Bài học

Thể tích khối chóp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Bh$ , xác định đúng đâu là diện tích đáy $B$ và đâu là chiều cao $h$ trong một hình chóp cụ thể, và biết tách một khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác khi cần.

Sau bài này, em tính được thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Bh$, xác định đúng đâu là diện tích đáy $B$ và đâu là chiều cao $h$ trong một hình chóp cụ thể, và biết tách một khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác khi cần.

Chiều cao $h$ trong công thức thể tích chính là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy — đại lượng vừa học cách tính ở Chương 4. Diện tích đáy $B$ dùng lại công thức diện tích tam giác, hình vuông, hình chữ nhật đã quen từ THCS. Bài học này không có kĩ thuật chứng minh mới, chỉ ráp đúng hai đại lượng đã có vào một công thức.

Khởi động

Một chiếc kim tự tháp mô hình bằng thạch cao có đáy vuông và đỉnh nhọn dựng đúng phía trên một góc đáy. Muốn biết mô hình đó nặng bao nhiêu (biết khối lượng riêng của thạch cao), trước tiên phải biết THỂ TÍCH của nó — và với một hình chóp, thể tích không đơn giản bằng diện tích đáy nhân chiều cao như một hình lăng trụ, mà chỉ bằng một phần ba của tích đó. Bài học này giải thích công thức ấy và luyện cách áp dụng đúng.

Công thức thể tích khối chóp

Thể tích khối chópThể tích khối chóp có diện tích đáy

B

và chiều cao

h

(khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) được tính bằng

V = \dfrac{1}{3}Bh

.Thể tích khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) được tính bằng $V = \dfrac{1}{3}Bh$.

Công thức này được thừa nhận ở chương trình phổ thông (chứng minh chặt chẽ dùng tích phân hoặc phân chia hình học ở trình độ cao hơn). Điều quan trọng với người học là xác định đúng hai đại lượng: $B$ phải là diện tích của MẶT ĐÁY (mặt đối diện với đỉnh), còn $h$ phải là khoảng cách VUÔNG GÓC từ đỉnh xuống chính mặt phẳng chứa đáy đó — không phải độ dài một cạnh bên bất kì, trừ khi cạnh bên đó tình cờ vuông góc với đáy.

Vì sao lại đúng hệ số $\dfrac{1}{3}$ , không phải một nửa hay một phần tư? Một cách hình dung quen thuộc: một khối lập phương có thể chia thành đúng ba khối chóp tam giác bằng nhau, mỗi khối có đáy là một mặt của lập phương và đỉnh là một đỉnh đối diện thích hợp — vì ba khối chóp ấy lấp đầy vừa khít cả khối lập phương (thể tích $Bh$ , với $B$ là diện tích một mặt, $h$ là cạnh lập phương), mỗi khối chóp phải có thể tích đúng $\dfrac{1}{3}Bh$ . Với hình chóp bất kì (đáy không nhất thiết là hình vuông, đỉnh không nhất thiết thẳng hàng đẹp như lập phương), kết quả $\dfrac{1}{3}Bh$ vẫn giữ nguyên — đây là nội dung định lí được thừa nhận, còn phép chia lập phương ở trên chỉ là một trực giác cho trường hợp riêng, không phải chứng minh tổng quát.

Vì sao lại đúng hệ số $\dfrac{1}{3}$, không phải một nửa hay một phần tư? Một cách hình dung quen thuộc: một khối lập phương có thể chia thành đúng ba khối chóp tam giác bằng nhau, mỗi khối có đáy là một mặt của lập phương và đỉnh là một đỉnh đối diện thích hợp — vì ba khối chóp ấy lấp đầy vừa khít cả khối lập phương (thể tích $Bh$, với $B$ là diện tích một mặt, $h$ là cạnh lập phương), mỗi khối chóp phải có thể tích đúng $\dfrac{1}{3}Bh$. Với hình chóp bất kì (đáy không nhất thiết là hình vuông, đỉnh không nhất thiết thẳng hàng đẹp như lập phương), kết quả $\dfrac{1}{3}Bh$ vẫn giữ nguyên — đây là nội dung định lí được thừa nhận, còn phép chia lập phương ở trên chỉ là một trực giác cho trường hợp riêng, không phải chứng minh tổng quát.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

1
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$ , $SA = 4\sqrt{2}$ cm. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ cm, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4\sqrt{2}$ cm. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
2
$B = S_{ABCD} = 4^2 = 16$ cm² (hình vuông cạnh $4$ ).
$B = S_{ABCD} = 4^2 = 16$ cm² (hình vuông cạnh $4$).
3
Vì $SA \perp (ABCD)$ , đoạn $SA$ chính là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt đáy, nên $h = SA = 4\sqrt{2}$ cm.
Vì $SA \perp (ABCD)$, đoạn $SA$ chính là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt đáy, nên $h = SA = 4\sqrt{2}$ cm.
4
$V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{2} = \dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³.
$V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{2} = \dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³.
5
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³ $\approx 30{,}17$ cm³.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³ $\approx 30{,}17$ cm³.

