Bài học

Thể tích khối lăng trụ đứng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thể tích khối lăng trụ đứng theo công thức $V = Bh$ , phân biệt được công thức này với công thức khối chóp, và áp dụng vào bài toán thực tế đổi đơn vị thể tích sang lít.

Sau bài này, em tính được thể tích khối lăng trụ đứng theo công thức $V = Bh$, phân biệt được công thức này với công thức khối chóp, và áp dụng vào bài toán thực tế đổi đơn vị thể tích sang lít.

Bài học dùng lại đúng cách xác định diện tích đáy $B$ đã luyện ở bài trước, chỉ đổi công thức và đổi loại khối. Lăng trụ đứng là khối có hai đáy song song, bằng nhau, và các cạnh bên vuông góc với đáy (khác lăng trụ xiên, không xét ở chương trình foundation này) — chính vì cạnh bên đã vuông góc với đáy nên chiều cao $h$ luôn bằng độ dài cạnh bên, không cần dựng thêm gì.

Khởi động

Một bể nước hình hộp chữ nhật ở sân thượng cần đổ đầy nước để tưới cây suốt mùa khô. Người thợ cần biết bể chứa được bao nhiêu LÍT nước để tính hoá đơn tiền nước — nhưng bể đo bằng mét, còn hoá đơn tính bằng lít. Bài học này vừa cho công thức tính thể tích lăng trụ đứng, vừa nhắc lại quy tắc đổi đơn vị $1\ \text{m}^3 = 1\,000$ lít.

Công thức thể tích khối lăng trụ đứng

Thể tích khối lăng trụ đứngThể tích khối lăng trụ đứng có diện tích đáy

B

và chiều cao

h

(khoảng cách giữa hai mặt đáy, bằng độ dài cạnh bên) được tính bằng

V = Bh

.Thể tích khối lăng trụ đứng có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ (khoảng cách giữa hai mặt đáy, bằng độ dài cạnh bên) được tính bằng $V = Bh$.

So với khối chóp, khối lăng trụ đứng không có hệ số $\dfrac{1}{3}$ : mọi "lát cắt" song song với đáy của một lăng trụ đứng đều có cùng diện tích $B$ (khối không thu nhỏ dần như hình chóp), nên thể tích đơn giản bằng diện tích đáy nhân bề dày. Trường hợp riêng quen thuộc nhất của công thức này chính là hình hộp chữ nhật: $V =$ dài $\times$ rộng $\times$ cao — bản chất chỉ là $B \times h$ với $B$ là diện tích một mặt đáy hình chữ nhật.

So với khối chóp, khối lăng trụ đứng không có hệ số $\dfrac{1}{3}$: mọi "lát cắt" song song với đáy của một lăng trụ đứng đều có cùng diện tích $B$ (khối không thu nhỏ dần như hình chóp), nên thể tích đơn giản bằng diện tích đáy nhân bề dày. Trường hợp riêng quen thuộc nhất của công thức này chính là hình hộp chữ nhật: $V = $ dài $\times$ rộng $\times$ cao — bản chất chỉ là $B \times h$ với $B$ là diện tích một mặt đáy hình chữ nhật.

Có thể hình dung công thức $V=Bh$ như chồng những lát cắt mỏng có cùng hình dạng và diện tích $B$ lên nhau, từ đáy dưới đến đáy trên, mỗi lát dày một khoảng rất nhỏ — tổng thể tích các lát chồng khít lên nhau bằng diện tích một lát nhân tổng bề dày, tức $Bh$ . Đây chính là điểm khác biệt căn bản với hình chóp: hình chóp thu nhỏ dần từ đáy lên đỉnh nên các lát cắt có diện tích giảm dần về $0$ , khiến tổng thể tích chỉ còn $\dfrac{1}{3}Bh$ thay vì trọn vẹn $Bh$ . Cũng cần phân biệt lăng trụ ĐỨNG (cạnh bên vuông góc với đáy, công thức $V=Bh$ áp dụng trực tiếp) với lăng trụ XIÊN (cạnh bên nghiêng, cần dùng chiều cao thật sự — khoảng cách giữa hai đáy — chứ không phải độ dài cạnh bên); chương trình foundation của lớp 11 chỉ xét lăng trụ đứng.

Có thể hình dung công thức $V=Bh$ như chồng những lát cắt mỏng có cùng hình dạng và diện tích $B$ lên nhau, từ đáy dưới đến đáy trên, mỗi lát dày một khoảng rất nhỏ — tổng thể tích các lát chồng khít lên nhau bằng diện tích một lát nhân tổng bề dày, tức $Bh$. Đây chính là điểm khác biệt căn bản với hình chóp: hình chóp thu nhỏ dần từ đáy lên đỉnh nên các lát cắt có diện tích giảm dần về $0$, khiến tổng thể tích chỉ còn $\dfrac{1}{3}Bh$ thay vì trọn vẹn $Bh$. Cũng cần phân biệt lăng trụ ĐỨNG (cạnh bên vuông góc với đáy, công thức $V=Bh$ áp dụng trực tiếp) với lăng trụ XIÊN (cạnh bên nghiêng, cần dùng chiều cao thật sự — khoảng cách giữa hai đáy — chứ không phải độ dài cạnh bên); chương trình foundation của lớp 11 chỉ xét lăng trụ đứng.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Thể tích lăng trụ đứng đáy tam giác vuông

1
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, chiều cao (cạnh bên) $AA' = 6$ cm. Tính thể tích khối lăng trụ.
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, chiều cao (cạnh bên) $AA' = 6$ cm. Tính thể tích khối lăng trụ.
2
$B = S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm².
$B = S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm².
3
$V = B \cdot h = 6 \cdot 6 = 36$ cm³.
$V = B \cdot h = 6 \cdot 6 = 36$ cm³.
4
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $36$ cm³ — cùng đáy tam giác vuông với hình chóp ở bài trước ( $V = 10$ cm³ khi $h=5$ ), nhưng lăng trụ không nhân $\dfrac{1}{3}$ nên với chiều cao tương đương, lăng trụ luôn có thể tích lớn hơn nhiều.
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $36$ cm³ — cùng đáy tam giác vuông với hình chóp ở bài trước ($V = 10$ cm³ khi $h=5$), nhưng lăng trụ không nhân $\dfrac{1}{3}$ nên với chiều cao tương đương, lăng trụ luôn có thể tích lớn hơn nhiều.

