Bài học

Dựng thiết diện bằng mặt phẳng song song với đáy

Mục tiêu bài học

Sau bài học này em dựng được thiết diện của một hình chóp khi mặt phẳng cắt song song với mặt đáy, bằng cách chứng minh hai mặt phẳng song song trước rồi suy ra toàn bộ các giao tuyến còn lại từ tính chất giao tuyến của Chương 4.

Kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ trước: điều kiện và tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song (Chương 4); phương pháp giao tuyến gốc bằng hai điểm chung hoặc hệ quả song song (bài trước).

Cắt ngang một ổ bánh mì hình chóp bằng một nhát dao song song với mặt đáy, mặt cắt luôn có hình dạng tương tự đáy nhưng nhỏ hơn — một hình vuông cho lát cắt hình vuông nhỏ hơn, một hình bình hành cho lát cắt hình bình hành nhỏ hơn. Bài trước dựng thiết diện khi mặt phẳng cắt còn chứa sẵn một cạnh đáy; bài này xử lí trường hợp khó hơn — mặt phẳng cắt chỉ đi qua các điểm trên cạnh bên, không chạm cạnh đáy nào cả.

Dựng thiết diện song song với mặt đáy

Tính chất tồn tại và duy nhấtQua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Tính chất này giải thích vì sao "mặt phẳng qua một điểm và song song với mặt đáy" là một đối tượng xác định duy nhất, không mơ hồ — nhưng để dựng và tính toán được thiết diện của nó, ta cần ít nhất ba điểm không thẳng hàng nằm trên mặt phẳng đó, thường lấy trên ba cạnh bên khác nhau ở cùng một tỉ lệ.

Lời giải có hình

Chứng minh mp(MNP) song song mp(ABCD)

Bước 1

M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.

Ví dụ

Ví dụ chuẩn — mp(MNP) song song mặt đáy

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ , $P$ lần lượt là trung điểm $SA$ , $SB$ , $SC$ . Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$, $SC$. Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$.
2
Xét tam giác $SAB$ : $M$ , $N$ là trung điểm $SA$ , $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel AB$ . (1) Xét tam giác $SBC$ : $N$ , $P$ là trung điểm $SB$ , $SC$ nên $NP$ là đường trung bình, suy ra $NP \parallel BC$ . (2)
Xét tam giác $SAB$: $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel AB$. (1) Xét tam giác $SBC$: $N$, $P$ là trung điểm $SB$, $SC$ nên $NP$ là đường trung bình, suy ra $NP \parallel BC$. (2)
3
Trong mặt phẳng $(MNP)$ , hai đường thẳng $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$ . Từ (1), (2): $MN \parallel AB \subset (ABCD)$ và $NP \parallel BC \subset (ABCD)$ , với $AB$ , $BC$ cắt nhau tại $B$ trong $(ABCD)$ . Theo định lí điều kiện đủ (Chương 4), $(MNP) \parallel (ABCD)$ .
Trong mặt phẳng $(MNP)$, hai đường thẳng $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$. Từ (1), (2): $MN \parallel AB \subset (ABCD)$ và $NP \parallel BC \subset (ABCD)$, với $AB$, $BC$ cắt nhau tại $B$ trong $(ABCD)$. Theo định lí điều kiện đủ (Chương 4), $(MNP) \parallel (ABCD)$.

Đã có $(MNP) \parallel (ABCD)$ , bước cuối cùng là tìm giao điểm của $(MNP)$ với cạnh bên còn lại $SD$ — không cần tìm hai điểm chung theo cách thông thường, vì tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song (Chương 4) cho ngay hướng của giao tuyến trên mặt bên $(SAD)$ . So với bài trước, đây là điểm khác biệt cốt lõi: khi mặt phẳng cắt chứa sẵn một cạnh đáy, hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng (Chương 3) đã đủ dùng; khi mặt phẳng cắt hoàn toàn nằm trên các cạnh bên, phải chứng minh hẳn một quan hệ song song giữa hai mặt phẳng (Chương 4) trước khi có thể suy ra bất kì giao tuyến nào.