Ví dụ

Tách một khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác

1
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Mặt phẳng $(SAC)$ chia khối chóp thành hai phần $S.ABC$ và $S.ACD$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ , rồi so sánh với thể tích cả khối $S.ABCD$ .
Vẫn hình chóp $S.ABCD$ ở ví dụ trên. Mặt phẳng $(SAC)$ chia khối chóp thành hai phần $S.ABC$ và $S.ACD$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$, rồi so sánh với thể tích cả khối $S.ABCD$.
2
Đường chéo $AC$ chia hình vuông $ABCD$ thành hai tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích bằng nửa hình vuông: $S_{ABC} = \dfrac{16}{2} = 8$ cm².
Đường chéo $AC$ chia hình vuông $ABCD$ thành hai tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích bằng nửa hình vuông: $S_{ABC} = \dfrac{16}{2} = 8$ cm².
3
Đỉnh vẫn là $S$ , và mặt phẳng chứa đáy $ABC$ chính là $(ABCD)$ (vì $A$ , $B$ , $C$ đều thuộc mặt đáy cũ) — nên chiều cao vẫn là $SA = 4\sqrt{2}$ cm, không đổi so với ví dụ 1.
Đỉnh vẫn là $S$, và mặt phẳng chứa đáy $ABC$ chính là $(ABCD)$ (vì $A$, $B$, $C$ đều thuộc mặt đáy cũ) — nên chiều cao vẫn là $SA = 4\sqrt{2}$ cm, không đổi so với ví dụ 1.
4
$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = \dfrac{32\sqrt{2}}{3}$ cm³ — đúng bằng một nửa của $V_{S.ABCD} = \dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³ ở ví dụ 1.
$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = \dfrac{32\sqrt{2}}{3}$ cm³ — đúng bằng một nửa của $V_{S.ABCD} = \dfrac{64\sqrt{2}}{3}$ cm³ ở ví dụ 1.
5
Vậy mặt phẳng $(SAC)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau, mỗi khối bằng $\dfrac{32\sqrt{2}}{3}$ cm³ — kết quả hợp lí vì hai tam giác đáy $ABC$ , $ACD$ có diện tích bằng nhau và chung một đỉnh, một chiều cao.
Vậy mặt phẳng $(SAC)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau, mỗi khối bằng $\dfrac{32\sqrt{2}}{3}$ cm³ — kết quả hợp lí vì hai tam giác đáy $ABC$, $ACD$ có diện tích bằng nhau và chung một đỉnh, một chiều cao.

Lời giải có hình

Đường chéo AC chia đáy hình vuông thành hai tam giác bằng nhau

Bước 1

Mặt đáy $ABCD$ nhìn từ trên xuống — một hình vuông cạnh $4$ cm, diện tích $16$ cm².Mặt đáy $ABCD$ nhìn từ trên xuống — một hình vuông cạnh $4$ cm, diện tích $16$ cm².

Ví dụ

Thể tích khối chóp với đáy là tam giác vuông

1
Cho hình chóp $S.ABC$ , đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $SA \perp (ABC)$ , $SA = 5$ cm. Tính thể tích khối chóp.
Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $SA \perp (ABC)$, $SA = 5$ cm. Tính thể tích khối chóp.
2
$B = S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm².
$B = S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm².
3
$SA \perp (ABC)$ nên $h = SA = 5$ cm.
$SA \perp (ABC)$ nên $h = SA = 5$ cm.
4
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 10$ cm³.
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 10$ cm³.
5
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $10$ cm³ — một con số nguyên gọn, tiện để kiểm tra lại các bước tính.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $10$ cm³ — một con số nguyên gọn, tiện để kiểm tra lại các bước tính.

Bẫy hay gặp

Sai lầm phổ biến nhất: lấy nhầm CẠNH BÊN làm chiều cao khi cạnh bên đó không vuông góc với đáy — công thức $h$ chỉ đúng khi đó thật sự là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến mặt đáy, đã chứng minh cụ thể (như $SA \perp (ABCD)$ ), không phải mặc định mọi cạnh bên đều là chiều cao. Sai lầm thứ hai: quên nhân $\dfrac{1}{3}$ , nhầm công thức khối chóp với công thức khối lăng trụ $V = Bh$ (sẽ học ở bài sau) — hai công thức khác nhau đúng ở hệ số $\dfrac{1}{3}$ này.

Sai lầm phổ biến nhất: lấy nhầm CẠNH BÊN làm chiều cao khi cạnh bên đó không vuông góc với đáy — công thức $h$ chỉ đúng khi đó thật sự là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến mặt đáy, đã chứng minh cụ thể (như $SA \perp (ABCD)$), không phải mặc định mọi cạnh bên đều là chiều cao. Sai lầm thứ hai: quên nhân $\dfrac{1}{3}$, nhầm công thức khối chóp với công thức khối lăng trụ $V = Bh$ (sẽ học ở bài sau) — hai công thức khác nhau đúng ở hệ số $\dfrac{1}{3}$ này.

Luyện tập

Ghi nhớ

Thể tích khối chóp luôn bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích đáy nhân chiều cao. Xác định đúng $B$ (diện tích MẶT ĐÁY) và $h$ (khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến chính mặt phẳng đó, không phải cạnh bên tuỳ ý) trước khi thay số — một mặt phẳng cắt qua đỉnh và một đường chéo đáy luôn chia khối chóp thành các khối chóp tam giác có thể tích tỉ lệ với diện tích phần đáy tương ứng.

Bài tiếp theo giữ nguyên cách xác định chiều cao đã luyện ở đây nhưng đổi công thức: khối lăng trụ đứng không nhân thêm hệ số $\dfrac{1}{3}$ — sự khác biệt giữa một khối "nhọn dần về một điểm" và một khối "đều nhau từ đáy đến đỉnh". Nói cách khác, một khối chóp và một khối lăng trụ có cùng diện tích đáy, cùng chiều cao luôn chênh nhau đúng ba lần về thể tích — dù đáy là hình vuông, tam giác hay bất kì đa giác nào; phần "phình" thêm từ đỉnh nhọn ra thành cả một mặt phẳng đáy chính là phần thể tích gấp đôi mà bài sau sẽ khai thác.