Ví dụ

Đáy tam giác đều — nhắc lại công thức diện tích

1
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh $4$ cm, chiều cao lăng trụ $6$ cm. Tính thể tích.
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh $4$ cm, chiều cao lăng trụ $6$ cm. Tính thể tích.
2
Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ chia nó thành hai tam giác vuông với cạnh huyền $a$ , một cạnh góc vuông $a/2$ , nên đường cao $h_\triangle = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (Pythagoras). Diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_\triangle = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ — công thức quen thuộc từ Toán 10. Với $a = 4$ : $B = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ cm².
Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ chia nó thành hai tam giác vuông với cạnh huyền $a$, một cạnh góc vuông $a/2$, nên đường cao $h_\triangle = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (Pythagoras). Diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_\triangle = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ — công thức quen thuộc từ Toán 10. Với $a = 4$: $B = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ cm².
3
$V = B \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}$ cm³.
$V = B \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}$ cm³.
4
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $24\sqrt{3}$ cm³ $\approx 41{,}57$ cm³.
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $24\sqrt{3}$ cm³ $\approx 41{,}57$ cm³.

Ví dụ

Bài toán thực tế: bể nước và đổi đơn vị

1
Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy kích thước $2$ m $\times$ $3$ m, chiều cao $1{,}5$ m. Hỏi bể chứa tối đa bao nhiêu lít nước?
Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy kích thước $2$ m $\times$ $3$ m, chiều cao $1{,}5$ m. Hỏi bể chứa tối đa bao nhiêu lít nước?
2
Hình hộp chữ nhật là một lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật, nên $V = Bh$ với $B$ là diện tích đáy.
Hình hộp chữ nhật là một lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật, nên $V = Bh$ với $B$ là diện tích đáy.
3
$B = 2 \times 3 = 6$ m². $V = B \cdot h = 6 \times 1{,}5 = 9$ m³.
$B = 2 \times 3 = 6$ m². $V = B \cdot h = 6 \times 1{,}5 = 9$ m³.
4
$1$ m³ $= 1\,000$ lít, nên $9$ m³ $= 9\,000$ lít.
$1$ m³ $= 1\,000$ lít, nên $9$ m³ $= 9\,000$ lít.
5
Vậy bể chứa tối đa $9\,000$ lít nước — cần nhớ đổi đơn vị mét khối sang lít khi đề bài hỏi bằng lít, một bước rất dễ quên dù phần tính thể tích đã đúng. Trong thực tế, một bể chứa thật còn phải trừ thêm phần thành bể và mực nước an toàn dưới miệng bể, nhưng bài toán hình học chỉ hỏi thể tích lí thuyết của khối hình học, nên đáp số $9\,000$ lít là con số đúng cần trình bày.
Vậy bể chứa tối đa $9\,000$ lít nước — cần nhớ đổi đơn vị mét khối sang lít khi đề bài hỏi bằng lít, một bước rất dễ quên dù phần tính thể tích đã đúng. Trong thực tế, một bể chứa thật còn phải trừ thêm phần thành bể và mực nước an toàn dưới miệng bể, nhưng bài toán hình học chỉ hỏi thể tích lí thuyết của khối hình học, nên đáp số $9\,000$ lít là con số đúng cần trình bày.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến nhất: áp dụng nhầm công thức $V = \dfrac{1}{3}Bh$ của khối chóp cho khối lăng trụ, hoặc ngược lại — hai công thức chỉ khác nhau ở hệ số $\dfrac{1}{3}$ nhưng cho kết quả sai lệch gấp ba lần nếu nhầm. Sai lầm thứ hai, đặc biệt ở bài toán thực tế: quên đổi đơn vị trước khi tính (ví dụ trộn mét và xăng-ti-mét trong cùng một phép nhân) hoặc quên đổi mét khối sang lít khi đề hỏi bằng lít — luôn đưa toàn bộ số liệu về CÙNG một đơn vị độ dài trước khi nhân.

Luyện tập

Ghi nhớ

Thể tích khối lăng trụ đứng luôn bằng diện tích đáy nhân chiều cao, $V = Bh$ — không có hệ số $\dfrac{1}{3}$ như khối chóp. Với bài toán thực tế, luôn đưa các số liệu về cùng một đơn vị độ dài trước khi nhân, và nhớ quy tắc đổi $1$ m³ $= 1\,000$ lít khi đề hỏi bằng lít.

Hai công thức thể tích vừa học — khối chóp và khối lăng trụ đứng — cùng với toàn bộ kĩ thuật chứng minh vuông góc, tính góc và tính khoảng cách của bốn chương trước, đã đủ để giải một bài toán tổng hợp kiểu đề kiểm tra học kì thật sự. Chương ôn tập cuối cùng sẽ ráp tất cả lại trong một bài toán nhiều phần duy nhất.