Bài học

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian — kể cả khi chúng chéo nhau — bằng cách dời một đường về vị trí song song rồi tính góc trong một tam giác phẳng.

Bài học dựa trên vài kiến thức em đã có sẵn: hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng chéo nhau (không cùng nằm trên một mặt phẳng) đã học ở Toán 11 chương trước. Em cũng cần định lí Pythagoras và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (lớp 9), cùng định lí côsin trong tam giác thường (Toán 10) — hai công cụ tính toán chính của cả bài.

Khởi động

Một chiếc lều trại dựng trên bãi đất bằng phẳng có cột đứng ở góc lều và hai dây căng chéo lên hai cọc khác. Hai sợi dây đó không cắt nhau, cũng chẳng song song — chúng chéo nhau trong không gian. Vậy "góc" giữa hai sợi dây ấy là góc nào, đo bằng cách nào? Trong mặt phẳng em chỉ cần đo trực tiếp; trong không gian, khi hai đường thẳng không cùng đi qua một điểm, ta phải dựng ra một điểm chung trước khi đo được.

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ bất kì trong không gian — song song, cắt nhau hay chéo nhau. Lấy một điểm $O$ bất kì, dựng đường thẳng $a'$ đi qua $O$ và song song với $a$ , đường thẳng $b'$ đi qua $O$ và song song với $b$ (khi $a$ hoặc $b$ đã đi qua $O$ thì không cần dựng lại). Góc giữa $a$ và $b$ được định nghĩa là góc (không tù) giữa $a'$ và $b'$ — nghĩa là ta luôn lấy giá trị trong khoảng $[0°;90°]$ , không lấy góc bù. Điểm mấu chốt: góc này không phụ thuộc vào việc chọn $O$ ở đâu, nên ta luôn được phép chọn $O$ tại một điểm có sẵn trong hình để đỡ phải dựng thêm — thường là một đỉnh của hình chóp hay lăng trụ.

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ bất kì trong không gian — song song, cắt nhau hay chéo nhau. Lấy một điểm $O$ bất kì, dựng đường thẳng $a'$ đi qua $O$ và song song với $a$, đường thẳng $b'$ đi qua $O$ và song song với $b$ (khi $a$ hoặc $b$ đã đi qua $O$ thì không cần dựng lại). Góc giữa $a$ và $b$ được định nghĩa là góc (không tù) giữa $a'$ và $b'$ — nghĩa là ta luôn lấy giá trị trong khoảng $[0°;90°]$, không lấy góc bù. Điểm mấu chốt: góc này không phụ thuộc vào việc chọn $O$ ở đâu, nên ta luôn được phép chọn $O$ tại một điểm có sẵn trong hình để đỡ phải dựng thêm — thường là một đỉnh của hình chóp hay lăng trụ.

Trường hợp đặc biệt và quan trọng nhất: khi góc giữa $a$ và $b$ bằng $90°$ , ta nói $a$ vuông góc với $b$ , kí hiệu $a \perp b$ — dù $a$ , $b$ cắt nhau hay chéo nhau. Đây chính là khái niệm "hai đường thẳng vuông góc trong không gian", mở rộng từ khái niệm vuông góc em quen thuộc trong mặt phẳng: không đòi hỏi hai đường phải cắt nhau, chỉ đòi hỏi góc giữa chúng bằng $90°$ theo đúng định nghĩa dời song song ở trên.

Trường hợp đặc biệt và quan trọng nhất: khi góc giữa $a$ và $b$ bằng $90°$, ta nói $a$ vuông góc với $b$, kí hiệu $a \perp b$ — dù $a$, $b$ cắt nhau hay chéo nhau. Đây chính là khái niệm "hai đường thẳng vuông góc trong không gian", mở rộng từ khái niệm vuông góc em quen thuộc trong mặt phẳng: không đòi hỏi hai đường phải cắt nhau, chỉ đòi hỏi góc giữa chúng bằng $90°$ theo đúng định nghĩa dời song song ở trên.

