Bài học

Góc nhị diện

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng được góc phẳng của một góc nhị diện (góc giữa hai nửa mặt phẳng chung một cạnh) và tính được số đo của nó bằng tam giác vuông đã dựng ở các bài trước.

Bài học cần khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Chương 1) và tính chất suy ra của nó — công cụ chính để chứng minh một tia là "tia vuông góc với cạnh" khi dựng góc phẳng. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (lớp 9) vẫn là công cụ tính số đo cuối cùng.

Khởi động

Mở một cuốn sách ra một góc bất kì: hai trang sách là hai nửa mặt phẳng chung nhau ở gáy sách (cạnh chung). Góc mở của cuốn sách — độ "xoè" giữa hai trang — chính là một góc nhị diện. Mái nhà hai dốc, hai bức tường gặp nhau ở một góc phòng cũng là những góc nhị diện quen thuộc. Vấn đề đặt ra: đo góc mở đó bằng cách nào, khi bản thân "góc giữa hai mặt phẳng" chưa phải một góc phẳng có thể đặt thước đo trực tiếp?

Góc nhị diện và góc phẳng của nó

Góc nhị diệnGóc nhị diện cạnh

d

tạo bởi hai nửa mặt phẳng

(P)

(Q)

chung bờ

d

là hình gồm

d

cùng hai nửa mặt phẳng đó, kí hiệu

[P,d,Q]

hay ngắn gọn theo cạnh, ví dụ "nhị diện cạnh

BC

".Góc nhị diện cạnh $d$ tạo bởi hai nửa mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ chung bờ $d$ là hình gồm $d$ cùng hai nửa mặt phẳng đó, kí hiệu $[P,d,Q]$ hay ngắn gọn theo cạnh, ví dụ "nhị diện cạnh $BC$".

Để đo góc nhị diện, ta dựng góc phẳng của nó: chọn một điểm $O$ bất kì trên cạnh $d$ , dựng tia $Ox \subset (P)$ và tia $Oy \subset (Q)$ sao cho cả hai đều vuông góc với $d$ tại $O$ . Góc $\widehat{xOy}$ chính là góc phẳng của góc nhị diện, và số đo của góc nhị diện được định nghĩa bằng số đo góc phẳng ấy. Giống như góc giữa hai đường thẳng, kết quả không phụ thuộc việc chọn $O$ ở vị trí nào trên $d$ — nên trong bài toán cụ thể, ta luôn được chọn $O$ trùng với một điểm có sẵn của hình để việc dựng hai tia vuông góc trở nên dễ dàng nhất.

Để đo góc nhị diện, ta dựng góc phẳng của nó: chọn một điểm $O$ bất kì trên cạnh $d$, dựng tia $Ox \subset (P)$ và tia $Oy \subset (Q)$ sao cho cả hai đều vuông góc với $d$ tại $O$. Góc $\widehat{xOy}$ chính là góc phẳng của góc nhị diện, và số đo của góc nhị diện được định nghĩa bằng số đo góc phẳng ấy. Giống như góc giữa hai đường thẳng, kết quả không phụ thuộc việc chọn $O$ ở vị trí nào trên $d$ — nên trong bài toán cụ thể, ta luôn được chọn $O$ trùng với một điểm có sẵn của hình để việc dựng hai tia vuông góc trở nên dễ dàng nhất.

Lưu ý một khác biệt quan trọng với góc giữa hai đường thẳng ở Chương 1: góc giữa hai đường thẳng luôn lấy giá trị không tù, thuộc $[0°;90°]$ , còn góc nhị diện là góc giữa hai TIA (không phải hai đường thẳng dựng đối xứng), nên số đo của nó có thể nhận bất kì giá trị nào trong khoảng $(0°;180°)$ — một góc nhị diện $120°$ hay $150°$ hoàn toàn hợp lệ, ví dụ ở mái nhà xoè rộng. Khi góc phẳng đúng bằng $90°$ , ta có trường hợp đặc biệt sẽ đặt tên riêng ở bài sau: hai mặt phẳng vuông góc.

