Bài học

Số đặc trưng mẫu ghép nhóm và xác suất biến cố — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu ôn tập

Chương này gộp hai mạch: số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình, trung vị, mốt) và xác suất của biến cố (biến cố hợp, giao, độc lập, công thức cộng và nhân xác suất). Điểm nối giữa hai mạch: một bảng tần số dùng để tính số đặc trưng, đúng, nhưng cũng là nguồn dữ liệu để ước lượng xác suất — tần suất của một nhóm chính là một xác suất thực nghiệm.

Kiến thức nền em cần: công thức số trung bình mẫu ghép nhóm $\bar x=\dfrac{\sum f_ic_i}{n}$ ( $c_i$ là giá trị đại diện — trung điểm mỗi nhóm); công thức trung vị và mốt của mẫu ghép nhóm dựa trên nhóm chứa trung vị / nhóm có tần số lớn nhất; công thức cộng xác suất $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; và điều kiện hai biến cố độc lập $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . Một điểm dễ nhầm cần tách rõ ngay từ đầu: XUNG KHẮC (hai biến cố không thể cùng xảy ra, $A\cap B=\varnothing$ ) và ĐỘC LẬP (biến cố này xảy ra hay không không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia) là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau, dù tên gọi dễ khiến người mới học tưởng là một.

Kiến thức nền em cần: công thức số trung bình mẫu ghép nhóm $\bar x=\dfrac{\sum f_ic_i}{n}$ ($c_i$ là giá trị đại diện — trung điểm mỗi nhóm); công thức trung vị và mốt của mẫu ghép nhóm dựa trên nhóm chứa trung vị / nhóm có tần số lớn nhất; công thức cộng xác suất $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; và điều kiện hai biến cố độc lập $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Một điểm dễ nhầm cần tách rõ ngay từ đầu: XUNG KHẮC (hai biến cố không thể cùng xảy ra, $A\cap B=\varnothing$) và ĐỘC LẬP (biến cố này xảy ra hay không không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia) là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau, dù tên gọi dễ khiến người mới học tưởng là một.

Bảng dữ liệu xuyên suốt chương: điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh một lớp, ghép thành sáu nhóm điểm. Ba ví dụ dưới đây lần lượt đọc bảng này theo ba câu hỏi khác nhau — trung tâm dữ liệu nằm ở đâu, xác suất rơi vào một trong hai nhóm là bao nhiêu, và xác suất hai lần chọn độc lập cùng rơi vào một nhóm là bao nhiêu — để thấy cùng một bảng số liệu có thể trả lời nhiều câu hỏi khác hẳn nhau, miễn là chọn đúng công cụ cho từng câu.

Bảng tần số dùng xuyên suốt cả ba ví dụ của chương này.

Ví dụ 1 — ba số đặc trưng từ cùng một bảng

Ví dụ

Tính số trung bình, trung vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên

1
Dữ liệu đã ghép nhóm (không biết điểm chính xác từng học sinh), nên không thể tính trung bình cộng thông thường — phải dùng công thức trung bình, trung vị, mốt riêng cho mẫu GHÉP NHÓM, thay giá trị đại diện $c_i$ là trung điểm mỗi nhóm cho mọi học sinh trong nhóm đó.
Dữ liệu đã ghép nhóm (không biết điểm chính xác từng học sinh), nên không thể tính trung bình cộng thông thường — phải dùng công thức trung bình, trung vị, mốt riêng cho mẫu GHÉP NHÓM, thay giá trị đại diện $c_i$ là trung điểm mỗi nhóm cho mọi học sinh trong nhóm đó.
2
Giá trị đại diện lần lượt là $4{,}5;\,5{,}5;\,6{,}5;\,7{,}5;\,8{,}5;\,9{,}5$ . $\bar x=\dfrac{3(4{,}5)+6(5{,}5)+10(6{,}5)+12(7{,}5)+6(8{,}5)+3(9{,}5)}{40}=\dfrac{281}{40}=7{,}025$ .
Giá trị đại diện lần lượt là $4{,}5;\,5{,}5;\,6{,}5;\,7{,}5;\,8{,}5;\,9{,}5$. $\bar x=\dfrac{3(4{,}5)+6(5{,}5)+10(6{,}5)+12(7{,}5)+6(8{,}5)+3(9{,}5)}{40}=\dfrac{281}{40}=7{,}025$.
3
Tần số tích lũy: $3,9,19,31,37,40$ . Vì $n/2=20$ và $19<20\le31$ , nhóm chứa trung vị là $[7;8)$ (tần số tích lũy vượt $20$ tại nhóm này). Với $L=7$ , tần số tích lũy trước nhóm $CF=19$ , tần số nhóm $f_m=12$ , độ rộng nhóm $h=1$ : $M_e=L+\dfrac{n/2-CF}{f_m}\cdot h=7+\dfrac{20-19}{12}=7+\dfrac{1}{12}\approx7{,}083$ .
Tần số tích lũy: $3,9,19,31,37,40$. Vì $n/2=20$ và $19<20\le31$, nhóm chứa trung vị là $[7;8)$ (tần số tích lũy vượt $20$ tại nhóm này). Với $L=7$, tần số tích lũy trước nhóm $CF=19$, tần số nhóm $f_m=12$, độ rộng nhóm $h=1$: $M_e=L+\dfrac{n/2-CF}{f_m}\cdot h=7+\dfrac{20-19}{12}=7+\dfrac{1}{12}\approx7{,}083$.
4
Nhóm có tần số lớn nhất là $[7;8)$ ( $f_m=12$ ), với $f_{m-1}=10$ (nhóm $[6;7)$ ), $f_{m+1}=6$ (nhóm $[8;9)$ ): $M_o=L+\dfrac{f_m-f_{m-1}}{2f_m-f_{m-1}-f_{m+1}}\cdot h=7+\dfrac{12-10}{24-10-6}=7+\dfrac{2}{8}=7{,}25$ .
Nhóm có tần số lớn nhất là $[7;8)$ ($f_m=12$), với $f_{m-1}=10$ (nhóm $[6;7)$), $f_{m+1}=6$ (nhóm $[8;9)$): $M_o=L+\dfrac{f_m-f_{m-1}}{2f_m-f_{m-1}-f_{m+1}}\cdot h=7+\dfrac{12-10}{24-10-6}=7+\dfrac{2}{8}=7{,}25$.
5
Vậy $\bar x=7{,}025$ , $M_e\approx7{,}083$ , $M_o=7{,}25$ — cả ba số đặc trưng đều nằm trong nhóm $[7;8)$ , cho thấy phần lớn học sinh đạt mức khá.
Vậy $\bar x=7{,}025$, $M_e\approx7{,}083$, $M_o=7{,}25$ — cả ba số đặc trưng đều nằm trong nhóm $[7;8)$, cho thấy phần lớn học sinh đạt mức khá.
6
Ba số đặc trưng rất gần nhau ( $7{,}025$ ; $7{,}083$ ; $7{,}25$ ) cho thấy phân bố điểm khá cân đối quanh mốc $7$ , không lệch hẳn về phía điểm thấp hay điểm cao — khác với trường hợp mốt và trung bình cách xa nhau, vốn báo hiệu dữ liệu bị lệch (một vài học sinh điểm rất cao hoặc rất thấp kéo số trung bình đi, trong khi mốt vẫn phản ánh đúng nhóm đông nhất).
Ba số đặc trưng rất gần nhau ($7{,}025$; $7{,}083$; $7{,}25$) cho thấy phân bố điểm khá cân đối quanh mốc $7$, không lệch hẳn về phía điểm thấp hay điểm cao — khác với trường hợp mốt và trung bình cách xa nhau, vốn báo hiệu dữ liệu bị lệch (một vài học sinh điểm rất cao hoặc rất thấp kéo số trung bình đi, trong khi mốt vẫn phản ánh đúng nhóm đông nhất).

Ba số đặc trưng vừa tính mô tả TRUNG TÂM của dữ liệu. Hai ví dụ tiếp theo chuyển sang một câu hỏi khác hẳn: không hỏi 'trung tâm ở đâu' mà hỏi 'khả năng rơi vào đâu' — tức chuyển từ ngôn ngữ thống kê mô tả sang ngôn ngữ xác suất, dùng chính bảng tần số vừa có.