Vì sao chọn $O$ ở đâu cũng cho cùng một góc? Nếu dựng $a'$ , $b'$ qua một điểm $O$ khác, hai cặp đường thẳng $a', b'$ mới vẫn song song với cặp cũ theo đúng phương — mà hai đường thẳng song song thì tạo với một đường thứ ba những góc bằng nhau (tính chất góc so le trong, đã quen từ lớp 7). Do đó góc đo được không đổi khi đổi điểm $O$ , và định nghĩa là hợp lệ — em có thể yên tâm luôn chọn điểm dựng thuận lợi nhất cho bài toán của mình, không cần lo kết quả phụ thuộc lựa chọn đó.

Vì sao chọn $O$ ở đâu cũng cho cùng một góc? Nếu dựng $a'$, $b'$ qua một điểm $O$ khác, hai cặp đường thẳng $a', b'$ mới vẫn song song với cặp cũ theo đúng phương — mà hai đường thẳng song song thì tạo với một đường thứ ba những góc bằng nhau (tính chất góc so le trong, đã quen từ lớp 7). Do đó góc đo được không đổi khi đổi điểm $O$, và định nghĩa là hợp lệ — em có thể yên tâm luôn chọn điểm dựng thuận lợi nhất cho bài toán của mình, không cần lo kết quả phụ thuộc lựa chọn đó.

Quy trình áp dụng cho cả hai ví dụ của bài học.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Góc giữa hai đường thẳng bằng phép dời song song và tam giác vuông

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a = 4$ cm, $SA \perp AB$ , $SA \perp AD$ và $SA = 4$ cm. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a = 4$ cm, $SA \perp AB$, $SA \perp AD$ và $SA = 4$ cm. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.
2
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \parallel CD$ . Theo định nghĩa, góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$ — ta đã đưa hai đường chéo nhau về hai đường cùng đi qua điểm $B$ .
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \parallel CD$. Theo định nghĩa, góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$ — ta đã đưa hai đường chéo nhau về hai đường cùng đi qua điểm $B$.
3
Hai đường $SB$ , $AB$ cùng nằm trong tam giác $SAB$ . Theo giả thiết $SA \perp AB$ , tam giác $SAB$ vuông tại $A$ , và góc cần tìm chính là $\widehat{SBA}$ .
Hai đường $SB$, $AB$ cùng nằm trong tam giác $SAB$. Theo giả thiết $SA \perp AB$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$, và góc cần tìm chính là $\widehat{SBA}$.
4
Trong tam giác vuông $SAB$ : $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1$ , suy ra $\widehat{SBA} = 45°$ .
Trong tam giác vuông $SAB$: $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1$, suy ra $\widehat{SBA} = 45°$.
5
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45°$ .
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45°$.

