Bài học

Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng và các hệ quả tìm giao tuyến

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em phát biểu và áp dụng được điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng, và dùng hệ quả của điều kiện đó để suy ra một giao tuyến song song với một đường thẳng đã biết mà không cần tìm điểm chung thứ hai một cách trực tiếp.

Kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ trước: đường trung bình của tam giác và cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian (bài trước); cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng bằng hai điểm chung (Chương 1).

Một thanh xà ngang gắn trên trần nhà không hề chạm mặt sàn, nhưng nếu thanh xà đó nằm ngang và mặt sàn cũng phẳng, khoảng cách từ mọi điểm trên xà xuống sàn đều bằng nhau — xà và sàn không bao giờ gặp nhau dù kéo dài đến đâu. Đó là hình ảnh của một đường thẳng song song với một mặt phẳng: không cần đường thẳng nằm trong mặt phẳng nào chứa nó, chỉ cần chúng không có điểm chung.

Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng

Đường thẳng song song với mặt phẳngĐường thẳng

d

và mặt phẳng

(P)

song song, kí hiệu

d \parallel (P)

, nếu

d

và

(P)

không có điểm chung.Đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ song song, kí hiệu $d \parallel (P)$, nếu $d$ và $(P)$ không có điểm chung.

Định lí (điều kiện đủ)Nếu đường thẳng

d

không nằm trong mặt phẳng

(P)

và

d

song song với một đường thẳng

d'

nằm trong

(P)

, thì

d \parallel (P)

.Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d'$ nằm trong $(P)$, thì $d \parallel (P)$.

Định lí này là cách làm gần như duy nhất để chứng minh $d \parallel (P)$ trong bài tập: thay vì chứng minh trực tiếp "không có điểm chung" (rất khó chứng minh phủ định), ta chỉ cần tìm một đường thẳng $d'$ nằm sẵn trong $(P)$ và song song với $d$ — thường là một cạnh có sẵn của hình, tìm bằng đường trung bình hoặc tính chất hình bình hành.

Hệ quả (dùng để tìm giao tuyến)Nếu

d \parallel (P)

d

nằm trong một mặt phẳng

(Q)

, và

(P) \cap (Q) = d'

thì

d' \parallel d

.Nếu $d \parallel (P)$, $d$ nằm trong một mặt phẳng $(Q)$, và $(P) \cap (Q) = d'$ thì $d' \parallel d$.

Hệ quả này quý ở chỗ nó cho một giao tuyến "miễn phí": bình thường muốn tìm giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ phải đi tìm hai điểm chung; nhưng nếu đã biết $(Q)$ chứa một đường thẳng $d$ song song với $(P)$ , và đã có sẵn một điểm chung của $(P)$ , $(Q)$ (chẳng hạn từ đề bài), thì hướng của giao tuyến suy ra ngay là song song với $d$ — không cần tìm điểm chung thứ hai bằng cách kéo dài, dựng hình phụ nào cả.

Hệ quả này quý ở chỗ nó cho một giao tuyến "miễn phí": bình thường muốn tìm giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ phải đi tìm hai điểm chung; nhưng nếu đã biết $(Q)$ chứa một đường thẳng $d$ song song với $(P)$, và đã có sẵn một điểm chung của $(P)$, $(Q)$ (chẳng hạn từ đề bài), thì **hướng** của giao tuyến suy ra ngay là song song với $d$ — không cần tìm điểm chung thứ hai bằng cách kéo dài, dựng hình phụ nào cả.