Đã có $(MNP) \parallel (ABCD)$, bước cuối cùng là tìm giao điểm của $(MNP)$ với cạnh bên còn lại $SD$ — không cần tìm hai điểm chung theo cách thông thường, vì tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song (Chương 4) cho ngay hướng của giao tuyến trên mặt bên $(SAD)$. So với bài trước, đây là điểm khác biệt cốt lõi: khi mặt phẳng cắt chứa sẵn một cạnh đáy, hệ quả đường thẳng song song mặt phẳng (Chương 3) đã đủ dùng; khi mặt phẳng cắt hoàn toàn nằm trên các cạnh bên, phải chứng minh hẳn một quan hệ song song **giữa hai mặt phẳng** (Chương 4) trước khi có thể suy ra bất kì giao tuyến nào.

Lời giải có hình

Hoàn thiện thiết diện MNPQ

Bước 1

Hình chóp S.ABCD đầy đủ bốn cạnh bên. Đã có (MNP) // (ABCD), với M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. Xét mặt bên (SAD), chứa M và cạnh AD của đáy.

Ví dụ

Ví dụ vận dụng — hoàn thiện thiết diện MNPQ

1
Với hình chóp trên, mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $SD$ tại $Q$ . Xác định vị trí $Q$ và chứng minh thiết diện $MNPQ$ là hình bình hành.
Với hình chóp trên, mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $SD$ tại $Q$. Xác định vị trí $Q$ và chứng minh thiết diện $MNPQ$ là hình bình hành.
2
Mặt phẳng $(SAD)$ chứa $M$ (trên $SA$ ) và cắt $(ABCD)$ theo $AD$ . Vì $(MNP) \parallel (ABCD)$ , mặt phẳng thứ ba $(SAD)$ cắt cả hai theo hai giao tuyến song song: $(SAD) \cap (MNP)$ phải song song $AD$ và đi qua $M$ . Trong tam giác $SAD$ , đường qua trung điểm $M$ của $SA$ song song $AD$ cắt $SD$ tại trung điểm $Q$ của $SD$ (đường trung bình).
Mặt phẳng $(SAD)$ chứa $M$ (trên $SA$) và cắt $(ABCD)$ theo $AD$. Vì $(MNP) \parallel (ABCD)$, mặt phẳng thứ ba $(SAD)$ cắt cả hai theo hai giao tuyến song song: $(SAD) \cap (MNP)$ phải song song $AD$ và đi qua $M$. Trong tam giác $SAD$, đường qua trung điểm $M$ của $SA$ song song $AD$ cắt $SD$ tại trung điểm $Q$ của $SD$ (đường trung bình).
3
$MN \parallel AB$ (ví dụ trước) và $QP$ là đường trung bình tam giác $SDC$ nên $QP \parallel DC$ . Vì $AB \parallel DC$ (đáy hình bình hành), suy ra $MN \parallel QP$ . (1) $NP \parallel BC$ (ví dụ trước) và $QM$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $QM \parallel AD$ . Vì $BC \parallel AD$ , suy ra $NP \parallel QM$ . (2)
$MN \parallel AB$ (ví dụ trước) và $QP$ là đường trung bình tam giác $SDC$ nên $QP \parallel DC$. Vì $AB \parallel DC$ (đáy hình bình hành), suy ra $MN \parallel QP$. (1) $NP \parallel BC$ (ví dụ trước) và $QM$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $QM \parallel AD$. Vì $BC \parallel AD$, suy ra $NP \parallel QM$. (2)
4
Từ (1), (2): tứ giác $MNPQ$ có hai cặp cạnh đối song song, nên $MNPQ$ là hình bình hành. Đây là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng song song mặt đáy qua trung điểm ba cạnh bên $SA$ , $SB$ , $SC$ .
Từ (1), (2): tứ giác $MNPQ$ có hai cặp cạnh đối song song, nên $MNPQ$ là hình bình hành. Đây là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng song song mặt đáy qua trung điểm ba cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$.