Ví dụ

Góc giữa hai đường thẳng khi tam giác dựng được không vuông

1
Cùng hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên ( $a = 4$ cm, $SA \perp AB$ , $SA \perp AD$ , $SA = 4$ cm). Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ .
Cùng hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên ($a = 4$ cm, $SA \perp AB$, $SA \perp AD$, $SA = 4$ cm). Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$.
2
Vẫn có $AB \parallel CD$ , nên góc giữa $SC$ và $AB$ bằng góc giữa $SC$ và $CD$ , tức là góc $\widehat{SCD}$ của tam giác $SCD$ .
Vẫn có $AB \parallel CD$, nên góc giữa $SC$ và $AB$ bằng góc giữa $SC$ và $CD$, tức là góc $\widehat{SCD}$ của tam giác $SCD$.
3
Ta có $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm (đường chéo hình vuông cạnh 4). Áp dụng Pythagoras trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$ vì $SA \perp AC$ , do $AC$ nằm trong mặt đáy và $SA$ vuông góc với cả $AB$ lẫn $AD$ nên vuông góc với đường chéo $AC$ ): $SC^2 = SA^2 + AC^2 = 16 + 32 = 48$ , suy ra $SC = 4\sqrt{3}$ cm. Tương tự, tam giác vuông $SAD$ cho $SD^2 = SA^2 + AD^2 = 16 + 16 = 32$ , suy ra $SD = 4\sqrt{2}$ cm. Cạnh $CD = a = 4$ cm là cạnh đáy, đã biết.
Ta có $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm (đường chéo hình vuông cạnh 4). Áp dụng Pythagoras trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$ vì $SA \perp AC$, do $AC$ nằm trong mặt đáy và $SA$ vuông góc với cả $AB$ lẫn $AD$ nên vuông góc với đường chéo $AC$): $SC^2 = SA^2 + AC^2 = 16 + 32 = 48$, suy ra $SC = 4\sqrt{3}$ cm. Tương tự, tam giác vuông $SAD$ cho $SD^2 = SA^2 + AD^2 = 16 + 16 = 32$, suy ra $SD = 4\sqrt{2}$ cm. Cạnh $CD = a = 4$ cm là cạnh đáy, đã biết.
4
Tam giác $SCD$ có $SC = 4\sqrt{3}$ , $SD = 4\sqrt{2}$ , $CD = 4$ — không có căn cứ nào cho thấy nó vuông, nên ta dùng định lí côsin để tính góc $\widehat{SCD}$ (góc tại đỉnh $C$ , đối diện cạnh $SD$ ): $SD^2 = SC^2 + CD^2 - 2 \cdot SC \cdot CD \cdot \cos\widehat{SCD}$ . Thay số: $32 = 48 + 16 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos\widehat{SCD} = 64 - 32\sqrt{3}\cos\widehat{SCD}$ .
Tam giác $SCD$ có $SC = 4\sqrt{3}$, $SD = 4\sqrt{2}$, $CD = 4$ — không có căn cứ nào cho thấy nó vuông, nên ta dùng định lí côsin để tính góc $\widehat{SCD}$ (góc tại đỉnh $C$, đối diện cạnh $SD$): $SD^2 = SC^2 + CD^2 - 2 \cdot SC \cdot CD \cdot \cos\widehat{SCD}$. Thay số: $32 = 48 + 16 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos\widehat{SCD} = 64 - 32\sqrt{3}\cos\widehat{SCD}$.
5
Suy ra $\cos\widehat{SCD} = \dfrac{32}{32\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$ , do đó $\widehat{SCD} \approx 54°44'$ (làm tròn đến phút).
Suy ra $\cos\widehat{SCD} = \dfrac{32}{32\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$, do đó $\widehat{SCD} \approx 54°44'$ (làm tròn đến phút).
6
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ xấp xỉ $54°44'$ — khác ví dụ trước vì ở đây tam giác dựng được không phải tam giác vuông, nên phải dùng định lí côsin thay vì tỉ số lượng giác trực tiếp.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ xấp xỉ $54°44'$ — khác ví dụ trước vì ở đây tam giác dựng được không phải tam giác vuông, nên phải dùng định lí côsin thay vì tỉ số lượng giác trực tiếp.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên lấy giá trị không tù: nếu tính ra một góc tù (ví dụ $125°$ ) giữa hai đường thẳng dựng được, góc giữa hai đường thẳng ban đầu phải là góc bù $180° - 125° = 55°$ , không phải chính góc đó. Sai lầm thứ hai là chọn nhầm điểm để dời đường — dời qua một điểm không có sẵn trong hình khiến tam giác dựng ra không còn cạnh nào đã biết, phải tính thêm mà không cần thiết. Luôn ưu tiên dời qua một đỉnh đã có của hình chóp hoặc lăng trụ.

Sai lầm phổ biến nhất là quên lấy giá trị không tù: nếu tính ra một góc tù (ví dụ $125°$) giữa hai đường thẳng dựng được, góc giữa hai đường thẳng ban đầu phải là góc bù $180° - 125° = 55°$, không phải chính góc đó. Sai lầm thứ hai là chọn nhầm điểm để dời đường — dời qua một điểm không có sẵn trong hình khiến tam giác dựng ra không còn cạnh nào đã biết, phải tính thêm mà không cần thiết. Luôn ưu tiên dời qua một đỉnh đã có của hình chóp hoặc lăng trụ.

Luyện tập

Ghi nhớ

Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau luôn theo đúng ba bước: dời một đường về song song qua một điểm sẵn có, nhận diện tam giác chứa góc, rồi tính — tam giác vuông thì dùng tỉ số lượng giác, tam giác thường thì dùng định lí côsin. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian là trường hợp riêng khi góc đó bằng $90°$ , không đòi hỏi chúng cắt nhau.

Bài tiếp theo dùng đúng khái niệm vuông góc giữa hai đường thẳng vừa học để định nghĩa một quan hệ mạnh hơn: khi nào một đường thẳng vuông góc với cả một mặt phẳng, chứ không chỉ với một đường thẳng khác.