Lời giải có hình

MN // AB nên MN // (ABCD)

Bước 1

M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

Ví dụ

Ví dụ chuẩn — MN // (ABCD)

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ , $SB$ . Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$. Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$.
2
Xét tam giác $SAB$ : $M$ , $N$ là trung điểm $SA$ , $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel AB$ . (1) Mặt khác $AB \subset (ABCD)$ . (2) $M$ , $N$ nằm trên các cạnh bên $SA$ , $SB$ nên $MN \not\subset (ABCD)$ . (3)
Xét tam giác $SAB$: $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel AB$. (1) Mặt khác $AB \subset (ABCD)$. (2) $M$, $N$ nằm trên các cạnh bên $SA$, $SB$ nên $MN \not\subset (ABCD)$. (3)
3
Từ (1), (2), (3): $MN$ không nằm trong $(ABCD)$ và song song với đường thẳng $AB \subset (ABCD)$ . Theo định lí điều kiện đủ, $MN \parallel (ABCD)$ .
Từ (1), (2), (3): $MN$ không nằm trong $(ABCD)$ và song song với đường thẳng $AB \subset (ABCD)$. Theo định lí điều kiện đủ, $MN \parallel (ABCD)$.

Hệ quả có thể áp dụng liên tiếp: một khi biết $MN \parallel (ABCD)$ , ta có thể suy ra ngay hướng của giao tuyến giữa $(ABCD)$ với bất kì mặt phẳng nào khác chứa $MN$ , mà không cần tìm điểm chung thứ hai theo cách thông thường.

Hệ quả có thể áp dụng liên tiếp: một khi biết $MN \parallel (ABCD)$, ta có thể suy ra ngay hướng của giao tuyến giữa $(ABCD)$ với bất kì mặt phẳng nào khác chứa $MN$, mà không cần tìm điểm chung thứ hai theo cách thông thường.

Lời giải có hình

Áp dụng hệ quả lần thứ hai: NK // BC

Bước 1

Hình chóp S.ABCD đầy đủ (đáy ABCD, cạnh AD, DC là cạnh khuất). Từ ví dụ trước: MN // AB, M, N là trung điểm SA, SB. Xét thêm K là trung điểm SC.

Ví dụ

Ví dụ vận dụng — áp dụng hệ quả cho mặt bên kế tiếp

1
Với hình chóp trên, gọi thêm $K$ là trung điểm $SC$ . Chứng minh $NK \parallel BC$ , từ đó nêu nhận xét về mặt phẳng $(MNK)$ và mặt đáy $(ABCD)$ .
Với hình chóp trên, gọi thêm $K$ là trung điểm $SC$. Chứng minh $NK \parallel BC$, từ đó nêu nhận xét về mặt phẳng $(MNK)$ và mặt đáy $(ABCD)$.
2
Xét tam giác $SBC$ : $N$ , $K$ lần lượt là trung điểm $SB$ , $SC$ , nên $NK$ là đường trung bình, suy ra $NK \parallel BC$ . (1) Kết hợp với ví dụ trước: $MN \parallel AB$ . (2)
Xét tam giác $SBC$: $N$, $K$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SC$, nên $NK$ là đường trung bình, suy ra $NK \parallel BC$. (1) Kết hợp với ví dụ trước: $MN \parallel AB$. (2)
3
$(MNK)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ , $NK$ , mỗi đường lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ , $BC$ của $(ABCD)$ . Đây chính là dấu hiệu của hai mặt phẳng song song, nội dung sẽ học kĩ ở Chương 4 — ở đây ta mới dừng ở việc mỗi đường riêng lẻ song song với mặt đáy.
$(MNK)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$, $NK$, mỗi đường lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $AB$, $BC$ của $(ABCD)$. Đây chính là dấu hiệu của hai mặt phẳng song song, nội dung sẽ học kĩ ở Chương 4 — ở đây ta mới dừng ở việc mỗi đường riêng lẻ song song với mặt đáy.
4
$NK \parallel BC$ , và cả $MN$ , $NK$ đều song song với $(ABCD)$ theo định lí điều kiện đủ, vì mỗi đường không nằm trong $(ABCD)$ nhưng song song với một cạnh của $(ABCD)$ .
$NK \parallel BC$, và cả $MN$, $NK$ đều song song với $(ABCD)$ theo định lí điều kiện đủ, vì mỗi đường không nằm trong $(ABCD)$ nhưng song song với một cạnh của $(ABCD)$.