Cũng như bài trước, kết quả $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ đều là trung điểm không phải một sự trùng hợp riêng của con số $\dfrac{1}{2}$ . Nếu đề bài cho $M$ , $N$ , $P$ trên $SA$ , $SB$ , $SC$ với cùng tỉ số $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = k$ (không nhất thiết $k = \dfrac{1}{2}$ ), toàn bộ lập luận vẫn đứng vững: $MN$ vẫn là đường trung bình tỉ lệ của tam giác $SAB$ nên $MN \parallel AB$ theo đúng định lí Thalès (không riêng gì đường trung bình ứng với tỉ số $\dfrac12$ ), tương tự cho $NP \parallel BC$ , nên $(MNP) \parallel (ABCD)$ vẫn đúng với mọi $k$ chung cho cả ba điểm. Điểm $Q$ trên $SD$ khi đó cũng thỏa $\dfrac{SQ}{SD} = k$ , và $MNPQ$ vẫn là hình bình hành vì lập luận về hai cặp cạnh song song không phụ thuộc giá trị cụ thể của $k$ — chỉ cần $k$ giống nhau ở cả bốn cạnh bên. Đây chính là điều làm nên tên gọi "mặt phẳng song song với đáy": tỉ lệ chung $k$ đó chi phối toàn bộ hình dạng thiết diện, và thiết diện luôn đồng dạng với đáy theo đúng tỉ số $k$ đó.

Cũng như bài trước, kết quả $M$, $N$, $P$, $Q$ đều là trung điểm không phải một sự trùng hợp riêng của con số $\dfrac{1}{2}$. Nếu đề bài cho $M$, $N$, $P$ trên $SA$, $SB$, $SC$ với cùng tỉ số $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = k$ (không nhất thiết $k = \dfrac{1}{2}$), toàn bộ lập luận vẫn đứng vững: $MN$ vẫn là đường trung bình tỉ lệ của tam giác $SAB$ nên $MN \parallel AB$ theo đúng định lí Thalès (không riêng gì đường trung bình ứng với tỉ số $\dfrac12$), tương tự cho $NP \parallel BC$, nên $(MNP) \parallel (ABCD)$ vẫn đúng với mọi $k$ chung cho cả ba điểm. Điểm $Q$ trên $SD$ khi đó cũng thỏa $\dfrac{SQ}{SD} = k$, và $MNPQ$ vẫn là hình bình hành vì lập luận về hai cặp cạnh song song không phụ thuộc giá trị cụ thể của $k$ — chỉ cần $k$ **giống nhau** ở cả bốn cạnh bên. Đây chính là điều làm nên tên gọi "mặt phẳng song song với đáy": tỉ lệ chung $k$ đó chi phối toàn bộ hình dạng thiết diện, và thiết diện luôn đồng dạng với đáy theo đúng tỉ số $k$ đó.

Quy trình dựng thiết diện song song với mặt đáy

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng thiết diện qua BA điểm bất kì trên ba cạnh bên luôn là hình bình hành — chỉ đúng khi mặt phẳng cắt thật sự song song với đáy, tức ba điểm phải ở cùng một tỉ lệ trên ba cạnh bên. Nếu tỉ lệ khác nhau, mặt phẳng qua ba điểm đó nói chung không song song đáy, và thiết diện chỉ là một tứ giác thường, không có gì đảm bảo là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng thiết diện qua BA điểm bất kì trên ba cạnh bên luôn là hình bình hành — chỉ đúng khi mặt phẳng cắt thật sự song song với đáy, tức ba điểm phải ở **cùng một tỉ lệ** trên ba cạnh bên. Nếu tỉ lệ khác nhau, mặt phẳng qua ba điểm đó nói chung không song song đáy, và thiết diện chỉ là một tứ giác thường, không có gì đảm bảo là hình bình hành.

Tóm tắt

Tóm lại: khi mặt phẳng cắt không chứa cạnh đáy nào, hãy chứng minh nó song song với đáy bằng hai đường cắt nhau song song hai cạnh đáy cắt nhau, rồi dùng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song để tìm nốt các điểm còn lại — không cần dò tìm điểm chung theo cách thủ công.

Chương cuối cùng của khóa học ghép lại toàn bộ năm chương vừa học thành một bài toán tổng hợp duy nhất, đúng như một đề kiểm tra thật sẽ yêu cầu: từ giao tuyến, qua đường thẳng song song mặt phẳng, đến thiết diện — tất cả trong cùng một hình chóp.