu $f$ đổi dấu giữa hai điểm, phương trình $f(x)=0$ chắc chắn có ít nhất một nghiệm giữa hai điểm đó. Lặp lại việc này ở nhiều cặp điểm sẽ khoanh vùng được nhiều nghiệm cùng lúc.
2
Đặt $f(x)=x^3-3x+1$ , liên tục trên $\mathbb{R}$ (đa thức). $f(-2)=-8+6+1=-1$ , $f(-1)=-1+3+1=3$ , $f(0)=0-0+1=1$ , $f(1)=1-3+1=-1$ , $f(2)=8-6+1=3$ .
Đặt $f(x)=x^3-3x+1$, liên tục trên $\mathbb{R}$ (đa thức). $f(-2)=-8+6+1=-1$, $f(-1)=-1+3+1=3$, $f(0)=0-0+1=1$, $f(1)=1-3+1=-1$, $f(2)=8-6+1=3$.
3
$f(-2)=-1<0$ và $f(-1)=3>0$ : đổi dấu, nên có nghiệm trong $(-2;-1)$ . (1) $f(0)=1>0$ và $f(1)=-1<0$ : đổi dấu, nên có nghiệm trong $(0;1)$ . (2) $f(1)=-1<0$ và $f(2)=3>0$ : đổi dấu, nên có nghiệm trong $(1;2)$ . (3)
$f(-2)=-1<0$ và $f(-1)=3>0$: đổi dấu, nên có nghiệm trong $(-2;-1)$. (1) $f(0)=1>0$ và $f(1)=-1<0$: đổi dấu, nên có nghiệm trong $(0;1)$. (2) $f(1)=-1<0$ và $f(2)=3>0$: đổi dấu, nên có nghiệm trong $(1;2)$. (3)
4
Từ (1), (2) và (3): phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên $(-2;2)$ , nằm trong ba khoảng rời nhau nên không nghiệm nào trùng nghiệm nào. Vì $f$ là đa thức bậc ba nên có nhiều nhất ba nghiệm thực — không thể nhiều hơn ba. Vậy phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên $(-2;2)$ .
Từ (1), (2) và (3): phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên $(-2;2)$, nằm trong ba khoảng rời nhau nên không nghiệm nào trùng nghiệm nào. Vì $f$ là đa thức bậc ba nên có nhiều nhất ba nghiệm thực — không thể nhiều hơn ba. Vậy phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên $(-2;2)$.

Định lí giá trị trung gian không tính ra nghiệm

Định lí giá trị trung gian chỉ khẳng định NGHIỆM TỒN TẠI, không cho biết nghiệm đó bằng bao nhiêu. Một lỗi hay gặp là sau khi chỉ ra $f$ đổi dấu trên $(0;1)$ , học sinh vội kết luận luôn nghiệm là một số cụ thể nào đó — trong khi câu hỏi ở đây chỉ yêu cầu chứng minh sự tồn tại và đếm số nghiệm, không yêu cầu giá trị chính xác.

Định lí giá trị trung gian chỉ khẳng định NGHIỆM TỒN TẠI, không cho biết nghiệm đó bằng bao nhiêu. Một lỗi hay gặp là sau khi chỉ ra $f$ đổi dấu trên $(0;1)$, học sinh vội kết luận luôn nghiệm là một số cụ thể nào đó — trong khi câu hỏi ở đây chỉ yêu cầu chứng minh sự tồn tại và đếm số nghiệm, không yêu cầu giá trị chính xác.

Tổng kết

Ba ví dụ trên nối cấp số nhân với giới hạn dãy (dùng giới hạn để tự kiểm chứng một công thức đã học), nối giới hạn hàm số với tính liên tục (dùng giới hạn một phía để tìm tham số), và mở rộng định lí giá trị trung gian từ chứng minh một nghiệm sang đếm nhiều nghiệm cùng lúc bằng cách chọn thêm điểm mốc. Điểm chung: mỗi khi đề bài cho một đại lượng đã biết (tổng vô hạn, tham số liên tục, số nghiệm), luôn hỏi công cụ nào — công thức cấp số nhân, giới hạn dãy, hay giá trị trung gian — trực tiếp trả lời câu hỏi đó, thay vì áp dụng máy móc công thức đầu tiên nhớ được.

Cũng nên để ý: cả ba ví dụ đều không dừng lại ở một phép tính đơn lẻ. Ví dụ 1 tính xong còn quay lại kiểm chứng bằng công cụ khác; Ví dụ 2 tính xong còn kiểm tra lại đủ ba điều kiện liên tục thay vì chỉ dừng ở bước tìm $m$ ; Ví dụ 3 không giải phương trình mà lập luận về số nghiệm dựa trên bậc của đa thức. Thói quen 'tính xong, kiểm tra lại bằng một góc nhìn khác' chính là điều phân biệt một bài làm chỉ đúng đáp số với một bài làm đạt điểm trình bày trọn vẹn.

Cũng nên để ý: cả ba ví dụ đều không dừng lại ở một phép tính đơn lẻ. Ví dụ 1 tính xong còn quay lại kiểm chứng bằng công cụ khác; Ví dụ 2 tính xong còn kiểm tra lại đủ ba điều kiện liên tục thay vì chỉ dừng ở bước tìm $m$; Ví dụ 3 không giải phương trình mà lập luận về số nghiệm dựa trên bậc của đa thức. Thói quen 'tính xong, kiểm tra lại bằng một góc nhìn khác' chính là điều phân biệt một bài làm chỉ đúng đáp số với một bài làm đạt điểm trình bày trọn vẹn.

Chương tiếp theo chuyển sang mũ và lôgarit rồi đến đạo hàm — một mạch mà giới hạn chính là nền tảng: đạo hàm, khái niệm sẽ gặp ở chương sau, được định nghĩa trực tiếp bằng giới hạn của một thương số khi số gia tiến về không.