Một câu hỏi tự nhiên: $MN \parallel (ABCD)$ , vậy $MN$ có song song với cạnh $AD$ của đáy không? Câu trả lời là không, và việc kiểm tra tại sao giúp tránh đúng cái bẫy đã nêu ở trên. $MN \parallel AB$ theo cách chứng minh, mà trong một hình bình hành, $AB$ và $AD$ là hai cạnh kề, cắt nhau tại $A$ , không song song nhau. Vì tính song song có tính bắc cầu ( $MN \parallel AB$ , nếu $AB \parallel AD$ thì mới suy ra $MN \parallel AD$ , nhưng $AB$ và $AD$ không song song), nên $MN$ và $AD$ không song song — trên thực tế $MN$ và $AD$ chéo nhau, vì chúng không đồng phẳng ( $MN$ nằm trên mặt $(SAB)$ , còn để chứa cả $MN$ và $AD$ cần một mặt phẳng khác không có sẵn từ giả thiết). Điều này khẳng định lại: $d \parallel (P)$ chỉ đảm bảo $d$ song song với đúng những đường thẳng trong $(P)$ cùng phương với đường thẳng $d'$ đã dùng để chứng minh, không phải với mọi đường thẳng của $(P)$ .

Một câu hỏi tự nhiên: $MN \parallel (ABCD)$, vậy $MN$ có song song với **cạnh** $AD$ của đáy không? Câu trả lời là không, và việc kiểm tra tại sao giúp tránh đúng cái bẫy đã nêu ở trên. $MN \parallel AB$ theo cách chứng minh, mà trong một hình bình hành, $AB$ và $AD$ là hai cạnh kề, cắt nhau tại $A$, không song song nhau. Vì tính song song có tính bắc cầu ($MN \parallel AB$, nếu $AB \parallel AD$ thì mới suy ra $MN \parallel AD$, nhưng $AB$ và $AD$ không song song), nên $MN$ và $AD$ **không** song song — trên thực tế $MN$ và $AD$ chéo nhau, vì chúng không đồng phẳng ($MN$ nằm trên mặt $(SAB)$, còn để chứa cả $MN$ và $AD$ cần một mặt phẳng khác không có sẵn từ giả thiết). Điều này khẳng định lại: $d \parallel (P)$ chỉ đảm bảo $d$ song song với đúng những đường thẳng trong $(P)$ cùng phương với đường thẳng $d'$ đã dùng để chứng minh, không phải với mọi đường thẳng của $(P)$.

Quy trình chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng $d \parallel (P)$ thì $d$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ — sai, $d$ chỉ song song với những đường thẳng nào cùng phương với $d'$ (đường thẳng dùng để chứng minh); với các đường thẳng khác trong $(P)$ , $d$ nói chung chéo nhau với chúng, như ví dụ $MN$ và $AD$ vừa xét. Một sai lầm khác là quên kiểm tra điều kiện $d \not\subset (P)$ trước khi áp dụng định lí — nếu $d$ đã nằm trong $(P)$ thì không thể nói $d \parallel (P)$ được nữa.

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng $d \parallel (P)$ thì $d$ song song với **mọi** đường thẳng nằm trong $(P)$ — sai, $d$ chỉ song song với những đường thẳng nào cùng phương với $d'$ (đường thẳng dùng để chứng minh); với các đường thẳng khác trong $(P)$, $d$ nói chung chéo nhau với chúng, như ví dụ $MN$ và $AD$ vừa xét. Một sai lầm khác là quên kiểm tra điều kiện $d \not\subset (P)$ trước khi áp dụng định lí — nếu $d$ đã nằm trong $(P)$ thì không thể nói $d \parallel (P)$ được nữa.

Tóm tắt

Tóm lại: d // (P) khi d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng có sẵn trong (P) — thường tìm bằng đường trung bình. Hệ quả cho phép suy ra hướng của một giao tuyến mà không cần dựng điểm chung, và có thể áp dụng liên tiếp qua nhiều mặt của cùng một hình.

Bài tiếp theo nâng cấp độ song song lên một bậc nữa: khi nào cả hai mặt phẳng song song với nhau, và một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng song song đó thì hai giao tuyến sinh ra có quan hệ gì — đây chính là công cụ cốt lõi để dựng thiết diện ở Chương 6.