Lưu ý một khác biệt quan trọng với góc giữa hai đường thẳng ở Chương 1: góc giữa hai đường thẳng luôn lấy giá trị không tù, thuộc $[0°;90°]$, còn góc nhị diện là góc giữa hai TIA (không phải hai đường thẳng dựng đối xứng), nên số đo của nó có thể nhận bất kì giá trị nào trong khoảng $(0°;180°)$ — một góc nhị diện $120°$ hay $150°$ hoàn toàn hợp lệ, ví dụ ở mái nhà xoè rộng. Khi góc phẳng đúng bằng $90°$, ta có trường hợp đặc biệt sẽ đặt tên riêng ở bài sau: hai mặt phẳng vuông góc.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Dựng và tính góc nhị diện giữa mặt bên và mặt đáy

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$ , $SA = 4$ cm. Tính số đo góc nhị diện cạnh $BC$ tạo bởi $(SBC)$ và $(ABCD)$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4$ cm. Tính số đo góc nhị diện cạnh $BC$ tạo bởi $(SBC)$ và $(ABCD)$.
2
Trong mặt đáy $(ABCD)$ : vì $ABCD$ là hình vuông, $BA \perp BC$ tại $B$ — vậy tia $BA$ là tia cần tìm trong $(ABCD)$ . Trong mặt bên $(SBC)$ : ta chứng minh $BC \perp (SAB)$ trước — $BC \perp AB$ (hình vuông) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$ , tính chất suy ra), nên $BC$ vuông góc hai đường cắt nhau $AB$ , $SA$ của $(SAB)$ , suy ra $BC \perp (SAB)$ . Vì $SB \subset (SAB)$ , ta có $BC \perp SB$ — vậy tia $BS$ chính là tia cần tìm trong $(SBC)$ .
Trong mặt đáy $(ABCD)$: vì $ABCD$ là hình vuông, $BA \perp BC$ tại $B$ — vậy tia $BA$ là tia cần tìm trong $(ABCD)$. Trong mặt bên $(SBC)$: ta chứng minh $BC \perp (SAB)$ trước — $BC \perp AB$ (hình vuông) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$, tính chất suy ra), nên $BC$ vuông góc hai đường cắt nhau $AB$, $SA$ của $(SAB)$, suy ra $BC \perp (SAB)$. Vì $SB \subset (SAB)$, ta có $BC \perp SB$ — vậy tia $BS$ chính là tia cần tìm trong $(SBC)$.
3
Cả hai tia $BA$ và $BS$ đều vuông góc với cạnh $BC$ tại cùng điểm $B$ , một tia nằm trong $(ABCD)$ , tia kia nằm trong $(SBC)$ — đúng định nghĩa góc phẳng. Vậy góc nhị diện cạnh $BC$ chính là $\widehat{SBA}$ .
Cả hai tia $BA$ và $BS$ đều vuông góc với cạnh $BC$ tại cùng điểm $B$, một tia nằm trong $(ABCD)$, tia kia nằm trong $(SBC)$ — đúng định nghĩa góc phẳng. Vậy góc nhị diện cạnh $BC$ chính là $\widehat{SBA}$.
4
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp AB$ ): $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1$ , suy ra $\widehat{SBA} = 45°$ .
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp AB$): $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1$, suy ra $\widehat{SBA} = 45°$.
5
Vậy góc nhị diện cạnh $BC$ giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $45°$ .
Vậy góc nhị diện cạnh $BC$ giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $45°$.

Lời giải có hình

Góc phẳng của góc nhị diện cạnh BC — tam giác SAB

Bước 1

Xét cạnh $AB$ của mặt đáy, sẽ dùng để dựng hai tia vuông góc với cạnh nhị diện $BC$ tại $B$ .Xét cạnh $AB$ của mặt đáy, sẽ dùng để dựng hai tia vuông góc với cạnh nhị diện $BC$ tại $B$.

Ví dụ

Một góc nhị diện đặc biệt: bằng 90°

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Tính số đo góc nhị diện cạnh $AB$ tạo bởi $(SAB)$ và $(ABCD)$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Tính số đo góc nhị diện cạnh $AB$ tạo bởi $(SAB)$ và $(ABCD)$.
2
Trong $(ABCD)$ : $AD \perp AB$ (hình vuông) — tia $AD$ là tia cần tìm. Trong $(SAB)$ : theo giả thiết, $SA \perp AB$ — tia $AS$ là tia cần tìm.
Trong $(ABCD)$: $AD \perp AB$ (hình vuông) — tia $AD$ là tia cần tìm. Trong $(SAB)$: theo giả thiết, $SA \perp AB$ — tia $AS$ là tia cần tìm.
3
Cả $AD$ và $AS$ đều vuông góc với cạnh $AB$ tại cùng điểm $A$ , nên góc nhị diện cạnh $AB$ chính là $\widehat{SAD}$ .
Cả $AD$ và $AS$ đều vuông góc với cạnh $AB$ tại cùng điểm $A$, nên góc nhị diện cạnh $AB$ chính là $\widehat{SAD}$.
4
Theo giả thiết ban đầu của hình chóp, $SA \perp AD$ , tức $\widehat{SAD} = 90°$ .
Theo giả thiết ban đầu của hình chóp, $SA \perp AD$, tức $\widehat{SAD} = 90°$.
5
Vậy góc nhị diện cạnh $AB$ giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ bằng $90°$ — nghĩa là hai mặt phẳng này vuông góc với nhau. Đây chính là hiện tượng mà bài học kế tiếp gọi tên và tổng quát hoá: bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng $SA$ (vuông góc với đáy) cũng sẽ vuông góc với $(ABCD)$ , không riêng gì $(SAB)$ .
Vậy góc nhị diện cạnh $AB$ giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ bằng $90°$ — nghĩa là hai mặt phẳng này vuông góc với nhau. Đây chính là hiện tượng mà bài học kế tiếp gọi tên và tổng quát hoá: bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng $SA$ (vuông góc với đáy) cũng sẽ vuông góc với $(ABCD)$, không riêng gì $(SAB)$.

