Bài học

Vị trí tương đối của hai đường thẳng và định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em phân biệt được ba vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, phát biểu được định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, và dùng đường trung bình của tam giác để chứng minh hai đường thẳng song song trong một hình không gian.

Kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ trước: đường trung bình của tam giác (đoạn nối trung điểm hai cạnh thì song song và bằng nửa cạnh còn lại) học ở lớp dưới; cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng bằng hai điểm chung ở bài trước.

Hai thanh ray của một đường tàu hỏa thẳng, dù kéo dài đến đâu cũng không cắt nhau và luôn cách đều — đó là hình ảnh quen thuộc của hai đường thẳng song song trong mặt phẳng. Nhưng nhìn một cây cầu vượt: thanh dầm ngang của tầng trên và một thanh giằng chéo của tầng dưới không hề cắt nhau, cũng cách nhau một khoảng không đổi theo phương thẳng đứng — nhưng không nằm trên cùng một mặt phẳng, nên không được gọi là song song. Trong không gian, có một vị trí thứ ba mà hình học phẳng không có: hai đường thẳng chéo nhau.

Ba vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Hai đường thẳng cắt nhauCùng nằm trong một mặt phẳng và có đúng một điểm chung.

Hai đường thẳng song songCùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng chéo nhauKhông cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào (không đồng phẳng). Đây là vị trí chỉ xuất hiện trong không gian.

Điều quan trọng cần khắc sâu: nhìn trên một hình vẽ phẳng, hai đường thẳng có thể trông như không cắt nhau, nhưng điều đó không đủ để kết luận chúng song song — phải kiểm tra thêm rằng chúng đồng phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng nào đó). Nếu không đồng phẳng, dù hình vẽ trông giống hệt hai đường song song, quan hệ thật sự là chéo nhau. Ví dụ kinh điển: trong hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình bình hành, cạnh bên $SA$ và cạnh đáy $BC$ nhìn trên hình có thể không cắt nhau, nhưng $SA$ và $BC$ chéo nhau vì không có mặt phẳng nào chứa cả hai (nếu có, mặt phẳng đó phải chứa $S$ , $A$ , $B$ , $C$ — bốn điểm không đồng phẳng của hình chóp).

Điều quan trọng cần khắc sâu: nhìn trên một hình vẽ phẳng, hai đường thẳng có thể trông như không cắt nhau, nhưng điều đó **không đủ** để kết luận chúng song song — phải kiểm tra thêm rằng chúng đồng phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng nào đó). Nếu không đồng phẳng, dù hình vẽ trông giống hệt hai đường song song, quan hệ thật sự là chéo nhau. Ví dụ kinh điển: trong hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình bình hành, cạnh bên $SA$ và cạnh đáy $BC$ nhìn trên hình có thể không cắt nhau, nhưng $SA$ và $BC$ chéo nhau vì không có mặt phẳng nào chứa cả hai (nếu có, mặt phẳng đó phải chứa $S$, $A$, $B$, $C$ — bốn điểm không đồng phẳng của hình chóp).

Tiên đề Euclid trong không gian và định lí giao tuyến ba mặt phẳng

Trong không gian, tiên đề Euclid vẫn giữ nguyên dạng quen thuộc: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Từ đây suy ra tính chất bắc cầu quan trọng: nếu $a \parallel b$ và $b \parallel c$ thì $a \parallel c$ — kể cả khi $a$ , $b$ , $c$ không cùng nằm trên một mặt phẳng chung cho cả ba.

Trong không gian, tiên đề Euclid vẫn giữ nguyên dạng quen thuộc: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Từ đây suy ra tính chất bắc cầu quan trọng: nếu $a \parallel b$ và $b \parallel c$ thì $a \parallel c$ — kể cả khi $a$, $b$, $c$ không cùng nằm trên một mặt phẳng chung cho cả ba.

Định lí giao tuyến ba mặt phẳngNếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy tại một điểm, hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quảNếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai).

Hệ quả này chính là công cụ dựng thiết diện mà em sẽ dùng nhiều nhất từ Chương 6 trở đi: mỗi khi biết trước một cặp đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng ấy — nếu tồn tại — buộc phải song song với cặp đường thẳng đó, không cần tính toán thêm gì khác.