Ví dụ 2 — từ bảng tần số sang công thức cộng xác suất

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp trên. Tính xác suất học sinh đó có điểm thuộc nhóm

[7;8)

hoặc

[8;9)

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp trên. Tính xác suất học sinh đó có điểm thuộc nhóm $[7;8)$ hoặc $[8;9)$

1
Bảng tần số vừa dùng để tính số trung bình giờ trở thành nguồn dữ liệu xác suất: tần suất (tỉ lệ) của một nhóm chính là xác suất thực nghiệm một học sinh được chọn ngẫu nhiên rơi vào nhóm đó. Vì hai nhóm điểm $[7;8)$ và $[8;9)$ không thể xảy ra đồng thời (một học sinh không thể có điểm vừa thuộc nhóm này vừa thuộc nhóm kia), công cụ đúng là công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc.
Bảng tần số vừa dùng để tính số trung bình giờ trở thành nguồn dữ liệu xác suất: tần suất (tỉ lệ) của một nhóm chính là xác suất thực nghiệm một học sinh được chọn ngẫu nhiên rơi vào nhóm đó. Vì hai nhóm điểm $[7;8)$ và $[8;9)$ không thể xảy ra đồng thời (một học sinh không thể có điểm vừa thuộc nhóm này vừa thuộc nhóm kia), công cụ đúng là công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc.
2
Gọi $A$ : 'điểm thuộc $[7;8)$ ', $B$ : 'điểm thuộc $[8;9)$ '. $P(A)=\dfrac{12}{40}=0{,}3$ , $P(B)=\dfrac{6}{40}=0{,}15$ .
Gọi $A$: 'điểm thuộc $[7;8)$', $B$: 'điểm thuộc $[8;9)$'. $P(A)=\dfrac{12}{40}=0{,}3$, $P(B)=\dfrac{6}{40}=0{,}15$.
3
Vì $A$ và $B$ xung khắc (không giao nhau, $P(A\cap B)=0$ ): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}3+0{,}15-0=0{,}45$ .
Vì $A$ và $B$ xung khắc (không giao nhau, $P(A\cap B)=0$): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}3+0{,}15-0=0{,}45$.
4
Vậy xác suất học sinh được chọn có điểm thuộc nhóm $[7;8)$ hoặc $[8;9)$ là $0{,}45$ .
Vậy xác suất học sinh được chọn có điểm thuộc nhóm $[7;8)$ hoặc $[8;9)$ là $0{,}45$.

Quên trừ phần giao khi hai biến cố không xung khắc

Công thức cộng đầy đủ luôn có số hạng trừ $P(A\cap B)$ — bỏ quên số hạng này (cộng thẳng $P(A)+P(B)$ ) chỉ đúng khi hai biến cố XUNG KHẮC, như hai nhóm điểm rời nhau ở trên. Nếu hai biến cố có thể xảy ra đồng thời (ví dụ 'điểm từ 6 trở lên' và 'điểm là số nguyên'), bắt buộc phải trừ phần giao để không đếm trùng.

Công thức cộng đầy đủ luôn có số hạng trừ $P(A\cap B)$ — bỏ quên số hạng này (cộng thẳng $P(A)+P(B)$) chỉ đúng khi hai biến cố XUNG KHẮC, như hai nhóm điểm rời nhau ở trên. Nếu hai biến cố có thể xảy ra đồng thời (ví dụ 'điểm từ 6 trở lên' và 'điểm là số nguyên'), bắt buộc phải trừ phần giao để không đếm trùng.