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp nhất: chọn hai tia bất kì trong hai mặt phẳng rồi đo góc giữa chúng mà quên kiểm tra CẢ HAI đều thật sự vuông góc với cạnh nhị diện tại cùng một điểm — thiếu điều kiện này, góc đo được không phải góc phẳng của nhị diện. Sai lầm thứ hai: nhầm góc nhị diện với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng — góc nhị diện đo giữa HAI MẶT PHẲNG, cần hai tia (mỗi mặt một tia), không phải một đường thẳng và hình chiếu của nó. Sai lầm thứ ba, tinh vi hơn: chọn đúng cạnh $d$ nhưng dựng hai tia tại HAI điểm khác nhau trên $d$ — ví dụ tia thứ nhất qua điểm $B$ , tia thứ hai qua điểm $C$ — góc đo được lúc này không còn là góc phẳng hợp lệ, vì định nghĩa đòi hỏi cả hai tia phải xuất phát từ cùng một điểm gốc.

Sai lầm thường gặp nhất: chọn hai tia bất kì trong hai mặt phẳng rồi đo góc giữa chúng mà quên kiểm tra CẢ HAI đều thật sự vuông góc với cạnh nhị diện tại cùng một điểm — thiếu điều kiện này, góc đo được không phải góc phẳng của nhị diện. Sai lầm thứ hai: nhầm góc nhị diện với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng — góc nhị diện đo giữa HAI MẶT PHẲNG, cần hai tia (mỗi mặt một tia), không phải một đường thẳng và hình chiếu của nó. Sai lầm thứ ba, tinh vi hơn: chọn đúng cạnh $d$ nhưng dựng hai tia tại HAI điểm khác nhau trên $d$ — ví dụ tia thứ nhất qua điểm $B$, tia thứ hai qua điểm $C$ — góc đo được lúc này không còn là góc phẳng hợp lệ, vì định nghĩa đòi hỏi cả hai tia phải xuất phát từ cùng một điểm gốc.

Luyện tập

Ghi nhớ

Muốn dựng góc phẳng của một góc nhị diện cạnh $d$ : chọn một điểm trên $d$ (ưu tiên điểm có sẵn), dựng trong mỗi mặt phẳng một tia vuông góc với $d$ tại điểm đó, rồi đo góc giữa hai tia. Khi góc phẳng đó bằng $90°$ , hai mặt phẳng vuông góc với nhau — hiện tượng sẽ được đặt tên và khai thác có hệ thống ở bài tiếp theo.

Muốn dựng góc phẳng của một góc nhị diện cạnh $d$: chọn một điểm trên $d$ (ưu tiên điểm có sẵn), dựng trong mỗi mặt phẳng một tia vuông góc với $d$ tại điểm đó, rồi đo góc giữa hai tia. Khi góc phẳng đó bằng $90°$, hai mặt phẳng vuông góc với nhau — hiện tượng sẽ được đặt tên và khai thác có hệ thống ở bài tiếp theo.

Bài tiếp theo định nghĩa chính xác khái niệm "hai mặt phẳng vuông góc" từ góc nhị diện $90°$ vừa gặp, đưa ra một dấu hiệu nhận biết nhanh hơn hẳn việc dựng góc phẳng mỗi lần, và một hệ quả dùng để tìm thêm những đường thẳng vuông góc mới trong hình. Cả hai ví dụ của bài này đã cho thấy: khi cạnh nhị diện vuông góc với một mặt phẳng phụ chứa cả hai tia cần dựng, việc tìm góc phẳng gọn lại chỉ còn một bước — chứng minh cạnh đó vuông góc với mặt phẳng phụ, rồi đọc thẳng hai tia có sẵn trong hình. Đó chính là kĩ thuật mà bài tiếp theo sẽ hệ thống hoá thành một dấu hiệu duy nhất.