Lời giải có hình

Đường trung bình MN // BC trong mặt ABC của tứ diện

Bước 1

Tứ diện ABCD. Cạnh AD, BD, CD (nối tới đỉnh sau D) là các cạnh khuất.

Ví dụ

Ví dụ chuẩn — đường trung bình của một mặt tứ diện

1
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $AC$ . Chứng minh $MN \parallel BC$ .
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $MN \parallel BC$.
2
Xét tam giác $ABC$ : $M$ là trung điểm $AB$ , $N$ là trung điểm $AC$ , nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$ . Theo tính chất đường trung bình, $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$ .
Xét tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$. Theo tính chất đường trung bình, $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$.
3
$MN \parallel BC$ . Nhận xét: $M$ , $N$ , $B$ , $C$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ — đây chính là mặt phẳng chung khiến $MN$ và $BC$ đồng phẳng, điều kiện bắt buộc để nói đến "song song" thay vì "chéo nhau".
$MN \parallel BC$. Nhận xét: $M$, $N$, $B$, $C$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ — đây chính là mặt phẳng chung khiến $MN$ và $BC$ đồng phẳng, điều kiện bắt buộc để nói đến "song song" thay vì "chéo nhau".

Lời giải có hình

Tứ giác trung điểm MNPQ của tứ diện là hình bình hành

Bước 1

Tứ diện ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

Ví dụ

Ví dụ vận dụng — tứ giác trung điểm của tứ diện

1
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.
2
Xét tam giác $ABC$ : $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ , nên $MN \parallel AC$ . (1) Xét tam giác $ACD$ : $QP$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ , nên $QP \parallel AC$ . (2) Từ (1) và (2) suy ra $MN \parallel QP$ .
Xét tam giác $ABC$: $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$, nên $MN \parallel AC$. (1) Xét tam giác $ACD$: $QP$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$, nên $QP \parallel AC$. (2) Từ (1) và (2) suy ra $MN \parallel QP$.
3
Xét tam giác $ABD$ : $MQ$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$ , nên $MQ \parallel BD$ . (3) Xét tam giác $CBD$ : $NP$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$ , nên $NP \parallel BD$ . (4) Từ (3) và (4) suy ra $MQ \parallel NP$ .
Xét tam giác $ABD$: $MQ$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$, nên $MQ \parallel BD$. (3) Xét tam giác $CBD$: $NP$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$, nên $NP \parallel BD$. (4) Từ (3) và (4) suy ra $MQ \parallel NP$.
4
Tứ giác $MNPQ$ có $MN \parallel QP$ và $MQ \parallel NP$ , tức hai cặp cạnh đối diện đôi một song song. Vậy $MNPQ$ là hình bình hành.
Tứ giác $MNPQ$ có $MN \parallel QP$ và $MQ \parallel NP$, tức hai cặp cạnh đối diện đôi một song song. Vậy $MNPQ$ là hình bình hành.

Quy trình chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: thấy hai đường thẳng không cắt nhau trên hình vẽ liền kết luận ngay là song song, quên kiểm tra chúng có đồng phẳng hay không — nếu không đồng phẳng thì đó là chéo nhau, không phải song song. Một sai lầm khác là áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng khi ba giao tuyến chưa chắc phân biệt (hai trong ba mặt phẳng có thể trùng nhau hoặc song song, khi đó không có đủ ba giao tuyến để xét). Một sai lầm thứ ba, hay gặp khi trình bày: quên nêu rõ mặt phẳng chung trước khi nói đến "song song" — câu "MN song song BC" mà không chỉ ra cả hai cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ bị coi là thiếu căn cứ trong bài kiểm tra, dù kết luận cuối cùng đúng.

Tóm tắt

Tóm lại: hai đường thẳng trong không gian có ba vị trí — cắt nhau, song song, chéo nhau — trong đó chéo nhau là điều mới so với hình học phẳng. Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì ba giao tuyến hoặc đồng quy hoặc đôi một song song, và hệ quả của định lí này cho phép suy ra một giao tuyến song song với một đường thẳng đã biết.

Bài tiếp theo mở rộng câu hỏi song song sang một cấp độ khác: khi nào một đường thẳng song song với cả một mặt phẳng, và hệ quả của điều đó cho phép suy ra giao tuyến mà không cần tìm hai điểm chung một cách trực tiếp.