Ví dụ 3 — từ tần suất đến công thức nhân xác suất

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên và độc lập hai học sinh của lớp trên (có hoàn lại). Tính xác suất cả hai đều đạt loại giỏi (nhóm

[8;9)

hoặc

[9;10]

)Chọn ngẫu nhiên và độc lập hai học sinh của lớp trên (có hoàn lại). Tính xác suất cả hai đều đạt loại giỏi (nhóm $[8;9)$ hoặc $[9;10]$)

1
Trước hết cần xác suất MỘT học sinh đạt giỏi, lấy trực tiếp từ bảng tần số. Sau đó, vì hai học sinh được chọn ĐỘC LẬP (chọn có hoàn lại, kết quả của lần chọn này không ảnh hưởng lần chọn kia), công cụ đúng cho 'cả hai đều xảy ra' là công thức nhân xác suất, không phải công thức cộng.
2
Số học sinh giỏi: $6+3=9$ (hai nhóm $[8;9)$ và $[9;10]$ ). $P(\text{giỏi})=\dfrac{9}{40}=0{,}225$ .
Số học sinh giỏi: $6+3=9$ (hai nhóm $[8;9)$ và $[9;10]$). $P(\text{giỏi})=\dfrac{9}{40}=0{,}225$.
3
Gọi $C_1$ : 'học sinh thứ nhất giỏi', $C_2$ : 'học sinh thứ hai giỏi'. Vì $C_1$ , $C_2$ độc lập: $P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2)=0{,}225\times0{,}225=0{,}050625$ .
Gọi $C_1$: 'học sinh thứ nhất giỏi', $C_2$: 'học sinh thứ hai giỏi'. Vì $C_1$, $C_2$ độc lập: $P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2)=0{,}225\times0{,}225=0{,}050625$.
4
Vậy xác suất cả hai học sinh được chọn đều đạt loại giỏi là $0{,}050625\approx5{,}06\%$ — thấp hơn hẳn xác suất một học sinh giỏi ( $22{,}5\%$ ), đúng như trực giác: hai điều kiện độc lập cùng xảy ra luôn khó hơn một điều kiện riêng lẻ.
Vậy xác suất cả hai học sinh được chọn đều đạt loại giỏi là $0{,}050625\approx5{,}06\%$ — thấp hơn hẳn xác suất một học sinh giỏi ($22{,}5\%$), đúng như trực giác: hai điều kiện độc lập cùng xảy ra luôn khó hơn một điều kiện riêng lẻ.

Tổng kết

Ba ví dụ trên đi đúng một mạch: từ một bảng tần số tính ra ba số đặc trưng, rồi đọc ngay chính bảng đó theo ngôn ngữ xác suất — tần suất một nhóm là xác suất thực nghiệm — và áp dụng lần lượt công thức cộng (khi hai biến cố xung khắc) và công thức nhân (khi hai biến cố độc lập). Nhầm giữa xung khắc và độc lập là lỗi phổ biến nhất ở mạch này: xung khắc nói về việc hai biến cố có giao nhau hay không, độc lập nói về việc biến cố này có ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia hay không.

Đến đây, khóa ôn tập tổng hợp Toán 11 đã đi qua đủ năm mạch: lượng giác, dãy số và giới hạn, mũ – lôgarit và đạo hàm, hình học không gian, và thống kê – xác suất. Công cụ chung xuyên suốt cả năm mạch không phải một công thức cụ thể, mà là thói quen tự hỏi 'dấu hiệu nào trong đề bài cho biết công cụ nào cần dùng' trước khi đặt bút tính — đúng năng lực mà một đề kiểm tra học kỳ hay đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay đòi hỏi.

Nhìn lại toàn khóa: mỗi chương đều mở đầu bằng một câu hỏi tưởng quen thuộc, rồi đưa thêm một chi tiết buộc phải kết hợp thêm một công cụ khác — một phương trình lượng giác quay lại gặp cấp số cộng, một tổng vô hạn được kiểm chứng lại bằng giới hạn, một hàm mũ cần đạo hàm để chứng minh chặt chẽ điều lôgarit mới quan sát, một giả thiết vuông góc duy nhất phục vụ cả bốn câu hình không gian, và một bảng tần số vừa trả lời câu hỏi thống kê vừa trả lời câu hỏi xác suất. Đó chính là năng lực mà khóa ôn tập này rèn: không phải nhớ nhiều công thức hơn, mà nhận ra đúng lúc cần dùng công thức nào.